Присоединенные функторы

В математике , особенно в теории категорий , присоединение - это отношение, которое могут иметь два функтора . Два функтора, которые стоят в этом отношении, известны как присоединенные функторы , один из которых является сопряженным слева, а другой - сопряженным справа . Пары сопряженных функторов повсеместно используются в математике и часто возникают в результате построений «оптимальных решений» определенных проблем (т. Е. Конструкций объектов, обладающих определенным универсальным свойством ), таких как построение свободной группы на множестве в алгебре или строительство стоун-чеховское из атопологическое пространство в топологии.

По определению, присоединение между категориями C и D - это пара функторов (предполагается, что они ковариантны )

${\ Displaystyle F: {\ mathcal {D}} \ rightarrow {\ mathcal {C}}}$   и   ${\ Displaystyle G: {\ mathcal {C}} \ rightarrow {\ mathcal {D}}}$

и для всех объектов X в C и Y в D а взаимно однозначное соответствие между соответствующими наборами морфизма

${\ Displaystyle \ mathrm {hom} _ {\ mathcal {C}} (FY, X) \ cong \ mathrm {hom} _ {\ mathcal {D}} (Y, GX)}$

таким образом, что это семейство биекций является естественным в X и Y . Натуральность здесь означает , что существуют естественные изоморфизмы между парой функторов и при фиксированном X в C , а также парой функторов и при фиксированном Y в D .${\ displaystyle {\ mathcal {C}} (F-, X): {\ mathcal {D}} \ to \ mathrm {Set}}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (-, GX): {\ mathcal {D}} \ to \ mathrm {Set}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} (FY, -): {\ mathcal {C}} \ to \ mathrm {Set}}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (Y, G -): {\ mathcal {C}} \ to \ mathrm {Set}}$

Функтор F называется левым функтор сопряженный или левый сопряженный к G , в то время как G называется правый сопряженный или правый сопряженный к F .

Присоединение между категориями C и D в некоторой степени похоже на «слабую форму» эквивалентности между C и D , и действительно, каждая эквивалентность является присоединением. Во многих ситуациях присоединение может быть «улучшено» до эквивалентности путем подходящей естественной модификации задействованных категорий и функторов.

Терминология и обозначения [ править ]

Используются два разных корня : «добавочный» и «прилегающий». В более коротком Оксфордском словаре английского языка «адъюнкт» - от латинского, «сопряженный» - от французского.

В Mac Lane, Категории для работающего математика, гл. 4, «Примыкающие», можно убедиться в следующем использовании. Учитывая семью

${\ displaystyle \ varphi _ {XY}: \ mathrm {hom} _ {\ mathcal {C}} (FY, X) \ cong \ mathrm {hom} _ {\ mathcal {D}} (Y, GX)}$

биекций гом-множества мы называем «присоединением» или «присоединением между и ». Если это стрелка внутри , это правое "дополнение" (стр. 81). Функтор "сопряжен" слева и сопряжен справа . (Обратите внимание, что G может иметь правое сопряженное соединение, которое сильно отличается от F ; см. Ниже пример.) ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle f}$${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)}$${\displaystyle \varphi f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$

В общем, фразы « является сопряженным слева» и « имеет сопряженный справа» эквивалентны.${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

Если F сопряжена с G слева , то мы также пишем

${\displaystyle F\dashv G.}$

Терминология происходит от идеи сопряженных операторов T , U с гильбертовым пространством , которая формально аналогична указанной выше связи между hom-множествами. Аналогия с присоединенными отображениями гильбертовых пространств может быть уточнена в определенных контекстах. ^[1] ${\displaystyle \langle Ty,x\rangle =\langle y,Ux\rangle }$

Введение и мотивация [ править ]

Девиз: «Присоединенные функторы возникают везде».

-  Сондерс Мак Лейн, Категории для рабочего математика

Длинный список примеров в этой статье , указывает на то, что общие математические конструкции очень часто сопряженные функторы. Следовательно, общие теоремы о сопряженных функторах слева и справа содержат в себе детали многих полезных и в остальном нетривиальных результатов. Такие общие теоремы включают эквивалентность различных определений сопряженных функторов, единственность правого сопряженного для данного левого сопряженного, тот факт, что левый / правый сопряженный функторы соответственно сохраняют копределы / пределы (которые также можно найти во всех областях математики) и общие теоремы о сопряженных функторах, дающие условия, при которых данный функтор является левым / правым сопряженным.

