Кольцо полиномов

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Полиномиальное кольцо»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( февраль 2008 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Основные понятия Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо с продуктом • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Клеммное кольцо ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • Домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (п ^ {\ infty})}$ • Основание - круговое кольцо p ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ • База - p целых чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -адические рациональные числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • База - p вещественных чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -адические целые числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • p -адические числа ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • p -адический соленоид ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

В математике , особенно в области алгебры , А кольцо многочленов или алгебра многочленов является кольцо (которое также является коммутативной алгебра ) , образованное из множества из многочленов в одной или несколько неизвестных (традиционно называемом также переменные ) с коэффициентами в другом кольце , часто поле .

Часто термин «кольцо многочленов» неявно относится к частному случаю кольца многочленов от одного неопределенного над полем. Важность таких колец многочленов зависит от большого числа свойств, которые у них есть общие с кольцом целых чисел.

Полиномиальные кольца происходят и часто фундаментальные во многих областях математики , таких как теория чисел , коммутативной алгебры и теории колец и алгебраической геометрии . Многие классы колец, такие как области уникальной факторизации , регулярные кольца , групповые кольца , кольца формальных степенных рядов , многочлены Оре , градуированные кольца , были введены для обобщения некоторых свойств колец многочленов.

Тесно родственное понятие - это понятие кольца полиномиальных функций на векторном пространстве и, в более общем смысле, кольца регулярных функций на алгебраическом многообразии .

Определение (одномерный случай) [ править ]

Кольцо многочленов , К [ Х ] , в X над полем (или, более общо, коммутативное кольцо ) К могут быть определены ^[1] (существуют и другие эквивалентные определения, которые обычно используются) как набор выражений, называемых полиномы в X , вида

${\ displaystyle p = p_ {0} + p_ {1} X + p_ {2} X ^ {2} + \ cdots + p_ {m-1} X ^ {m-1} + p_ {m} X ^ { m},}$

где р ₀ , р ₁ , ..., р _т , то коэффициенты из р , являются элементами К , р _м ≠ 0 , если т > 0 , и Х , Х ² , ..., являются символами, которые рассматриваются как "степени" X и следуйте обычным правилам возведения в степень : X ⁰ = 1 , X ¹ = X , и для любых неотрицательных целых чисел k и${\ displaystyle X ^ {k} \, X ^ {l} = X ^ {k + l}}$ л . Символ X называется неопределенным ^[2] или переменным. ^[3] (Термин «переменная» происходит от терминологии полиномиальных функций . Однако здесь X не имеет никакого значения (кроме самого себя) и не может изменяться, будучи константой в кольце многочленов.)

Два полинома равны, если соответствующие коэффициенты каждого X ^k равны.

Можно представить кольцо K [ X ] как возникшее из K путем добавления одного нового элемента X, который является внешним по отношению к K , коммутирует со всеми элементами K и не имеет других специфических свойств. (Это может быть использовано для определения колец многочленов.)

Кольцо многочленов в X над K оснащено сложением, умножением и скалярным умножением, которые делают его коммутативной алгеброй . Эти операции определяются в соответствии с обычными правилами работы с алгебраическими выражениями. В частности, если

${\ displaystyle p = p_ {0} + p_ {1} X + p_ {2} X ^ {2} + \ cdots + p_ {m} X ^ {m},}$

а также

${\ displaystyle q = q_ {0} + q_ {1} X + q_ {2} X ^ {2} + \ cdots + q_ {n} X ^ {n},}$

тогда

${\displaystyle p+q=r_{0}+r_{1}X+r_{2}X^{2}+\cdots +r_{k}X^{k},}$

а также

${\displaystyle pq=s_{0}+s_{1}X+s_{2}X^{2}+\cdots +s_{l}X^{l},}$

где k = max ( m , n ), l = m + n ,

${\displaystyle r_{i}=p_{i}+q_{i}}$

а также

${\displaystyle s_{i}=p_{0}q_{i}+p_{1}q_{i-1}+\cdots +p_{i}q_{0}.}$

В этих формулах полиномы p и q расширены путем добавления «фиктивных членов» с нулевыми коэффициентами, так что все p _i и q _i, которые появляются в формулах, определены. В частности, если m < n , то p _i = 0 для m < i ≤ n .

Скалярное умножение - это частный случай умножения, когда p = p ₀ сводится к своему постоянному члену (члену, не зависящему от X ); это

${\displaystyle p_{0}\left(q_{0}+q_{1}X+\dots +q_{n}X^{n}\right)=p_{0}q_{0}+\left(p_{0}q_{1}\right)X+\cdots +\left(p_{0}q_{n}\right)X^{n}}$

Несложно проверить , что эти три операции удовлетворяют аксиомам коммутативной алгебры над K . Поэтому кольца полиномов также называют алгебрами полиномов .

Часто предпочтительнее другое эквивалентное определение, хотя и менее интуитивное, потому что его легче сделать полностью строгим, которое состоит в определении многочлена как бесконечной последовательности ( p ₀ , p ₁ , p ₂ , ...) элементов K , обладающий тем свойством, что только конечное число элементов ненулевое, или, что то же самое, последовательность, для которой существует такое m, что p _n = 0 для n > m . В этом случае p ₀ и X рассматриваются как альтернативные обозначения последовательностей( p ₀ , 0, 0, ...) и (0, 1, 0, 0, ...) соответственно. Непосредственное использование правил работы показывает, что выражение

${\displaystyle p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m}X^{m}}$

является альтернативным обозначением последовательности

( p ₀ , p ₁ , p ₂ , ..., p _m , 0, 0, ...) .

