Линейное матричное неравенство

В выпуклой оптимизации , А неравенство линейной матрицы ( LMI ) является выражением вида

{\ displaystyle \ operatorname {LMI} (y): = A_ {0} + y_ {1} A_ {1} + y_ {2} A_ {2} + \ cdots + y_ {m} A_ {m} \ successq 0 \,}

где

${\ Displaystyle у = [Y_ {я} \ ,, ~ я \! = \! 1, \ точки, м]}$ это реальный вектор,
${\ displaystyle A_ {0}, A_ {1}, A_ {2}, \ dots, A_ {m}}$ - симметричные матрицы , ${\ Displaystyle п \ раз п}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {п}}$
${\ Displaystyle B \ successq 0}$ является обобщенным неравенством значением является неотрицательно матрицей , принадлежащей к положительному полуопределенному конусу в подпространстве симметричных матриц . ${\ displaystyle B}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {S} _ {+}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$

Это линейное матричное неравенство задает выпуклое ограничение на y .

Приложения [ править ]

Существуют эффективные численные методы для определения, возможен ли LMI ( например , существует ли вектор y такой, что LMI ( y ) ≥ 0), или для решения задачи выпуклой оптимизации с ограничениями LMI. Многие задачи оптимизации в теории управления , идентификации систем и обработке сигналов можно сформулировать с помощью LMI. Также LMI находят применение в полиномиальной сумме квадратов . Прототипная прямая и двойственная полуопределенная программа представляет собой минимизацию действительной линейной функции, соответственно подчиняющейся прямому и двойному выпуклым конусам, управляющим этим LMI.

Решение LMI [ править ]

Главный прорыв в выпуклой оптимизации заключается во внедрении методов внутренней точки . Эти методы были развиты в серии статей и вызвали настоящий интерес в контексте задач LMI в работах Юрия Нестерова и Аркадия Немировского .

Ссылки [ править ]

Нестеров Ю., Немировский А. Методы полиномов внутренних точек в выпуклом программировании. СИАМ, 1994.

См. Также [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

С. Бойд, Л. Эль-Гауи, Э. Ферон, В. Балакришнан, Линейные матричные неравенства в теории систем и управления (книга в формате pdf)
Шерер К., Вейланд С. Линейные матричные неравенства в управлении.