Решения проблем оптимизации [ править ]

В некотором смысле сопряженный функтор - это способ дать наиболее эффективное решение некоторой проблемы с помощью метода, который является формульным . Например, элементарная проблема теории колец состоит в том, как превратить rng (которое похоже на кольцо, которое может не иметь мультипликативной идентичности) в кольцо . Наиболее эффективным способом является примыкают элемент «1» для ГСЧ, примыкают все (и только) элементы , которые необходимы для удовлетворения кольцевых аксиомам (например , г + 1 для каждого г в кольце), и не накладывают никаких отношений в новообразованное кольцо, не навязанное аксиомами. Более того, эта конструкция является формульной в том смысле, что он работает по существу одинаково для любой группы.

Это довольно расплывчато, хотя и наводит на размышления, и может быть уточнено на языке теории категорий: конструкция наиболее эффективна, если она удовлетворяет универсальному свойству , и является формульной, если она определяет функтор . Универсальные свойства бывают двух типов: начальные свойства и конечные свойства. Поскольку это двойственные понятия, необходимо обсудить только одно из них.

Идея использования первоначального имущества заключается в создании задачи в терминах некоторой вспомогательной категории Е , так что проблема в части соответствует нахождения исходного объекта в Е . Это имеет то преимущество, что оптимизация - ощущение, что процесс находит наиболее эффективное решение - означает нечто строгое и узнаваемое, скорее, как достижение супремума . Категория E также является формульной в этой конструкции, так как это всегда категория элементов функтора, к которой строится присоединенный.

Вернемся к нашему примеру: возьмем данное rng R и создадим категорию E , объекты которой являются rng гомоморфизмами R → S , причем S - кольцо, имеющее мультипликативную единицу. В морфизмах в E между R → S ₁ и R → S ₂ являются коммутативными треугольниками вида ( R → S ₁ , R → S ₂ , S ₁ → S ₂ ) , где S₁ → S ₂ представляет собой кольцо карты (который сохраняет идентичность). (Обратите внимание , что это именно определение запятой категории из R над включением унитарных колец в RNG.) Существование морфизма между R → S ₁ и R → S ₂ следует , что S ₁ , по крайней мере , как эффективное решение как S ₂ для нашей проблемы: S ₂ может иметь больше присоединенных элементов и / или больше отношений, не налагаемых аксиомами, чем S ₁ . Следовательно, утверждение, что объект R →R * является начальным в E , то есть, что существует морфизм от него к любому другому элементу E , означает, что кольцо R * является наиболее эффективным решением нашей проблемы.

Два факта, что этот метод превращения цепей в кольца является наиболее эффективным и шаблонным, можно выразить одновременно, сказав, что он определяет присоединенный функтор . Более подробно: пусть F обозначает вышеупомянутый процесс присоединения единицы к rng, поэтому F ( R ) = R * . Пусть G обозначим через процесс «забывает" ли кольцо S имеет личность и рассматривать его просто как ГСЧ, так по существу , G ( S ) = S . Тогда F является левым сопряженным в G .

Однако обратите внимание, что мы еще не построили R * ; То, что такой левый сопряженный функтор R → R * действительно существует, является важным и не совсем тривиальным алгебраическим фактом .

Симметрия задач оптимизации [ править ]

Также можно начать с функтора F и задать следующий (расплывчатый) вопрос: существует ли проблема, для которой F является наиболее эффективным решением?

Представление о том, что F является наиболее эффективным решением проблемы, поставленной G , в определенном строгом смысле эквивалентно представлению о том, что G представляет собой наиболее сложную проблему, которую решает F.

Это дает интуицию за тот факт , что сопряженные функторы происходят в парах: если F является сопряженным слева G , то G является сопряженным справа к F .

Формальные определения [ править ]

Существуют различные эквивалентные определения сопряженных функторов:

• Определения с помощью универсальных морфизмов легко сформулировать и требуют минимальных проверок при построении присоединенного функтора или доказательстве того, что два функтора сопряжены. Они также наиболее похожи на нашу интуицию, связанную с оптимизацией.
• Определение через hom-множества делает симметрию наиболее очевидной и является причиной использования слова adjoint .
• Определение через присоединение коединиц удобно для доказательств о функторах, которые, как известно, являются сопряженными, поскольку они предоставляют формулы, которыми можно напрямую манипулировать.

Эквивалентность этих определений весьма полезна. Присоединенные функторы возникают везде, во всех областях математики. Поскольку структура в любом из этих определений порождает структуры в других, переключение между ними подразумевает использование большого количества утомительных деталей, которые в противном случае пришлось бы повторять отдельно в каждой предметной области.

