Симметричная матрица

Симметрия матрицы 5 × 5

В линейной алгебре , А симметричная матрица является квадратной матрицей , которая равна ее транспонированной . Формально,

Поскольку одинаковые матрицы имеют одинаковые размеры, симметричными могут быть только квадратные матрицы.

Элементы симметричной матрицы симметричны относительно главной диагонали . Итак, если обозначает запись в -й строке и -й столбце, тогда${\ displaystyle a_ {ij}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$

для всех индексов и${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j.}$

Каждая квадратно- диагональная матрица симметрична, поскольку все недиагональные элементы равны нулю. Точно так же в характеристике, отличной от 2, каждый диагональный элемент кососимметричной матрицы должен быть равен нулю, поскольку каждый является собственным отрицательным.

В линейной алгебре вещественная симметричная матрица представляет собой самосопряженный оператор ^[1] над реальным внутренним пространством произведения . Соответствующий объект для комплексного внутреннего пространства продукта - это эрмитова матрица с комплексными элементами, которая равна ее сопряженному транспонированию . Поэтому в линейной алгебре комплексных чисел часто предполагается, что симметричная матрица относится к матрице, имеющей действительные значения. Симметричные матрицы естественным образом появляются во множестве приложений, и типичное программное обеспечение численной линейной алгебры делает для них специальные приспособления.

Пример [ править ]

Следующая матрица симметрична:${\ displaystyle 3 \ times 3}$

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 & 7 & 3 \\ 7 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \ end {bmatrix}}}$

Свойства [ править ]

Основные свойства [ править ]

• Сумма и разность двух симметричных матриц снова симметричны

• Это не всегда верно для продукта : заданы симметричные матрицы и , то симметрично тогда и только тогда, когда и коммутируют , т. Е. Если .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB=BA}$

• Для целого числа , является симметричным , если симметрично.${\displaystyle n}$${\displaystyle A^{n}}$${\displaystyle A}$

• Если существует, он симметричен тогда и только тогда, когда он симметричен.${\displaystyle A^{-1}}$${\displaystyle A}$

Разложение на симметричные и кососимметричные [ править ]

Любую квадратную матрицу можно однозначно записать как сумму симметричной и кососимметричной матрицы. Это разложение известно как разложение Теплица. Обозначим через пространство матриц. Если обозначает пространство симметричных матриц и пространство кососимметричных матриц, то и , т. Е.${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle {\mbox{Skew}}_{n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}+{\mbox{Skew}}_{n}}$${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}\cap {\mbox{Skew}}_{n}=\{0\}}$

${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}\oplus {\mbox{Skew}}_{n},}$

где обозначает прямую сумму . Пусть тогда${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle X\in {\mbox{Mat}}_{n}}$

${\displaystyle X={\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)}$.

Обратите внимание на это и . Это верно для любой квадратной матрицы с элементами из любого поля , характеристика которого отличается от 2.${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}_{n}}$ ${\displaystyle X}$

Симметричная матрица определяется скалярами (количеством элементов на главной диагонали или выше ). Точно так же кососимметричная матрица определяется скалярами (количеством элементов над главной диагональю).${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n+1)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)}$

Матрица, совпадающая с симметричной матрицей [ править ]

Любая матрица, конгруэнтная симметричной матрице, снова симметрична: если это симметричная матрица, то симметрична и для любой матрицы .${\displaystyle X}$${\displaystyle AXA^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle A}$

Симметрия подразумевает нормальность [ править ]

Симметричная (действительная) матрица обязательно является нормальной матрицей .

Реальные симметричные матрицы [ править ]

Обозначим стандартным внутренним произведением на . Реальная матрица симметрична тогда и только тогда, когда${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle \quad \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$

Поскольку это определение не зависит от выбора базиса , симметрия - это свойство, которое зависит только от линейного оператора A и выбора внутреннего продукта . Эта характеристика симметрии полезна, например, в дифференциальной геометрии , поскольку каждое касательное пространство к многообразию может быть снабжено внутренним произведением, что дает начало тому, что называется римановым многообразием . Другая область, где используется эта формулировка, - гильбертовы пространства .