Терминология [ править ]

Позволять

${\displaystyle p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},}$

ненулевой многочлен с ${\displaystyle p_{m}\neq 0}$

Постоянный член из р является он равен нулю в случае нулевого многочлена.${\displaystyle p_{0}.}$

Степени из р , написанный град ( р ) является самым большим к таким образом, что коэффициент X ^к не равен нулю. ^[4]${\displaystyle m,}$

Старший коэффициент из р является ^[5]${\displaystyle p_{m}.}$

В частном случае нулевого многочлена, все коэффициенты которого равны нулю, старший коэффициент не определен, а степень оставалась неопределенной по-разному, ^[6] определялась как –1 , ^[7] или определялась как –∞ . ^[8]

Постоянный многочлен либо нулевой многочлен, или многочлен нулевой степени.

Ненулевой многочлен называется моническим, если его старший коэффициент равен${\displaystyle 1.}$

Для двух многочленов p и q один имеет

${\displaystyle \deg(p+q)\leq \max(\deg(p),\deg(q)),}$

и, по полю , или более обычно является областью целостности , ^[9]

${\displaystyle \deg(pq)=\deg(p)+\deg(q).}$

Отсюда немедленно следует, что если K - область целостности, то K [ X ] тоже . ^[10]

Из этого также следует , что если K является областью целостности, полином является единица (то есть, она имеет мультипликативный обратный ) тогда и только тогда , когда она постоянна и является единицей в К .

Два полинома связаны, если один из них является произведением другого на единицу.

Над полем каждому ненулевому многочлену соответствует единственный монический многочлен.

Даны два многочлены, р и д , один говорит , что р делит д , р является делителем из ц , или д кратно р , если существует многочлен г такой , что д = рг .

Многочлен неприводим, если он не является произведением двух непостоянных многочленов или, что то же самое, если его делители либо являются постоянными многочленами, либо имеют одинаковую степень.

Полиномиальная оценка [ править ]

Пусть К полевой или, более общо, коммутативное кольцо , а R кольцо , содержащее K . Для любого многочлена p в K [X] и любого элемента a в R замена X на a в p определяет элемент R , который обозначается P ( a ) . Этот элемент получается продолжением в R после подстановки операций, указанных выражением полинома. Это вычисление называется оценкой поP в а . Например, если у нас есть

${\displaystyle P=X^{2}-1,}$

у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}P(3)&=3^{2}-1=8,\\P(X^{2}+1)&=\left(X^{2}+1\right)^{2}-1=X^{4}+2X^{2}\end{aligned}}}$

(в первом примере R = K , а во втором R = K [ X ] ). Подстановка X вместо себя приводит к

${\displaystyle P=P(X),}$

объясняя, почему предложения «Пусть P - многочлен» и «Пусть P ( X ) - многочлен» эквивалентны.

Полиномиальная функция определяется полиномом P является функцией от K в K , который определяется Если K бесконечного поле, два различных многочленов определяют различные полиномиальные функции, но это свойство является ложным для конечных полей. Например, если K - поле с q элементами, то полиномы 0 и X ^q - X определяют нулевую функцию.${\displaystyle x\mapsto P(x).}$

Для каждого a в R оценка в a , то есть отображение определяет гомоморфизм алгебр из K [ X ] в R , который является единственным гомоморфизмом из K [ X ] в R, который фиксирует K и отображает X в a . Другими словами, K [ X ] обладает следующим универсальным свойством . Для любого кольца R, содержащего K , и каждого элемента a${\displaystyle P\mapsto P(a)}$группы R существует единственный гомоморфизм алгебр из K [ X ] в R, который фиксирует K и отображает X в a . Что касается всех универсальных свойств, это определяет пару ( K [ X ], X ) с точностью до единственного изоморфизма и, следовательно, может использоваться как определение K [ X ] .

Одномерные многочлены над полем [ править ]

Если K - поле , кольцо многочленов K [ X ] обладает многими свойствами, аналогичными свойствам кольца целых чисел. Большинство этих сходств проистекает из сходства между длинным делением целых чисел и длинным делением многочленов .${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

Большинство свойств K [ X ] , перечисленных в этом разделе, не остаются верными, если K не является полем или если рассматривать многочлены от нескольких неопределенностей.

Как и для целых чисел, евклидово деление многочленов обладает свойством уникальности. То есть, для двух многочленов a и b ≠ 0 в K [ X ] существует единственная пара ( q , r ) многочленов такая, что a = bq + r , и либо r = 0, либо deg (r) <deg ( б) . Это делает K [ X ] в евклидовой области. Однако большинство других евклидовых областей (кроме целых чисел) не имеют ни свойства уникальности для деления, ни простого алгоритма (например, деления в столбик) для вычисления евклидова деления.