Соглашения [ править ]

В основе теории сопряжения лежат термины слева и справа , и есть много компонентов, которые относятся к одной из двух рассматриваемых категорий C и D. Поэтому может быть полезно выбрать буквы в алфавитном порядке в зависимости от того, принадлежат ли они к категории «левый» C или «правой» категории D , а также записывать их в этом порядке, когда это возможно.

В этой статье, например, буквы X , F , f , ε будут последовательно обозначать вещи, которые живут в категории C , буквы Y , G , g , η будут последовательно обозначать вещи, которые живут в категории D , и по возможности такие на вещи будут ссылаться в порядке слева направо (функтор F  : D → C можно рассматривать как «живущий» там, где его выходы находятся в C ).

Определение через универсальные морфизмы [ править ]

По определению, функтор - это сопряженный слева функтор, если для каждого объекта в существует универсальный морфизм из в . Записанный, это означает , что для каждого объекта в существует объект в и морфизм такой , что для каждого объекта в и любого морфизма существует единственный морфизм с .${\displaystyle F:D\to C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle G(X)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \epsilon _{X}:F(G(X))\to X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f:F(Y)\to X}$${\displaystyle g:Y\to G(X)}$${\displaystyle \epsilon _{X}\circ F(g)=f}$

Последнее уравнение выражается следующей коммутативной диаграммой :

В этой ситуации можно показать, что можно превратить в функтор единственным способом, так что для всех морфизмов в ; тогда называется левым сопряженным к .${\displaystyle G}$${\displaystyle G:C\to D}$${\displaystyle \epsilon _{X}\circ F(G(f))=f\circ \epsilon _{X'}}$${\displaystyle f:X'\to X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

Аналогично мы можем определить правосопряженные функторы. Функтор является правым сопряженным функтором, если для каждого объекта в существует универсальный морфизм из в . Проще говоря, это означает, что для каждого объекта внутри существует объект внутри и морфизм, такой что для каждого объекта внутри и каждого морфизма существует уникальный морфизм с .${\displaystyle G:C\to D}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle D}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle D}$${\displaystyle F(Y)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to G(F(Y))}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle g:Y\to G(X)}$${\displaystyle f:F(Y)\to X}$${\displaystyle G(f)\circ \eta _{Y}=g}$

Опять же, это можно однозначно превратить в функтор, такой что для морфизма в ; тогда называется правым сопряженным к .${\displaystyle F}$${\displaystyle F:D\to C}$${\displaystyle G(F(g))\circ \eta _{Y}=\eta _{Y'}\circ g}$${\displaystyle g:Y\to Y'}$${\displaystyle D}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$

Это правда, как следует из терминологии, что сопряжено слева к тому и только тогда, когда сопряжено справа с . ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$

Эти определения через универсальные морфизмы часто полезны для установления того, что данный функтор является левым или правым сопряженным, поскольку они минималистичны по своим требованиям. Они также интуитивно значимы в том смысле, что поиск универсального морфизма похож на решение проблемы оптимизации.

Определение через присоединение Hom-set [ править ]

Хом-набор примыкание между двумя категориями C и D состоит из двух функторов F  : D → C и G  : C → D и естественный изоморфизм

${\displaystyle \Phi :\mathrm {hom} _{C}(F-,-)\to \mathrm {hom} _{D}(-,G-)}$.

Это указывает на семейство биекций

${\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{C}(FY,X)\to \mathrm {hom} _{D}(Y,GX)}$

для всех объектов X в C и Y в D .

В этой ситуации, F сопряжен слева к G и G сопряжен справа к F .

Это определение является логическим компромиссом в том смысле, что удовлетворить его несколько труднее, чем определение универсального морфизма, и оно имеет меньше непосредственных последствий, чем определение единицы единицы. Это полезно из-за своей очевидной симметрии и как ступенька между другими определениями.

Чтобы интерпретировать Φ как естественный изоморфизм , нужно распознать hom _C ( F -, -) и hom _D (-, G -) как функторы. Фактически, они оба являются бифункторами из D ^op × C в Set ( категория множеств ). Подробнее см. Статью о hom-функторах . Явно естественность Φ означает, что для всех морфизмов f  : X → X ′ в C и всех морфизмов g  : Y′ → Y в D коммутирует следующая диаграмма :

Вертикальные стрелки на этой диаграмме - это стрелки, созданные композицией. Формально Hom ( Fg , f ): Hom _C ( FY , X ) → Hom _C ( FY ′ , X ′ ) задается как h → f o h o Fg для каждого h в Hom _C ( FY , X ). Hom ( g , Gf ) аналогично.

