Функция Ляпунова

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) функции Ляпунова - это скалярные функции, которые можно использовать для доказательства устойчивости положения равновесия ОДУ. Названные в честь русского математика Александра Михайловича Ляпунова , функция Ляпунова (также называемая вторым методом Ляпунова для устойчивости) имеет важное значение для теории устойчивости в динамических системах и теории управления . Аналогичное понятие появляется в теории цепей Маркова общего пространства состояний , обычно под названием функций Фостера – Ляпунова.

Для некоторых классов ОДУ существование функций Ляпунова является необходимым и достаточным условием устойчивости. В то время как не существует общей техники построения функций Ляпунова для ОДУ, во многих частных случаях конструкция функций Ляпунова известна. Например, квадратичных функций достаточно для систем с одним состоянием; решение конкретного линейного матричного неравенства дает функции Ляпунова для линейных систем; а законы сохранения часто можно использовать для построения функций Ляпунова для физических систем .

Определение [ править ]

Функция Ляпунова для автономной динамической системы

${\ displaystyle {\ begin {cases} g: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n} \\ {\ dot {y}} = g (y) \ end {cases} }}$

с точкой равновесия в - скалярная функция, которая непрерывна, имеет непрерывные первые производные, строго положительна и для которой также строго положительна. Условие , которое строго положителен иногда формулируется является локально положительно определена , или является локально отрицательно определена .${\ displaystyle y = 0}$ ${\ Displaystyle V: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle - \ nabla {V} \ cdot g}$${\ displaystyle - \ nabla {V} \ cdot g}$${\ displaystyle - \ nabla {V} \ cdot g}$${\ displaystyle \ nabla {V} \ cdot g}$

Дальнейшее обсуждение терминов, содержащихся в определении [ править ]

Функции Ляпунова возникают при изучении точек равновесия динамических систем. В произвольной автономной динамической системе можно записать как${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$

${\ Displaystyle {\ точка {у}} = г (у)}$

для некоторого гладкого ${\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Точка равновесия - это такая точка , что для данной точки равновесия всегда существует преобразование координат такое, что:${\ displaystyle y ^ {*}}$${\ displaystyle g \ left (y ^ {*} \ right) = 0.}$${\ displaystyle y ^ {*},}$${\ displaystyle x = yy ^ {*},}$

${\ displaystyle {\ begin {case} {\ dot {x}} = {\ dot {y}} = g (y) = g \ left (x + y ^ {*} \ right) = f (x) \ \ f (0) = 0 \ end {case}}}$

Таким образом, при изучении точек равновесия достаточно предположить, что точка равновесия находится в точке .${\ displaystyle 0}$

По цепному правилу для любой функции производная по времени функции, вычисленной вдоль решения динамической системы, равна${\ Displaystyle H: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R},}$

${\displaystyle {\dot {H}}={\frac {d}{dt}}H(x(t))={\frac {\partial H}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla H\cdot {\dot {x}}=\nabla H\cdot f(x).}$

Функция определяется как локально положительно определенная функция (в смысле динамических систем), если и то, и другое существует окрестность начала координат , такая, что:${\displaystyle H}$${\displaystyle H(0)=0}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle H(x)>0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}.}$

Основные теоремы Ляпунова для автономных систем [ править ]

Пусть - состояние равновесия автономной системы${\displaystyle x^{*}=0}$

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x).}$

и используйте обозначение для обозначения производной по времени функции-кандидата Ляпунова :${\displaystyle {\dot {V}}(x)}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {d}{dt}}V(x(t))={\frac {\partial V}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla V\cdot {\dot {x}}=\nabla V\cdot f(x).}$

Локально асимптотически устойчивое равновесие [ править ]

Если равновесие изолировано, функция-кандидат Ляпунова локально положительно определена, а производная по времени функции-кандидата Ляпунова локально отрицательно определена:${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}}$

для некоторой окрестности начала координат равновесие оказывается локально асимптотически устойчивым.${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Стабильное равновесие [ править ]

Если - функция Ляпунова, то равновесие устойчиво по Ляпунову . Верно и обратное, что было доказано Дж . Л. Массера .${\displaystyle V}$

Глобально асимптотически устойчивое равновесие [ править ]

Если функция-кандидат Ляпунова глобально положительно определена, радиально неограничена , равновесие изолировано, а производная по времени функции-кандидата Ляпунова глобально отрицательно определена:${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\},}$

тогда доказывается, что равновесие глобально асимптотически устойчиво .

Функция Ляпунова-кандидата радиально неограничена, если${\displaystyle V(x)}$

${\displaystyle \|x\|\to \infty \Rightarrow V(x)\to \infty .}$

(Это также называется нормо-коэрцитивностью.)

Пример [ править ]

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение с решением на :${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\dot {x}}=-x.}$

Учитывая, что начало координат всегда положительно, это естественный кандидат на роль функции Ляпунова, которая поможет нам в учебе . Так пусть на . Потом,${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V(x)=x^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)=V'(x){\dot {x}}=2x\cdot (-x)=-2x^{2}<0.}$

Это правильно показывает, что указанное выше дифференциальное уравнение асимптотически устойчиво относительно начала координат. Обратите внимание, что с помощью того же кандидата Ляпунова можно показать, что равновесие также глобально асимптотически устойчиво.${\displaystyle x,}$

См. Также [ править ]

• Ляпуновская устойчивость
• Обыкновенные дифференциальные уравнения
• Функция Control-Ляпунова
• Функция Четаева
• Теорема Фостера
• Оптимизация по Ляпунову

Ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Функция Ляпунова" . MathWorld .
• Халил, HK (1996). Нелинейные системы . Прентис-Холл, Верхняя Седл-Ривер, штат Нью-Джерси.
• Ла Саль, Жозеф; Лефшец, Соломон (1961). Устойчивость прямым методом Ляпунова: с приложениями . Нью-Йорк: Academic Press.
• Эта статья включает материал из функции Ляпунова в PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

Внешние ссылки [ править ]

• Пример определения устойчивости равновесного решения системы ОДУ с функцией Ляпунова