Евклидово деление является основой алгоритма Евклида для полиномов, который вычисляет полиномиальный наибольший общий делитель двух полиномов. Здесь «наибольший» означает «имеющий максимальную степень» или, что то же самое, максимальное значение для предварительного порядка, определяемого степенью. Учитывая наибольший общий делитель двух многочленов, другие наибольшие общие делители получаются умножением на ненулевую константу (то есть все наибольшие общие делители a и b связаны). В частности, два многочлена, которые не равны нулю, имеют единственный наибольший общий делитель, который является моническим (старший коэффициент, равный1 ).

Расширенный алгоритм Евклида позволяет вычисления (и доказать) идентичность Безу . В случае K [ X ] это можно сформулировать следующим образом. Для двух многочленов p и q степеней m и n соответственно , если их унитарный наибольший общий делитель g имеет степень d , то существует единственная пара ( a , b ) многочленов такая, что

${\displaystyle ap+bq=g,}$

а также

${\displaystyle \deg(a)\leq n-d,\quad \deg(b)<m-d.}$

(Чтобы сделать это истинным в предельном случае, когда m = d или n = d , нужно определить как отрицательную степень нулевого многочлена. Более того, равенство может иметь место, только если p и q связаны.) Свойство уникальности довольно специфичен для K [ X ] . В случае целых чисел то же свойство истинно, если степени заменены абсолютными значениями, но для того, чтобы иметь уникальность, нужно требовать a > 0 .${\displaystyle \deg(a)=n-d}$

Лемма Евклида применима к K [ X ] . То есть, если a делит bc и взаимно просто с b , то a делит c . Здесь взаимно простой означает, что унитарный наибольший общий делитель равен1 . Доказательство. По условию и тождеству Безу существуют такие e , p и q , что ae = bc и 1 = ap + bq . Так ${\displaystyle c=c(ap+bq)=cap+aeq=a(cp+eq).}$

Уникальная факторизация свойство вытекает из леммы Евклида. В случае целых чисел это основная теорема арифметики . В случае K [ X ] это можно сформулировать так: каждый непостоянный многочлен может быть выражен уникальным образом как произведение константы и одного или нескольких неприводимых одночленов; это разложение уникально до порядка факторов. Другими словами, K [ X ] - это уникальная факторизационная область . Если K - поле комплексных чисел, основная теорема алгебрыутверждает, что одномерный многочлен неприводим тогда и только тогда, когда его степень равна единице. В этом случае свойство уникальности факторизации может быть переформулировано следующим образом: каждый непостоянный одномерный многочлен над комплексными числами может быть уникальным образом выражен как произведение константы и одного или нескольких многочленов формы X - r ; это разложение уникально до порядка факторов. Для каждого множителя r - это корень многочлена, а количество вхождений множителя - это кратность соответствующего корня.

Вывод [ править ]

(Формальная) производная многочлена

${\displaystyle a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}\cdots +a_{n}X^{n}}$

это многочлен

${\displaystyle a_{1}+2a_{2}X+\cdots +na_{n}X^{n-1}.}$

В случае полиномов с действительными или комплексными коэффициентами это стандартная производная . Приведенная выше формула определяет производную многочлена, даже если коэффициенты принадлежат кольцу, на котором не определено понятие предела . Производная делает кольцо многочленов дифференциальной алгеброй .

Существование производной - одно из основных свойств кольца многочленов, которое не является общим для целых чисел, и делает некоторые вычисления более легкими для кольца многочленов, чем для целых чисел.

Факторизация без квадратов [ править ]

Интерполяция Лагранжа [ править ]

Полиномиальное разложение [ править ]

Факторизация [ править ]

За исключением разложения, все предыдущие свойства K [ X ] являются эффективными , так как их доказательства, как было отмечено выше, связаны с алгоритмами для тестирования свойства и вычисления многочленов, существование которых отстаиваются. Кроме того , эти алгоритмы являются эффективными, так как их вычислительной сложностью является квадратичной функцией от размера входного сигнала.

Совершенно иная ситуация с факторизацией: доказательство единственной факторизации не дает никаких подсказок относительно метода факторизации. Уже для целых чисел нет известного алгоритма их факторизации за полиномиальное время . Это основа криптосистемы RSA , широко используемой для безопасной связи в Интернете.

В случае K [ X ] , факторов и методов их вычисления, сильно зависят от K . Над комплексными числами все неприводимые множители (те, которые не могут быть разложены на множители) имеют степень один, в то время как над действительными числами существуют неприводимые многочлены степени 2, а над рациональными числами существуют неприводимые многочлены любых степень. Например, многочлен неприводим по рациональным числам, факторизуется как по действительным числам, так и по комплексным числам.${\displaystyle X^{4}-2}$${\displaystyle (X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X^{2}+{\sqrt {2}})}$${\displaystyle (X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})}$

Существование алгоритма факторизации зависит также от основного поля. В случае действительных или комплексных чисел теорема Абеля – Руффини показывает, что корни некоторых многочленов и, следовательно, неприводимые множители не могут быть вычислены точно. Следовательно, алгоритм факторизации может вычислять только приближения факторов. Для вычисления таких приближений были разработаны различные алгоритмы, см. Поиск корня многочленов .

Существует пример поля К , такие , что существует точные алгоритмы для арифметических операций K , но не может существовать какой - либо алгоритм для принятия решения , является ли полином вида является неприводимым или является произведением многочленов меньшей степени. ^[11]${\displaystyle X^{p}-a}$

С другой стороны, над рациональными числами и над конечными полями ситуация лучше, чем для целочисленной факторизации , поскольку существуют алгоритмы факторизации, которые имеют полиномиальную сложность . Они реализованы в большинстве систем компьютерной алгебры общего назначения .