Конечномерная спектральная теорема гласит, что любую симметричную матрицу, элементы которой действительны, можно диагонализовать с помощью ортогональной матрицы . Более подробно: для каждой симметричной вещественной матрицы существует вещественная ортогональная матрица, такая как диагональная матрица . Таким образом, каждая симметричная матрица до выбора ортонормированного базиса является диагональной матрицей.${\displaystyle A}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle D=Q^{\mathrm {T} }AQ}$

Если и являются действительными симметричными матрицами, которые коммутируют, то они могут быть одновременно диагонализованы: существует такой базис , что каждый элемент базиса является собственным вектором для обоих и .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Каждая вещественная симметричная матрица эрмитова , поэтому все ее собственные значения действительны. (Фактически, собственные значения являются элементами диагональной матрицы (см. Выше), и поэтому они однозначно определяются с точностью до порядка ее элементов.) По существу, свойство быть симметричным для вещественных матриц соответствует свойству быть эрмитовым для комплексные матрицы.${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle A}$

Сложные симметричные матрицы [ править ]

Сложная симметричная матрица может быть «диагонализована» с помощью унитарной матрицы : таким образом, если это комплексная симметричная матрица, существует унитарная матрица , которая является реальной диагональной матрицей с неотрицательными элементами. Этот результат получил название факторизации Автона – Такаги . Первоначально это было доказано Леоном Отоном (1915) и Тейджи Такаги (1925) и переоткрыто с различными доказательствами несколькими другими математиками. ^{[2] [3]} Фактически, матрица эрмитова и положительно полуопределенная , поэтому существует унитарная матрица , диагональная с неотрицательными действительными элементами. Таким образом${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle B=A^{\dagger }A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{\dagger }BV}$${\displaystyle C=V^{\mathrm {T} }AV}$комплексно симметрично действительному. Запись с и вещественные симметрические матрицы, . Итак . Поскольку и коммутируют, существует вещественная ортогональная матрица, такая, что и и диагональны. Установка (унитарная матрица), матрица комплексная диагональная. Предварительно умножив на подходящую диагональную унитарную матрицу (которая сохраняет унитарность ), диагональные элементы матрицы можно сделать действительными и неотрицательными по желанию. Чтобы построить эту матрицу, мы выразим диагональную матрицу как . Матрица, которую мы ищем, просто задается . Ясно по желанию, поэтому вносим доработку${\displaystyle C^{\dagger }C}$${\displaystyle C=X+iY}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle C^{\dagger }C=X^{2}+Y^{2}+i(XY-YX)}$${\displaystyle XY=YX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle W}$${\displaystyle WXW^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle WYW^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle U=WV^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }={\textrm {Diag}}(r_{1}e^{i\theta _{1}},r_{2}e^{i\theta _{2}},\dots ,r_{n}e^{i\theta _{n}})}$${\displaystyle D={\textrm {Diag}}(e^{-i\theta _{1}/2},e^{-i\theta _{2}/2},\dots ,e^{-i\theta _{n}/2})}$${\displaystyle DUAU^{\mathrm {T} }D={\textrm {Diag}}(r_{1},r_{2},\dots ,r_{n})}$${\displaystyle U'=DU}$. Так как их квадраты собственные , они совпадают с особыми значениями в . (Обратите внимание, что о собственном разложении комплексной симметричной матрицы , нормальная форма Жордана может не быть диагональной, поэтому не может быть диагонализована никаким преобразованием подобия.)${\displaystyle A^{\dagger }A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Разложение [ править ]

Используя нормальную форму Жордана , можно доказать, что каждая квадратная вещественная матрица может быть записана как произведение двух действительных симметричных матриц, а каждая квадратная комплексная матрица может быть записана как произведение двух комплексных симметричных матриц. ^[4]

Каждая действительная невырожденная матрица может быть однозначно разложена на множители как произведение ортогональной матрицы и симметричной положительно определенной матрицы , что называется полярным разложением . Сингулярные матрицы также можно разложить на множители, но не однозначно.

