Квадратная матрица

Квадратная матрица порядка 4. Элементы образуют главную диагональ квадратной матрицы. Например, главная диагональ приведенной выше матрицы 4 на 4 содержит элементы a ₁₁  = 9, a ₂₂  = 11, a ₃₃  = 4, a ₄₄  = 10.${\ displaystyle a_ {ii}}$

В математике , A квадратная матрица представляет собой матрицу с тем же количеством строк и столбцов. An N матрицу с размерностью п матрица называется квадратной матрицей порядка . Любые две квадратные матрицы одного порядка можно складывать и умножать. ${\ displaystyle n}$

Квадратные матрицы часто используются для представления простых линейных преобразований , таких как сдвиг или вращение . Например, если это квадратная матрица , представляющая вращения ( матрицу вращения ) и представляет собой вектор - столбец , описывающий положение точки в пространстве, продукт дает другой вектор - столбец , описывающий положение этой точки после этого вращения. Если это вектор - строка , то же превращение может быть получен с использованием , где это транспонированная из .${\ displaystyle R}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle Rv}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle vR ^ {\ mathsf {T}}}$${\ Displaystyle R ^ {\ mathsf {T}}}$${\ displaystyle R}$

Главная диагональ [ править ]

Элементы ( i = 1, ..., n ) образуют главную диагональ квадратной матрицы. Они лежат на воображаемой линии, идущей от верхнего левого угла до нижнего правого угла матрицы. Например, главная диагональ приведенной выше матрицы 4 на 4 содержит элементы a ₁₁  = 9, a ₂₂  = 11, a ₃₃  = 4, a ₄₄  = 10. ${\ displaystyle a_ {ii}}$

Диагональ квадратной матрицы от верхнего правого до нижнего левого угла называется антидиагональю или контрдиагональю .

Особые виды [ править ]

Имя	Пример с n = 3
Диагональная матрица	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {11} & 0 & 0 \\ 0 & a_ {22} & 0 \\ 0 & 0 & a_ {33} \ end {bmatrix}}}$
Нижняя треугольная матрица	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {11} & 0 & 0 \\ a_ {21} & a_ {22} & 0 \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \ end {bmatrix}}}$
Верхняя треугольная матрица	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}$

Диагональная или треугольная матрица [ править ]

Если все элементы за пределами главной диагонали равны нулю, матрица называется диагональной . Если только все элементы выше (или ниже) главной диагонали равны нулю, матрица 'называется нижней (или верхней) треугольной матрицей .${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Матрица идентичности [ править ]

Единичная матрица размера является матрицей , в которой все элементы на главной диагонали равны 1 , а все остальные элементы равны 0, например ,${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$

Это квадратная матрица порядка , а также диагональная матрица особого вида . Она называется единичной матрицей, потому что умножение на нее оставляет матрицу неизменной: ${\displaystyle n}$

AI _n = I _m A = A для любойматрицыразмером m на n .${\displaystyle A}$

Обратимая матрица и ее обратная [ править ]

Квадратная матрица называется обратимой или невырожденной, если существует такая матрица , что${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle AB=BA=I_{n}}$. ^{[1] [2]}

Если существует, то она единственна и называется обратной матрицей из , обозначаемой .${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{-1}}$

Симметричная или кососимметричная матрица [ править ]

Квадратная матрица , равная своему транспонированию, т. Е. Является симметричной матрицей . Если вместо этого , то называется кососимметричной матрицей . ${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=A}$${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$${\displaystyle A}$

Для сложной квадратной матрицы часто подходящим аналогом транспонирования является сопряженное транспонирование , определяемое как транспонирование комплексного сопряженного числа . Комплексная квадратная матрица, удовлетворяющая условиям , называется эрмитовой матрицей . Если вместо этого , то называется косоэрмитовой матрицей .${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}=A}$${\displaystyle A^{*}=-A}$${\displaystyle A}$

По спектральной теореме вещественные симметричные (или комплексные эрмитовы) матрицы имеют ортогональный (или унитарный) собственный базис ; т.е. каждый вектор выражается как линейная комбинация собственных векторов. В обоих случаях все собственные значения действительны. ^[3]

Определенная матрица [ править ]

Положительно определенный	Неопределенный
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/4&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/4&0\\0&-1/4\end{bmatrix}}}$
Q ( х , у ) = 1/4 х 2 + у 2	Q ( х , у ) = 1/4 х 2 - 1/4 у 2
Точки такие, что Q ( x , y ) = 1 ( Эллипс ).	Точки такие, что Q ( x , y ) = 1 ( Гипербола ).

Симметричная n × n -матрица называется положительно определенной (соответственно отрицательно определенной; неопределенной), если для всех ненулевых векторов соответствующая квадратичная форма задается формулой ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

Q ( x ) = x ^T Ax

принимает только положительные значения (соответственно только отрицательные значения; как некоторые отрицательные, так и некоторые положительные значения). ^[4] Если квадратичная форма принимает только неотрицательные (соответственно только неположительные) значения, симметричная матрица называется положительно-полуопределенной (соответственно отрицательно-полуопределенной); следовательно, матрица неопределенна именно тогда, когда она не является ни положительно-полуопределенной, ни отрицательно-полуопределенной.