Минимальный многочлен [ править ]

Если θ - элемент ассоциативной K -алгебры L , полиномиальная оценка в θ - это единственный гомоморфизм алгебры φ из K [ X ] в L, который отображает X в θ и не влияет на элементы самой K (это тождество карту на К ). Он состоит в замене X на θ в каждом полиноме. Это,

${\displaystyle \varphi \left(a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\right)=a_{m}\theta ^{m}+a_{m-1}\theta ^{m-1}+\cdots +a_{1}\theta +a_{0}.}$

Образ этого оценочного гомоморфизма - подалгебра, порожденная x , которая обязательно коммутативна. Если φ инъективен, подалгебра, порожденная θ , изоморфна K [ X ] . В этом случае эту подалгебру часто обозначают K [ θ ] . Неоднозначность обозначений обычно безвредна из-за изоморфизма.

Если оценочный гомоморфизм не инъективен, это означает, что его ядро является ненулевым идеалом , состоящим из всех многочленов, которые становятся нулевыми, когда X заменяется θ . Этот идеал состоит из всех кратных некоторого монического многочлена, который называется минимальным многочленом от x . Термин минимальный мотивирован тем, что его степень минимальна среди степеней элементов идеала.

Есть два основных случая, когда рассматриваются минимальные многочлены.

В теории поля и теории чисел , элемент θ из поля расширения L из K является алгебраической над K , если оно является корнем некоторого многочлена с коэффициентами из K . Таким образом, минимальный многочлен над K для θ является моническим многочленом минимальной степени, имеющим θ в качестве корня. Поскольку L является полем, это минимальный многочлен обязательно неприводимым над K . Например, минимальный многочлен (как по действительным, так и по рациональным числам) числакомплексное число i есть . В циклотомических полиномах являются минимальными многочленами от корней из единицы .${\displaystyle X^{2}+1}$

В линейной алгебре , то п × п квадратные матрицы над K образует ассоциативную K - алгебру конечной размерности ( в качестве векторного пространства). Следовательно, гомоморфизм оценки не может быть инъективным, и каждая матрица имеет минимальный многочлен (не обязательно неприводимый). По теореме Кэли – Гамильтона оценочный гомоморфизм переводит в нуль характеристический многочлен матрицы. Отсюда следует, что минимальный многочлен делит характеристический многочлен и, следовательно, степень минимального многочлена не превосходит n .

Факторное кольцо [ править ]

В случае K [ X ] , то фактор - кольцо идеала может быть построено, как и в общем случае, как набор классов эквивалентности . Однако, поскольку каждый класс эквивалентности содержит ровно один многочлен минимальной степени, другая конструкция часто более удобна.

Принимая во внимание многочлен р степени г , то фактор - кольцо из K [ X ] в идеале , порожденный р может быть идентифицирован с помощью векторного пространства многочленов степеней меньше , чем D , с «умножения по модулю р » , как умножение, то умножение по модулю p, состоящее из остатка от деления на p (обычного) произведения многочленов. Это фактор-кольцо по-разному обозначается как или просто${\displaystyle K[X]/pK[X],}$ ${\displaystyle K[X]/\langle p\rangle ,}$ ${\displaystyle K[X]/(p),}$${\displaystyle K[X]/p.}$

Кольцо является полем тогда и только тогда, когда p - неприводимый многочлен . Фактически, если p неприводимо, каждый ненулевой многочлен q более низкой степени взаимно прост с p , а тождество Безу позволяет вычислить r и s такие, что sp + qr = 1 ; Таким образом, r является мультипликативным обратным к q по модулю p . Наоборот, если p приводимо, то существуют многочлены степени ниже deg ( p )${\displaystyle K[X]/(p)}$такое, что ab = p ≡ 0 (mod q ) ; так что a является ненулевым делителем нуля по модулю p и не может быть обратимым.

Например, стандартное определение поля комплексных чисел можно резюмировать, сказав, что это кольцо частных

${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1),}$

и что образ X в обозначается i . Фактически, согласно приведенному выше описанию, это частное состоит из всех многочленов степени один от i , которые имеют форму a + bi , где a и b находятся в остатке от евклидова деления, необходимого для умножения двух элементов кольца частных получается заменой i ² на –1 в их произведении полиномов (это в точности обычное определение произведения комплексных чисел).${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Пусть θ быть алгебраический элемент в K - алгебры A . По алгебраические , один означает , что θ имеет минимальный многочлен р . Первый кольцевой изоморфизм теорема утверждает , что подстановка гомоморфизм индуцирует изоморфизм из на изображение K [ θ ] подстановка гомоморфизма. В частности, если является простым расширением из K , порожденное & thetas , это позволяет идентифицировать А и${\displaystyle K[X]/(p)}$${\displaystyle K[X]/(p).}$Это отождествление широко используется в теории алгебраических чисел .