Разложение Холецкого утверждает, что каждая действительная положительно определенная симметричная матрица является продуктом нижнетреугольной матрицы и ее транспонированной матрицы ,${\displaystyle A}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle A=LL^{\textsf {T}}}$.

Если матрица является симметричной неопределенной, ее все же можно разложить: где матрица перестановок (возникающая из-за необходимости поворота ), нижняя единичная треугольная матрица и ^{[ уместно? - обсудить ]} представляет собой прямую сумму симметричных блоков и блоков, которая называется разложением Банча – Кауфмана ^[5]${\displaystyle PAP^{\textsf {T}}=LDL^{\textsf {T}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle L}$${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 1\times 1}$${\displaystyle 2\times 2}$

Сложная симметричная матрица не может быть диагонализована по подобию; каждая вещественная симметричная матрица диагонализуема действительным ортогональным подобием.

Каждую комплексную симметричную матрицу можно диагонализовать с помощью унитарного сравнения${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=Q\Lambda Q^{\textsf {T}}}$

где - унитарная матрица . Если А реально, матрица является реальной ортогональной матрицей (столбцы которой являются собственными векторами из ), и является реальным и диагональным (имеющим собственными от по диагонали). Чтобы увидеть ортогональность, пусть и собственные векторы , соответствующие различным собственным значениям , . потом${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle \lambda _{1}\langle x,y\rangle =\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle =\lambda _{2}\langle x,y\rangle .}$

Поскольку и различны, мы имеем .${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$

Гессен [ править ]

Симметричные матрицы действительных функций появляются как гессианы дважды непрерывно дифференцируемых функций действительных переменных.${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle n}$

Каждую квадратичную форму на можно однозначно записать в форме с симметричной матрицей . На основании приведенной выше спектральной теоремы можно сказать, что каждая квадратичная форма с точностью до выбора ортонормированного базиса "выглядит как"${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {x} }$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}^{2}}$

с действительными числами . Это значительно упрощает изучение квадратичных форм, а также изучение множеств уровня, являющихся обобщениями конических сечений .${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {x} :q(\mathbf {x} )=1\right\}}$

Это важно отчасти потому, что поведение второго порядка каждой гладкой функции с несколькими переменными описывается квадратичной формой, принадлежащей гессиану функции; это следствие теоремы Тейлора .

Симметризуемая матрица [ править ]

Матрица называется симметризуемое , если существует обратимый диагональную матрицу и симметричную матрицу такую , что${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A=DS.}$

Транспонирование симметризуемой матрицы симметризуемо, поскольку и симметрично. Матрица симметризуема тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=(DS)^{\mathrm {T} }=SD=D^{-1}(DSD)}$${\displaystyle DSD}$${\displaystyle A=(a_{ij})}$

1. ${\displaystyle a_{ij}=0}$подразумевает для всех${\displaystyle a_{ji}=0}$${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n.}$
2. ${\displaystyle a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}}\dots a_{i_{k}i_{1}}=a_{i_{2}i_{1}}a_{i_{3}i_{2}}\dots a_{i_{1}i_{k}}}$ для любой конечной последовательности ${\displaystyle \left(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}\right).}$

См. Также [ править ]

Другие типы симметрии или паттерна в квадратных матрицах имеют специальные названия; см. например:

См. Также симметрию в математике .

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2013), Матричный анализ (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6

Внешние ссылки [ править ]

• "Симметричная матрица" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Краткое введение и доказательство свойств собственных значений вещественной симметричной матрицы
• Как реализовать симметричную матрицу на C ++