Представление алгебры

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Найти источники:  «Представление алгебры»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В абстрактной алгебре , представление ассоциативной алгебры является модулем для этой алгебры. Здесь ассоциативная алгебра - это кольцо (не обязательно с единицей ) . Если алгебра не унитальна, это можно сделать стандартным способом (см. Страницу сопряженных функторов ); нет существенной разницы между модулями для результирующего кольца с единицей, в котором тождество действует посредством тождественного отображения, и представлениями алгебры.

Примеры [ править ]

Линейная сложная структура [ править ]

Один из простейших нетривиальных примеров является линейной комплексной структурой , которая является представлением комплексных чисел C , думали как ассоциативная алгебра над вещественными числами R . Эта алгебра реализована конкретно как что соответствует i ² = −1 . Тогда представление C - это вещественное векторное пространство V вместе с действием C на V (карта ). Конкретно, это просто действие I  , так как это порождает алгебру, и оператор , представляющий I (с изображением из${\ Displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1),}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ to \ mathrm {Конец} (V)}$я в End ( V )), обозначается J , чтобы избежать путаницы с единичной матрицей I .

Полиномиальные алгебры [ править ]

Другой важный базовый класс примеров - это представления алгебр полиномов , свободные коммутативные алгебры - они составляют центральный объект изучения коммутативной алгебры и ее геометрического аналога, алгебраической геометрии . Представление алгебры полиномов от k переменных над полем K, в частности, является K- векторным пространством с k коммутирующими операторами, и часто обозначается, имея в виду представление абстрактной алгебры, где${\ displaystyle K [T_ {1}, \ dots, T_ {k}],}$${\ Displaystyle К [x_ {1}, \ точки, x_ {k}]}$${\ displaystyle x_ {i} \ mapsto T_ {i}.}$

Основной результат о таких представлениях является то , что, над алгебраически замкнутым полем , представляющая собой матрицы являются одновременно triangularisable .

Интересен даже случай представлений алгебры полиномов в одной переменной - это обозначается и используется для понимания структуры одного линейного оператора в конечномерном векторном пространстве. В частности, применение структурной теоремы для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов к этой алгебре дает в качестве следствий различные канонические формы матриц, такие как каноническая форма Жордана .${\ displaystyle K [T]}$

В некоторых подходах к некоммутативной геометрии свободная некоммутативная алгебра (многочлены от некоммутативных переменных) играет аналогичную роль, но анализ намного сложнее.

Вес [ править ]

Собственные значения и собственные векторы могут быть обобщены на представления алгебры.

Обобщение собственного значения представления алгебры является, а не одним скаляром, одномерным представлением (т. Е. Гомоморфизмом алгебры от алгебры к ее основному кольцу: линейный функционал, который также является мультипликативным). ^{[примечание 1]} Это известно как вес , и аналог собственного вектора и подпространство называет весовой вектором и весом пространства .${\ displaystyle \ lambda \ двоеточие от A \ до R}$

Случай собственного значения одного оператор соответствует алгебре и карте алгебр определяются с помощью которого скалярного он отображает генератор T с. Весовой вектор для представления алгебры - это вектор, такой, что любой элемент алгебры отображает этот вектор в кратное себе самому - одномерный подмодуль (подпредставление). Как спаривание является билинейным « который несколько» является -линейным функционалом А (алгебра отображения → R ), а именно вес. В символах весовой вектор - это такой вектор , что для всех элементов некоторого линейного функционала${\ displaystyle R [T],}$${\ Displaystyle R [T] \ к R}$${\ Displaystyle А \ раз от М \ до М}$${\ displaystyle m \ in M}$${\ displaystyle am = \ lambda (a) m}$${\displaystyle a\in A,}$${\displaystyle \lambda }$- обратите внимание, что слева умножение - это действие алгебры, а справа умножение - это скалярное умножение.

Поскольку вес является отображением в коммутативное кольцо , отображение факторизуется через абелианизацию алгебры - эквивалентно, она обращается в нуль на производной алгебре - в терминах матриц, если является общим собственным вектором операторов и , то (потому что в обоих случаях это просто умножение на скаляры), поэтому общие собственные векторы алгебры должны находиться в множестве, на котором алгебра действует коммутативно (которое аннулируется производной алгеброй). Таким образом, центральный интерес представляют свободные коммутативные алгебры, а именно алгебры полиномов . В этом особенно простом и важном случае алгебры полиномов в наборе коммутирующих матриц весовой вектор этой алгебры является одновременным собственным вектором${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle T}$${\displaystyle U}$${\displaystyle TUv=UTv}$${\displaystyle \mathbf {F} [T_{1},\dots ,T_{k}]}$матриц, в то время как вес этой алгебры представляет собой просто -набор скаляров, соответствующих собственному значению каждой матрицы и, следовательно, геометрически точке в -пространстве. Эти веса - в особенности их геометрия - имеют центральное значение для понимания теории представлений алгебр Ли , в частности конечномерных представлений полупростых алгебр Ли .${\displaystyle k}$${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})}$${\displaystyle k}$

В качестве приложения этой геометрии дана алгебра, которая является фактором полиномиальной алгебры по образующим, она геометрически соответствует алгебраическому многообразию в -мерном пространстве, и вес должен приходиться на это многообразие, т. Е. Удовлетворяет определяющим уравнениям для Разнообразие. Это обобщает тот факт, что собственные значения удовлетворяют характеристическому полиному матрицы от одной переменной.${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

См. Также [ править ]

• Теория представлений
• Intertwiner
• Теория представлений алгебр Хопфа
• Представление алгебры Ли
• Лемма Шура
• Теорема плотности Джекобсона
• Двойная коммутант теорема

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]