Модули [ править ]

Структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов относится и к K [ X ], когда К является полем. Это означает , что каждый конечно порожденный модуль над K [ X ] может быть разложен в прямую сумму в виде свободного модуля и конечного число модулей вида , где Р представляет собой неприводимый многочлен над K и K положительного целого числа.${\displaystyle K[X]/\left\langle P^{k}\right\rangle }$

Определение (многомерный случай) [ править ]

Для n символов, называемых неопределенными , моном (также называемый степенным произведением ) ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n},}$

${\displaystyle X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}}$

является формальным продуктом этих неопределенностей, возможно возведенных в неотрицательную степень. Как обычно, показатели, равные единице, и множители с нулевой экспонентой можно не указывать. В частности,${\displaystyle X_{1}^{0}\cdots X_{n}^{0}=1.}$

Кортеж экспонент α = ( α ₁ , ..., α _п ) называется мультистепени или экспоненту вектор из одночлена. Для менее громоздких обозначений сокращение

${\displaystyle X^{\alpha }=X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}}$

часто используется. Степень одночлена X ^α , часто обозначаемое град α или | α | , - сумма его показателей:

${\displaystyle \deg \alpha =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}.}$

Многочлен в этих неизвестных, с коэффициентами в поле, или в более общем виде кольца , К является конечной линейной комбинацией одночленов

${\displaystyle p=\sum _{\alpha }p_{\alpha }X^{\alpha }}$

с коэффициентами в K . Степень ненулевого многочлена максимум степеней его одночленов с ненулевыми коэффициентами.

Таким образом, множество полиномов, обозначенных в, является векторным пространством (или свободным модулем , если K - кольцо), в основе которого лежат одночлены.${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n},}$${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}],}$

${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$естественным образом наделяется (см ниже) с умножением , что делает кольцо , и ассоциативной алгебры над K , называется кольцо многочленов п неизвестных над K (определенный артикль отражает то, что она однозначно определяется с точностью до названия и порядок то неизвестные. Если кольцо K является коммутативной , также коммутативное кольцо.${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$

Операции в K [ X ₁ , ..., X _n ] [ править ]

Сложение и скалярное умножение многочленов - это таковые из векторного пространства или свободного модуля, снабженного определенным базисом (здесь базисом одночленов). Явно, пусть где I и J - конечные наборы экспонентных векторов.${\displaystyle p=\sum _{\alpha \in I}p_{\alpha }X^{\alpha },\quad q=\sum _{\beta \in J}q_{\beta }X^{\beta },}$

Скалярное умножение p и скаляра есть${\displaystyle c\in K}$

${\displaystyle cp=\sum _{\alpha \in I}cp_{\alpha }X^{\alpha }.}$

Добавление p и q есть

${\displaystyle p+q=\sum _{\alpha \in I\cup J}(p_{\alpha }+q_{\alpha })X^{\alpha },}$

где if и if Более того, если для некоторого есть соответствующий нулевой член, удаляется из результата.${\displaystyle p_{\alpha }=0}$${\displaystyle \alpha \not \in I,}$${\displaystyle q_{\beta }=0}$${\displaystyle \beta \not \in J.}$${\displaystyle p_{\alpha }+q_{\alpha }=0}$${\displaystyle \alpha \in I\cap J,}$

Умножение

${\displaystyle pq=\sum _{\gamma \in I+J}\left(\sum _{\alpha ,\beta \mid \alpha +\beta =\gamma }p_{\alpha }q_{\beta }\right)X^{\gamma },}$

где - множество сумм одного вектора экспоненты в I и другого в J (обычная сумма векторов). В частности, произведение двух одночленов является одночленом, вектор экспоненты которого является суммой векторов показателей факторов.${\displaystyle I+J}$

Проверка аксиом ассоциативной алгебры несложна.

Полиномиальное выражение [ править ]

Полиномиальное выражение является выражением построен с скаляров (элементов K ), и неизвестных операторов сложения, умножения и возведения в степень для неотрицательных целых степеней.

Поскольку все эти операции определены в полиномиальном выражении, выражение представляет собой полином, который является элементом . Определение полинома как линейной комбинации одночленов - это конкретное полиномиальное выражение, которое часто называют канонической формой , нормальной формой или развернутой формой. полинома. Учитывая полиномиальное выражение, можно вычислить развернутую форму представленного многочлена, расширив с помощью закона распределения все продукты, у которых есть сумма между их множителями, а затем используя коммутативность (за исключением произведения двух скаляров) и ассоциативность${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}].}$для преобразования членов полученной суммы в произведения скаляра и монома; тогда можно получить каноническую форму, перегруппировав подобные термины .

Различие между полиномиальным выражением и полиномом, которое оно представляет, возникло сравнительно недавно и в основном мотивировано появлением компьютерной алгебры , где, например, проверка того, представляют ли два полиномиальных выражения один и тот же полином, может быть нетривиальным вычислением.

