В математической дисциплине линейной алгебры , треугольная матрица представляет собой особый вид квадратной матрицы . Квадратная матрица называетсянижней треугольной , если все элементывышенаглавной диагоналиравны нулю. Аналогично квадратная матрица называетсяверхняя треугольная , если все элементыниженаглавной диагоналиравны нулю.
Поскольку матричные уравнения с треугольными матрицами легче решать, они очень важны для численного анализа . С помощью алгоритма разложения LU обратимая матрица может быть записана как произведение нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной матрицы U тогда и только тогда, когда все ее ведущие главные миноры не равны нулю.
Описание
Матрица вида
называется нижнетреугольной матрицей или левотреугольной матрицей , и аналогично матрицей вида
называется верхнетреугольной матрицей или правотреугольной матрицей . Более низкая или слева треугольная матрица обычно обозначаются с переменной L , и верхняя или правая треугольная матрица обычно обозначаются с переменной U или R .
Матрица, имеющая одновременно верхний и нижний треугольники, диагональна . Матрицы, похожие на треугольные, называются треугольными .
Неквадратная (а иногда и любая) матрица с нулями над (под) диагональю называется нижней (верхней) трапециевидной матрицей. Ненулевые записи образуют форму трапеции .
Примеры
Эта матрица
верхнетреугольная, и эта матрица
нижнетреугольная.
Прямая и обратная подстановка
Матричное уравнение в виде или же очень легко решить с помощью итеративного процесса, называемого прямой заменой для нижнетреугольных матриц и аналогичной обратной заменой для верхнетреугольных матриц. Процесс называется так потому, что для нижнетреугольных матриц сначала вычисляется, А затем заменяет , что вперед в следующее уравнение для решения, и повторяется до . В верхней треугольной матрице каждый работает в обратном направлении, сначала вычисляя, затем подставив это обратно в предыдущее уравнение, чтобы найти, и повторяя через .
Обратите внимание, что это не требует инвертирования матрицы.
Прямая замена
Матричное уравнение L x = b можно записать в виде системы линейных уравнений
Обратите внимание, что первое уравнение () включает только , и, таким образом, можно решить для напрямую. Второе уравнение включает только а также , и, таким образом, может быть решена после замены уже решенного значения на . Продолжая таким образом,-е уравнение включает только , и можно решить для используя ранее решенные значения для .
В результате получаются следующие формулы:
Матричное уравнение с верхнетреугольной матрицей U может быть решено аналогичным образом, только в обратном направлении.
Приложения
Форвардное замещение используется в финансовом бутстрэппинге для построения кривой доходности .
Характеристики
Транспонирования из верхней треугольной матрицы является нижней треугольной матрицей , и наоборот.
Матрица, которая является как симметричной, так и треугольной, диагональна. Аналогичным образом, матрица, которая является как нормальной (то есть A * A = AA * , где A * - сопряженное транспонирование ), так и треугольной, также является диагональной. Это можно увидеть, посмотрев на диагональные входы A * A и AA * .
Детерминант и перманентный треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов, так как могут быть проверены прямым вычислением.
На самом деле верно больше: собственные значения треугольной матрицы - это в точности ее диагональные элементы. Кроме того, каждый собственный происходит ровно K раз по диагонали, где к является его алгебраической кратностью , то есть, его кратность как корень из характеристического полинома из A . Другими словами, характеристический многочлен треугольной матрицы A размера n × n в точности равен
- ,
то есть единственный многочлен степени n , корни которого являются диагональными элементами матрицы A (с кратностями). Чтобы увидеть это, заметьте, что также треугольный и, следовательно, его определитель является произведением его диагональных элементов . [1]
Особые формы
Унитреугольная матрица
Если все элементы на главной диагонали (верхней или нижней) треугольной матрицы равны 1, матрица называется (верхней или нижней) унитреугольной .
Другие названия, используемые для этих матриц, - единичный (верхний или нижний) треугольный или очень редко нормированный (верхний или нижний) треугольник . Однако единичная треугольная матрица - это не то же самое, что единичная матрица , а нормированная треугольная матрица не имеет ничего общего с понятием нормы матрицы .
Все унитреугольные матрицы унипотентны .
Строго треугольная матрица
Если все элементы на главной диагонали (верхней или нижней) треугольной матрицы равны 0, матрица называется строго (верхней или нижней) треугольной .
Все строго треугольные матрицы нильпотентны .
Атомная треугольная матрица
Атомарный (верхняя или нижняя) треугольная матрица представляет собой особую форму унитреугольной матрицы, где все недиагональные элементы равны нулю, для записи в одном столбце , за исключением. Такая матрица также называется матрица Фробениуса , А матрица Гаусса , или матрица преобразования Гаусса .