Определение через примыкание к юнитам и отрядам [ править ]

Коединица-блок примыкание между двумя категориями C и D состоит из двух функторов F  : D → C и G  : C → D и два естественных преобразований

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &:FG\to 1_{\mathcal {C}}\\\eta &:1_{\mathcal {D}}\to GF\end{aligned}}}$

соответственно называемые коединицей и единицей присоединения (терминология универсальной алгебры ), так что композиции

${\displaystyle F{\xrightarrow {\;F\eta \;}}FGF{\xrightarrow {\;\varepsilon F\,}}F}$

${\displaystyle G{\xrightarrow {\;\eta G\;}}GFG{\xrightarrow {\;G\varepsilon \,}}G}$

- тождественные преобразования 1 _F и 1 _G на F и G соответственно.

В этой ситуации мы говорим, что F сопряжена слева с G, а G сопряжена с F справа , и можем указать это отношение письменно    или просто    . ${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$${\displaystyle F\dashv G}$

В форме уравнения приведенные выше условия на ( ε , η ) представляют собой уравнения с единичным числом

${\displaystyle {\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}}$

что означает, что для каждого X в C и каждого Y в D ,

${\displaystyle {\begin{aligned}1_{FY}&=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\1_{GX}&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\end{aligned}}}$.

Заметим, что обозначает функтор идентификации в категории , обозначает тождественное естественное преобразование функтора F в себя и обозначает морфизм идентичности объекта FY .${\displaystyle 1_{\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle 1_{F}}$${\displaystyle 1_{FY}}$

Эти уравнения полезны для сведения доказательств сопряженных функторов к алгебраическим манипуляциям. Иногда их называют треугольными тождествами , а иногда зигзагообразными уравнениями из-за появления соответствующих диаграмм струн . Один из способов запомнить их - сначала записать бессмысленное уравнение, а затем заполнить либо F, либо G одним из двух простых способов, определяющих композиции.${\displaystyle 1=\varepsilon \circ \eta }$

Примечание. Использование префикса «co» в counit здесь не согласуется с терминологией ограничений и копределов, потому что копредел удовлетворяет начальному свойству, тогда как морфизмы коит будут удовлетворять терминальным свойствам и двойственно. Термин « единица» здесь заимствован из теории монад, где он выглядит как вставка тождества 1 в моноид.

История [ править ]

Идея сопряженных функторов была введена Дэниелом Каном в 1958 году. ^[2] Как и многие концепции теории категорий, она была предложена потребностями гомологической алгебры , которая в то время была посвящена вычислениям. Те, кто сталкивался с аккуратным, систематическим изложением предмета, заметили бы такие отношения, как

hom ( F ( X ), Y ) = hom ( X , G ( Y ))

в категории абелевых групп , где F был функтором (т. е. возьмем тензорное произведение с A ), а G был функтором hom ( A , -) (это теперь известно как тензорно-гом присоединение ). Использование знака равенства является неправильным обозначением ; эти две группы на самом деле не идентичны, но есть естественный способ их идентифицировать . Это естественно на основании, во-первых, того, что это два альтернативных описания билинейных отображений из X × A в Y${\displaystyle -\otimes A}$. Это, однако, нечто особенное в случае тензорного произведения. В теории категорий «естественность» биекции включается в понятие естественного изоморфизма .

Вездесущность [ править ]

Если начать искать эти сопряженные пары функторов, они окажутся очень распространенными в абстрактной алгебре , а также в других местах. Пример ниже демонстрирует это; кроме того, универсальные конструкции , которые могут быть кому-то более знакомы, порождают многочисленные сопряженные пары функторов.

В соответствии с идеей Сондерса Мак Лейна , любая идея, например сопряженные функторы, которая достаточно широко встречается в математике, должна изучаться сама по себе. ^{[ необходима цитата ]}

О концепциях можно судить по их использованию при решении проблем, а также по их использованию в построении теорий. Напряжение между этими двумя мотивами было особенно велико в 1950-х годах, когда теория категорий была первоначально разработана. Вот Александр Гротендик , который использовал теорию категорий, чтобы ориентироваться в других работах - в функциональном анализе , гомологической алгебре и, наконец, в алгебраической геометрии .

Вероятно, неверно сказать, что он продвигал концепцию присоединенного функтора изолированно: но признание роли присоединения было неотъемлемой частью подхода Гротендика. Например, одним из его главных достижений была формулировка двойственности Серра в относительной форме - грубо говоря, в непрерывном семействе алгебраических многообразий. Все доказательство основывалось на существовании правого сопряженного функтора. Это что-то несомненно абстрактное и неконструктивное ^{[ обсуждение ]} , но также по-своему мощное.