Категориальная характеристика [ править ]

Если K является коммутативной кольцо, кольцо многочленов K [ X ₁ , ..., X _п ] имеет следующее универсальное свойство : для каждого коммутативной K - алгебры A , и каждый п - кортеж ( х ₁ , ..., х _n ) элементов A существует единственный гомоморфизм алгебр из K [ X ₁ , ..., X _n ] в A, который отображает каждый${\displaystyle X_{i}}$к соответствующему. Этот гомоморфизм является гомоморфизмом вычислений, который заключается в замене для в каждом полиноме.${\displaystyle x_{i}.}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

Как и в случае любого универсального свойства, это характеризует пару с точностью до единственного изоморфизма .${\displaystyle (K[X_{1},\dots ,X_{n}],(X_{1},\dots ,X_{n}))}$

Это также можно интерпретировать в терминах сопряженных функторов . Точнее, пусть SET и ALG - соответственно категории множеств и коммутативных K -алгебр (здесь и далее морфизмы определены тривиально). Есть функтор забывчивости, который отображает алгебры на их базовые множества. С другой стороны, карта определяет функтор в другом направлении. (Если X бесконечно, K [ X ] - это множество всех многочленов от конечного числа элементов X. )${\displaystyle \mathrm {F} :\mathrm {ALG} \to \mathrm {SET} }$${\displaystyle X\mapsto K[X]}$${\displaystyle \mathrm {SET} \to \mathrm {ALG} }$

Универсальность кольца многочленов означает, что F и POL являются присоединенными функторами . То есть есть биекция

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathrm {SET} }(X,\operatorname {F} (A))\cong \operatorname {Hom} _{\mathrm {ALG} }(K[X],A).}$

Это можно выразить также, сказав, что кольца многочленов являются свободными коммутативными алгебрами , поскольку они являются свободными объектами в категории коммутативных алгебр. Точно так же кольцо многочленов с целыми коэффициентами является свободным коммутативным кольцом над своим набором переменных, поскольку коммутативные кольца и коммутативные алгебры над целыми числами - это одно и то же.

Градуированная структура [ править ]

Однофакторный по кольцу против многовариантного [ править ]

Многочлен от можно рассматривать как одномерный многочлен от неопределенного над кольцом путем перегруппировки членов, которые содержат ту же степень, что есть, с помощью тождества${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}],}$${\displaystyle X^{n},}$

${\displaystyle \sum _{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in I}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}=\sum _{i}\left(\sum _{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1})\mid (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1},i)\in I}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}}X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n-1}^{\alpha _{n-1}}\right)X_{n}^{i},}$

которое является результатом дистрибутивности и ассоциативности кольцевых операций.

Это означает, что имеется изоморфизм алгебр

${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\cong (K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}])[X_{n}]}$

который отображает каждое неопределенное на себя. (Этот изоморфизм часто записывается как равенство, что оправдывается тем фактом, что кольца многочленов определены с точностью до единственного изоморфизма.)

Другими словами, многомерное кольцо многочленов можно рассматривать как одномерный многочлен над меньшим кольцом многочленов. Это обычно используется для доказательства свойств многомерных колец многочленов индукцией по количеству неопределенных.

Основные такие свойства перечислены ниже.

Свойства, переходящие от R к R [ X ] [ править ]

В этом разделе R - коммутативное кольцо, K - поле, X - одно неопределенное и, как обычно, кольцо целых чисел. Вот список основных свойств кольца, которые остаются верными при переходе от R к R [ X ] .${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Если R является областью целостности, то то же самое верно и для R [ X ] (поскольку старший коэффициент произведения многочленов является, если не нулем, произведением главных коэффициентов множителей).
  • В частности, и являются целостными областями.${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$
• Если R - уникальная область факторизации, то то же самое верно и для R [ X ] . Это вытекает из леммы Гаусса и единственное свойство факторизации , где L представляет собой поле частных R .${\displaystyle L[X],}$
  • В частности, и являются уникальными доменами факторизации.${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$
• Если R - нётерово кольцо , то то же самое верно и для R [ X ] .
  • В частности, и являются нётеровыми кольцами; это базисная теорема Гильберта .${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$
• Если R - нётерово кольцо, то где " " обозначает размерность Крулля .${\displaystyle \dim R[X]=1+\dim R,}$${\displaystyle \dim }$
  • В частности, и${\displaystyle \dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n}$${\displaystyle \dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1.}$
• Если R - регулярное кольцо , то то же самое верно и для R [ X ] ; в этом случае

${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim R[X]=\dim R[X]=1+\operatorname {gl} \,\dim R=1+\dim R,}$

где « » обозначает глобальное измерение .${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim }$

• В частности, и являются регулярными кольцами, и последнее равенство является теоремой Гильберта о сизигии .${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1,}$${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n.}$

Несколько индетерминатов над полем [ править ]

Кольца многочленов многих переменных над полем являются фундаментальными в теории инвариантов и алгебраической геометрии . Некоторые из их свойств, например описанные выше, можно свести к случаю единственного неопределенного, но это не всегда так. В частности, из-за геометрических приложений многие интересные свойства должны быть инвариантными относительно аффинных или проективных преобразований неопределенных. Это часто означает, что нельзя выбрать одну из неопределенных для повторения на неопределенных.

Теорема Безу , Гильберта о нулях и якобиан гипотеза являются одними из наиболее известных свойств , которые являются специфическими для многомерных полиномов над полем.

Nullstellensatz Гильберта [ править ]

Nullstellensatz (по-немецки «теорема о нулевом геометрическом месте») - это теорема, впервые доказанная Дэвидом Гильбертом , которая распространяет на многомерный случай некоторые аспекты фундаментальной теоремы алгебры . Он лежит в основе алгебраической геометрии , поскольку устанавливает сильную связь между алгебраическими свойствами и геометрическими свойствами алгебраических многообразий , которые (грубо говоря) представляют собой набор точек, определяемых неявными полиномиальными уравнениями .${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$

Nullstellensatz имеет три основных версии, каждая из которых является следствием любой другой. Две из этих версий приведены ниже. По поводу третьей версии читатель отсылается к основной статье о Nullstellensatz.