Возможность треугольной формы
Матрица, похожая на треугольную, называется треугольной . Абстрактно это эквивалентно стабилизации флага : верхнетреугольные матрицы - это в точности те, которые сохраняют стандартный флаг , который задается стандартным упорядоченным базисом и получившийся флаг Все флаги сопряжены (поскольку общая линейная группа действует транзитивно на базисах), поэтому любая матрица, стабилизирующая флаг, аналогична матрице, стабилизирующей стандартный флаг.
Любая сложная квадратная матрица треугольная. [1] Фактически, матрица A над полем, содержащая все собственные значения A (например, любая матрица над алгебраически замкнутым полем ), подобна треугольной матрице. Это можно доказать с помощью индукции по тому факту, что A имеет собственный вектор, взяв фактор-пространство по собственному вектору и проведя индукцию, чтобы показать, что A стабилизирует флаг и, таким образом, является треугольным по отношению к базису этого флага.
Более точное утверждение дается теоремой Жордана о нормальной форме , которая утверждает, что в этой ситуации A подобна верхнетреугольной матрице очень конкретной формы. Однако более простого результата триангуляризации часто бывает достаточно, и в любом случае он используется при доказательстве теоремы Жордана о нормальной форме. [1] [2]
В случае комплексных матриц можно сказать больше о триангуляризации, а именно о том, что любая квадратная матрица A имеет разложение Шура . Это означает, что A унитарно эквивалентна (т. Е. Подобна, используя унитарную матрицу в качестве замены базиса) верхнетреугольной матрице; это следует из взятия эрмитовой основы для флага.
Одновременная треугольная возможность
Набор матриц как говорят одновременно треугольные, если есть основание, при котором все они являются верхнетреугольными; эквивалентно, если ониподдаютсяверхнему треугольнику с помощью одной матрицы подобияP.Такой набор матриц легче понять, рассматривая алгебру матриц, которую он порождает, а именно все многочлены из обозначенный Одновременная триангулизуемость означает, что эта алгебра сопряжена в подалгебру Ли верхнетреугольных матриц и эквивалентна тому, что эта алгебра является подалгеброй Ли борелевской подалгебры .
Основной результат состоит в том, что (над алгебраически замкнутым полем) коммутирующие матрицы или в более общем смысле одновременно являются треугольными. Это можно доказать, сначала показав, что коммутирующие матрицы имеют общий собственный вектор, а затем проведя индукцию по размерности, как и раньше. Это было доказано Фробениусом, начиная с 1878 г. для коммутирующей пары, как обсуждалось при коммутирующих матрицах . Что касается одиночной матрицы, над комплексными числами они могут быть треугольными с помощью унитарных матриц.
Тот факт, что коммутирующие матрицы имеют общий собственный вектор, можно интерпретировать как результат Nullstellensatz Гильберта : коммутирующие матрицы образуют коммутативную алгебру над которое можно интерпретировать как многообразие в k -мерном аффинном пространстве, и существование (общего) собственного значения (и, следовательно, общего собственного вектора) соответствует этому многообразию, имеющему точку (непустую), которая является содержанием (слабый) Nullstellensatz. [ необходимая цитата ] В алгебраических терминах эти операторы соответствуют представлению алгебры полиномиальной алгебры от k переменных.
Это обобщается теоремой Ли , которая показывает, что любое представление разрешимой алгебры Ли одновременно верхне-триангулируемо, причем случай коммутирующих матриц является случаем абелевой алгебры Ли , причем абелева является разрешимой тем более.
В более общем смысле, набор матриц одновременно треугольным тогда и только тогда, когда матрица является нильпотентным для всех полиномов р в К Неправительственному -commuting переменных, гдеэто коммутатор ; для поездоккоммутатор обращается в нуль, значит, это верно. Это было доказано в ( Drazin, Dungey & Gruenberg 1951 ); краткое доказательство приведено в ( Прасолов 1994 , с. 178–179 ). Одно направление ясно: если матрицы одновременно треугольные, тоявляется строго верхней triangularizable (отсюда нильпотентным), которая сохраняется умножением на любом или их комбинация - у него все еще будут нули по диагонали в основе треугольника.
Алгебры треугольных матриц
Верхнюю треугольность сохраняют многие операции:
- Сумма двух верхнетреугольных матриц является верхнетреугольной.
- Произведение двух верхнетреугольных матриц является верхнетреугольным.
- Матрица, обратная верхнетреугольной матрице, если существует, является верхнетреугольной.
- Произведение верхнетреугольной матрицы и скаляра является верхнетреугольным.