Симметричная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все ее собственные значения положительны. ^[5] В таблице справа показаны две возможности для матриц 2 на 2.

Использование в качестве входных данных двух разных векторов вместо этого дает билинейную форму, связанную с A :

B _A ( x , y ) = x ^T Ay . ^[6]

Ортогональная матрица [ править ]

Ортогональная матрица представляет собой квадратную матрицу с реальными записями , чьи столбцы и строки являются ортогональные единичные векторы (т.е. ортонормальные векторы). Эквивалентно, матрица A ортогональна, если ее транспонирование равно ее обратной :

${\displaystyle A^{\textsf {T}}=A^{-1},\,}$

что влечет за собой

${\displaystyle A^{\textsf {T}}A=AA^{\textsf {T}}=I,\,}$

где I - единичная матрица .

Ортогональная матрица A обязательно обратима (с обратным A ⁻¹ = A ^T ), унитарна ( A ⁻¹ = A * ) и нормальна ( A * A = AA * ). Определитель любой ортогональной матрицы равен +1 или -1. Специальная ортогональная группа состоит из п  ×  п ортогональных матриц с определителем +1. ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$

Комплекс аналог ортогональной матрицы является унитарной матрицей .

Нормальная матрица [ править ]

Действительная или комплексная квадратная матрица называется нормальной, если . Если вещественная квадратная матрица симметрична, кососимметрична или ортогональна, то это нормально. Если комплексная квадратная матрица эрмитова, косоэрмитова или унитарная, то она нормальна. Нормальные матрицы представляют интерес в основном потому, что они включают в себя только что перечисленные типы матриц и образуют широчайший класс матриц, для которых справедлива спектральная теорема . ^[7]${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}}$

Операции [ править ]

След [ править ]

След , тр ( ) квадратной матрицы А есть сумма ее диагональных элементов. Хотя умножение матриц не является коммутативным, след произведения двух матриц не зависит от порядка множителей:

${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)}$

Это непосредственно следует из определения умножения матриц:

${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} (BA).}$

Кроме того, след матрицы равен следу ее транспонирования, т. Е.

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} })}$.

Определитель [ править ]

Линейное преобразование, заданное указанной матрицей. Определитель этой матрицы равен -1, так как площадь зеленого параллелограмма справа равна 1, но карта меняет ориентацию , так как она меняет ориентацию векторов против часовой стрелки на правую .${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Детерминантой или квадратной матрицы представляет собой число , кодирующие определенные свойства матрицы. Матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Его абсолютное значение равно площади (в ) или объему (в ) изображения единичного квадрата (или куба), а его знак соответствует ориентации соответствующей линейной карты: определитель положителен тогда и только тогда, когда ориентация сохранились.${\displaystyle \det(A)}$${\displaystyle |A|}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Определитель матриц 2 на 2 определяется выражением

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}$

Определитель матриц 3 на 3 включает 6 членов ( правило Сарруса ). Более длинная формула Лейбница обобщает эти две формулы на все измерения. ^[8]

Определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей: ^[9]

${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)}$

Добавление кратного числа любой строки к другой строке или кратного числа любого столбца к другому столбцу не меняет определителя. Перестановка двух строк или двух столбцов влияет на определитель, умножая его на -1. ^[10] Используя эти операции, любую матрицу можно преобразовать в нижнюю (или верхнюю) треугольную матрицу, и для таких матриц определитель равен произведению элементов на главной диагонали; это дает метод вычисления определителя любой матрицы. Наконец, разложение Лапласа выражает определитель в терминах миноров , т. Е. Определителей матриц меньшего размера. ^[11]Это расширение можно использовать для рекурсивного определения определителей (взяв в качестве начального случая определитель матрицы 1 на 1, которая является ее уникальной записью, или даже определитель матрицы 0 на 0, которая равна 1) , что, как можно видеть, эквивалентно формуле Лейбница. Детерминанты могут использоваться для решения линейных систем с использованием правила Крамера , где деление определителей двух связанных квадратных матриц приравнивается к значению каждой из переменных системы. ^[12]

Собственные значения и собственные векторы [ править ]

Число λ и ненулевой вектор, удовлетворяющие${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$

которые называют собственное значение и собственный вектор из , соответственно. ^{[13] [14]} Число λ является собственным значением из п × п -матрицы А тогда и только тогда , когда -Л I _п не является обратимым, что эквивалентно , чтобы${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det({\mathsf {A}}-\lambda {\mathsf {I}})=0.}$^[15]

Многочлен р в неопределенном X , заданной оценкой определителя DET ( Х I _п - ) называется характеристический полином из A . Это унитарный многочлен от степени п . Следовательно, полиномиальное уравнение p _A (λ) = 0 имеет не более n различных решений, т. Е. Собственных значений матрицы. ^[16] Они могут быть сложными, даже если записи A действительны. Согласно теореме Кэли-Гамильтона , р _A ( A ) = 0 , то есть результат подстановки самой матрицы в ее собственный характеристический многочлен дает нулевую матрицу .

См. Также [ править ]

• Матрица Картана

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Браун, Уильям К. (1991), Матрицы и векторные пространства , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Марсель Деккер , ISBN 978-0-8247-8419-5
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
• Мирский, Леонид (1990), Введение в линейную алгебру , Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с квадратными матрицами на Викискладе?