Первая версия обобщает тот факт, что ненулевой одномерный многочлен имеет комплексный нуль тогда и только тогда, когда он не является константой. Утверждение таково: набор многочленов S in имеет общий нуль в алгебраически замкнутом поле, содержащем K , тогда и только тогда, когда ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ 1 не принадлежит идеалу, порожденному S , то есть если 1 не является линейной комбинацией элементов S с полиномиальными коэффициентами .

Второй вариант обобщает тот факт , что неприводимые одномерные многочлены над комплексными числами ассоциировать с полиномом вида утверждения является: Если К алгебраически замкнуто, то максимальным идеалам из имеют вид${\displaystyle X-\alpha .}$${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\displaystyle \langle X_{1}-\alpha _{1},\ldots ,X_{n}-\alpha _{n}\rangle .}$

Теорема Безу [ править ]

Теорема Безу может рассматриваться как многомерное обобщение версии фундаментальной теоремы алгебры, которая утверждает, что одномерный многочлен степени n имеет n комплексных корней, если их считать с их кратностями.

В случае двумерных многочленов он утверждает, что два многочлена степеней d и e от двух переменных, которые не имеют общих множителей положительной степени, имеют ровно de общие нули в алгебраически замкнутом поле, содержащем коэффициенты, если нули считаются с их кратность и включают бесконечно удаленные нули .

Чтобы сформулировать общий случай и не рассматривать «нуль на бесконечности» как особые нули, удобно работать с однородными многочленами и рассматривать нули в проективном пространстве . В этом контексте проективный нуль однородного многочлена есть, вплоть до шкалы, то ( п + 1) - кортеж элементов K , который отличается формой (0, ..., 0) , и таким образом, что здесь " с точностью до масштабирования "означает, что и рассматриваются как один и тот же ноль для любого ненулевого значения. Другими словами, нуль - это набор однородных координат.${\displaystyle P(X_{0},\ldots ,X_{n})}$ ${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle P(x_{0},\ldots ,x_{n})=0.}$${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle (\lambda x_{0},\ldots ,\lambda x_{n})}$${\displaystyle \lambda \in K.}$точки в проективном пространстве размерности n .

Тогда теорема утверждает Без: Учитывая п однородных многочлены степени в п + 1 неизвестных, которые имеют только конечное число общих проективных нулей в алгебраически замкнутом расширении из К , то сумме кратностей этих нулей является продукт${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}}$${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n}.}$

Гипотеза о якобиане [ править ]

Обобщения [ править ]

Кольца полиномов могут быть обобщены множеством способов, включая кольца полиномов с обобщенными показателями, кольца степенных рядов, некоммутативные кольца полиномов , косые кольца полиномов и оснастки полиномов .

Бесконечно много переменных [ править ]

Одно небольшое обобщение колец многочленов состоит в том, чтобы учесть бесконечно много неопределенностей. Каждый моном по-прежнему включает только конечное число неопределенностей (так что его степень остается конечной), и каждый многочлен по-прежнему является (конечной) линейной комбинацией мономов. Таким образом, любой индивидуальный многочлен включает только конечное число неопределенных, и любое конечное вычисление, включающее многочлены, остается внутри некоторого подкольца многочленов от конечного числа неопределенных. Это обобщение обладает тем же свойством обычных колец многочленов: быть свободной коммутативной алгеброй , с той лишь разницей, что это свободный объект над бесконечным множеством.

Можно также рассматривать строго большее кольцо, определяя как обобщенный многочлен бесконечную (или конечную) формальную сумму одночленов с ограниченной степенью. Это кольцо больше обычного кольца многочленов, так как оно включает бесконечные суммы переменных. Однако оно меньше кольца степенных рядов от бесконечного числа переменных . Такое кольцо используется для построения кольца симметрических функций над бесконечным множеством.

Обобщенные показатели [ править ]

Простое обобщение изменяет только набор, из которого взяты показатели переменной. Формулы для сложения и умножения имеют смысл, если можно складывать показатели: X ⁱ · X ^j = X ^{i + j} . Множество, для которого имеет смысл сложение (замкнуто и ассоциативно), называется моноидом . Набор функций из моноида N в кольце R , которые отличны от нуля лишь в конечном многих местах может быть задана структура кольца , известного как R [ N ], в моноидное кольцо из N с коэффициентами в R. Добавление определяется покомпонентно, так что если с = + б , а затем с _п = _п + б _п для каждого п в N . Умножение определяется как произведение Коши, так что если c = a · b , то для каждого n в N , c _n является суммой всех a _i b _j, где i , j пробегают все пары элементов N, которые суммируют кп .

Когда N коммутативно, удобно обозначать функцию a в R [ N ] как формальную сумму:

${\displaystyle \sum _{n\in N}a_{n}X^{n}}$

а потом уже знакомы формулы сложения и умножения:

${\displaystyle \left(\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}\right)+\left(\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\sum _{n\in N}\left(a_{n}+b_{n}\right)X^{n}}$

а также

${\displaystyle \left(\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\sum _{n\in N}\left(\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}\right)X^{n}}$

где последняя сумма берется по всем i , j в N , сумма которых равна n .