Вместе эти факты означают , что верхние треугольные матрицы образуют алгебру в ассоциативной алгебре квадратных матриц для заданного размера. Кроме того, это также показывает, что верхнетреугольные матрицы можно рассматривать как подалгебру Ли алгебры Ли квадратных матриц фиксированного размера, где скобка Ли [ a , b ] задается коммутатором ab - ba . Алгебра Ли всех верхнетреугольных матриц является разрешимой алгеброй Ли . Ее часто называют борелевской подалгеброй алгебры Ли всех квадратных матриц.
Все эти результаты остаются в силе, если верхний треугольник полностью заменен нижним треугольником ; в частности, нижнетреугольные матрицы также образуют алгебру Ли. Однако операции смешивания верхних и нижних треугольных матриц, как правило, не дают треугольных матриц. Например, сумма верхней и нижней треугольных матриц может быть любой матрицей; произведение нижнего треугольника на верхнюю треугольную матрицу также не обязательно треугольное.
Набор унитреугольных матриц образует группу Ли .
Набор строго верхних (или нижних) треугольных матриц образует нильпотентную алгебру Ли , обозначаемуюЭта алгебра является производной алгеброй Ли из, алгебра Ли всех верхнетреугольных матриц; в символах, Кроме того, является алгеброй Ли группы Ли унитреугольных матриц.
Фактически, по теореме Энгеля любая конечномерная нильпотентная алгебра Ли сопряжена с подалгеброй строго верхнетреугольных матриц, то есть конечномерная нильпотентная алгебра Ли одновременно строго верхнетреугольной алгебры.
Алгебры верхнетреугольных матриц имеют естественное обобщение в функциональном анализе, которое дает алгебры гнезд на гильбертовых пространствах .
Борелевские подгруппы и борелевские подалгебры
Множество обратимых треугольных матриц данного вида (верхнего или нижнего) образует группу , в действительности группу Ли , которая является подгруппой общей линейной группы всех обратимых матриц. Треугольная матрица обратима именно тогда, когда ее диагональные элементы обратимы (ненулевые).
По действительным числам эта группа отключена, имея компоненты соответственно, поскольку каждая диагональная запись является положительной или отрицательной. Компонент единицы - это обратимые треугольные матрицы с положительными элементами на диагонали, а группа всех обратимых треугольных матриц является полупрямым произведением этой группы и группы диагональных матриц с по диагонали, соответствующей компонентам.
Алгебра Ли группы Ли обратимых верхних треугольных матриц является множество всех верхних треугольных матриц, не обязательно обратимых, и это разрешимая алгебра Ли . Это, соответственно, стандартная борелевская подгруппа B группы Ли GL n и стандартная борелевская подалгебра алгебры Ли gl n .
Верхнетреугольные матрицы - это как раз те, которые стабилизируют стандартный флаг . Обратимые среди них образуют подгруппу общей линейной группы, сопряженные подгруппы которой определены как стабилизатор некоторого (другого) полного флага. Эти подгруппы являются борелевскими . Группа обратимых нижнетреугольных матриц является такой подгруппой, поскольку она является стабилизатором стандартного флага, связанного со стандартным базисом в обратном порядке.
Стабилизатор частичного флага, полученный забыванием некоторых частей стандартного флага, можно описать как набор блочных верхнетреугольных матриц (но не все его элементы являются треугольными матрицами). Сопряженные с такой группой подгруппы определены как стабилизатор некоторого частичного флага. Эти подгруппы называются параболическими подгруппами .
Примеры
Группа из 2 × 2 верхних унитреугольных матриц изоморфна к аддитивной группе поля скаляров; в случае комплексных чисел это соответствует группе параболических преобразований Мёбиуса ; верхние унитреугольные матрицы 3 × 3 образуют группу Гейзенберга .
Смотрите также
- Гауссово исключение
- QR-разложение
- Разложение Холецкого
- Матрица Гессенберга
- Трехдиагональная матрица
- Инвариантное подпространство
Рекомендации
- ^ a b c ( Axler 1996 , стр. 86–87, 169)
- ^ ( Херштейн 1975 , стр. 285–290)
- Акслер, Шелдон (1996), линейная алгебра, сделанная правильно , Springer-Verlag, ISBN 0-387-98258-2
- Дразин, депутат; Данжи, JW; Gruenberg, KW (1951), "Некоторые теоремы о коммутативных матрицах" , J. London Math. Soc. , 26 (3): 221-228, DOI : 10.1112 / jlms / s1-26.3.221
- Херштейн, И. Н. (1975), Темы алгебры (2-е изд.), Джон Уайли и сыновья, ISBN 0-471-01090-1
- Прасолов, Виктор (1994), Проблемы и теоремы линейной алгебры , ISBN 9780821802366