Некоторые авторы, такие как ( Lang 2002 , II, §3), заходят так далеко, что принимают это определение моноида в качестве отправной точки, а регулярные многочлены от одной переменной являются частным случаем, когда N - моноид неотрицательных целых чисел. Многочлены от нескольких переменных просто принимают N за прямое произведение нескольких копий моноида неотрицательных целых чисел. harv error: no target: CITEREFLang2002 (help)

Несколько интересных примеров колец и групп образуются, если N быть аддитивным моноидом неотрицательных рациональных чисел ( Osbourne 2000 , §4.4) . См. Также серию Puiseux . harv error: no target: CITEREFOsbourne2000 (help)

Силовой ряд [ править ]

Силовые ряды обобщают выбор экспоненты в другом направлении, позволяя бесконечно много ненулевых членов. Это требует различных гипотез о моноиде N, используемом для показателей, чтобы гарантировать, что суммы в произведении Коши являются конечными суммами. В качестве альтернативы, на кольцо можно поместить топологию, а затем ограничиться сходящимися бесконечными суммами. Для стандартного выбора N , неотрицательных целых чисел, проблем нет, и кольцо формальных степенных рядов определяется как набор функций от N до кольца R с покомпонентным сложением и умножением, заданным уравнением Коши. продукт. Кольцо степенного ряда также можно рассматривать как завершение кольца.кольца многочленов относительно идеала, порожденного элементом x .

Некоммутативные кольца многочленов [ править ]

Для колец многочленов более чем одной переменной произведения X · Y и Y · X просто определяются как равные. Более общее понятие кольца многочленов получается, когда сохраняется различие между этими двумя формальными произведениями. Формально кольцо многочленов от n некоммутирующих переменных с коэффициентами в кольце R - это кольцо моноидов R [ N ], где моноид N - свободный моноид на n букв, также известный как набор всех строк в алфавите из nсимволы, с умножением, полученным путем конкатенации. Ни коэффициенты, ни переменные не должны коммутировать между собой, но коэффициенты и переменные коммутируют друг с другом.

Подобно тому, как кольцо многочленов от n переменных с коэффициентами в коммутативном кольце R является свободной коммутативной R -алгеброй ранга n , некоммутативное кольцо многочленов от n переменных с коэффициентами в коммутативном кольце R является свободной ассоциативной R- алгеброй с единицей на n генераторов, который некоммутативен при n  > 1.

Дифференциальные и косополиномиальные кольца [ править ]

Другими обобщениями полиномов являются дифференциальные и косополиномиальные кольца.

Дифференциальный многочлен кольцо является кольцом дифференциальных операторов , образованных из кольца R и вывод б из R в R . Этот вывод работает с R и будет обозначаться X , если рассматривать его как оператор. Элементы R также действуют на R умножением. Композиция операторов обозначаются как обычное умножение. Отсюда следует, что соотношение δ ( ab ) = aδ ( b ) + δ ( a ) b можно переписать как

${\displaystyle X\cdot a=a\cdot X+\delta (a).}$

Это отношение может быть расширено, чтобы определить косое умножение между двумя многочленами от X с коэффициентами в R , что делает их некоммутативным кольцом.

В стандартном примере, называемом алгеброй Вейля , R обозначает (обычное) кольцо многочленов k [ Y ], а δ - стандартную производную многочленов . Принимая = Y в вышеприведенном соотношении, один получает каноническое коммутационное соотношение , X · Y - Y · X = 1. Расширение это отношение ассоциативности и дистрибутивности позволяет явного построения алгебры Вейля . ( Lam 2001 , § 1, ex1.9 ).${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial Y}}}$

Косого кольцо многочленов определяется аналогично для кольца R и кольцо эндоморфизмов F из R , путем расширения умножения из соотношения X · г = е ( г ) · Х производить ассоциативное умножение , который распределяет над стандартным дополнением. В более общем смысле, учитывая гомоморфизм F моноида N натуральных чисел в кольцо эндоморфизмов R , формула X ⁿ · r = F ( n ) ( r ) ·X ⁿ позволяет построить кольцо косых многочленов. ( Лам 2001 , § 1, ex 1.11) Косые кольца многочленов тесно связаны со скрещенными алгебрами произведений .

Полиномиальные оснастки [ править ]

Определение кольца многочленов можно обобщить, ослабив требование, чтобы алгебраическая структура R была полем или кольцом, требованием, чтобы R было только полутелом или оснасткой ; полученная полиномиальная структура / расширение R [ X ] является полиномиальной оснасткой . Например, набор всех многомерных многочленов с натуральными числовыми коэффициентами представляет собой полиномиальную оснастку.

См. Также [ править ]

• Аддитивный полином
• Полином Лорана

Ссылки [ править ]

• Холл, FM (1969). «Раздел 3.6». Введение в абстрактную алгебру . 2 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0521084849.
• Герштейн, IN (1975). «Раздел 3.9». Темы по алгебре . Вайли. ISBN 0471010901. кольцо многочленов.
• Лам, Цит-Юэн (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95325-0
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556
• Осборн, М. Скотт (2000), Базовая гомологическая алгебра , Тексты для выпускников по математике, 196 , Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-1278-2 , ISBN 978-0-387-98934-1, MR  1757274