Примеры [ править ]

Бесплатные группы [ править ]

Построение свободных групп - распространенный и поучительный пример.

Пусть F  : Установить → Гр функтор присвоения каждому набору Y свободная группа , порожденная элементами Y , и пусть G  : Grp → Установить быть стирающий функтор , который сопоставляет каждой группе Х лежащих в его основе набора. Тогда F сопряжена с G слева :

Начальные морфизмы. Для каждого множества Y , множество GFY является лишь основной набор свободной группы FY , порожденной Y . Позвольте     быть установленным отображением, данным «включением генераторов». Это начальный морфизм из Y в G , так как любое множество отображение из Y к базовому набору GW некоторой группы W фактор будет через   с   помощью уникальной группы гомоморфизма из FY к W . Это именно универсальное свойство свободной группы Y .${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to GFY}$${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to GFY}$

Терминальные морфизмы. Для каждой группы X , группа FGX является свободной группой свободно порождена GX , элементы X . Позвольте     быть групповым гомоморфизмом, который переводит образующие FGX в элементы X, которым они соответствуют, который существует в силу универсального свойства свободных групп. Тогда каждый из них     является терминальным морфизмом из F в X , потому что любой гомоморфизм группы из свободной группы FZ в X будет факторизован через     уникальное отображение множества из Z в GX . Это означает, что ( F${\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X}$${\displaystyle (GX,\varepsilon _{X})}$${\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X}$, G ) - присоединенная пара.

Примыкание хом-множества. Групповые гомоморфизмы из свободной группы FY в группу X в точности соответствуют отображениям из множества Y в множество GX : каждый гомоморфизм из FY в X полностью определяется своим действием на образующие, что является еще одним подтверждением универсального свойства свободных групп. Можно напрямую проверить, что это соответствие является естественным преобразованием, а это означает, что оно является присоединением гом-множества для пары ( F , G ).

примыкание округа к единице. Также можно непосредственно проверить естественность ε и η. Тогда прямая проверка того, что они образуют примыкание к единице,     выглядит следующим образом:${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$

Первое уравнение единицы измерения     говорит, что для каждого набора Y композиция${\displaystyle 1_{F}=\varepsilon F\circ F\eta }$

${\displaystyle FY{\xrightarrow {\;F(\eta _{Y})\;}}FGFY{\xrightarrow {\;\varepsilon _{FY}\,}}FY}$

должно быть тождество. Промежуточная группа FGFY - это свободная группа, свободно порожденная словами свободной группы FY . (Подумайте об этих словах , как в скобках , чтобы указать , что они являются независимыми генераторами.) Стрелкой     является гомоморфизмом из FY в FGFY отправки каждый генератор у из ФГ к соответствующему слову длина одного ( у ) в качестве генератора FGFY . Стрелка     - это групповой гомоморфизм от FGFY к FY, отправляющий каждый генератор в слово FY.${\displaystyle F(\eta _{Y})}$${\displaystyle \varepsilon _{FY}}$он соответствует (так что эта карта «опускает скобки»). Состав этих карт действительно идентичен на FY .

Второе уравнение единицы единицы     говорит, что для каждой группы X состав${\displaystyle 1_{G}=G\varepsilon \circ \eta G}$

 ${\displaystyle GX{\xrightarrow {\;\eta _{GX}\;}}GFGX{\xrightarrow {\;G(\varepsilon _{X})\,}}GX}$ 

должно быть тождество. Промежуточный набор GFGX - это просто базовый набор FGX . Стрелка     - это отображение множества "включение генераторов" из множества GX в множество GFGX . Стрелка     - это отображение множества из GFGX в GX, которое лежит в основе гомоморфизма групп, отправляющего каждый генератор FGX в элемент X, которому он соответствует («отбрасывание скобок»). Состав этих отображений действительно тождественен на GX .${\displaystyle \eta _{GX}}$${\displaystyle G(\varepsilon _{X})}$

Свободные конструкции и забывчивые функторы [ править ]

Свободные объекты - это все примеры левого присоединения к забывчивому функтору, который присваивает алгебраическому объекту его базовое множество. Эти алгебраические свободные функторы обычно имеют то же описание, что и в подробном описании ситуации со свободной группой выше.

Диагональные функторы и пределы [ править ]

Продукты , волоконные продукты , эквалайзеры и ядра - все это примеры категориального понятия предела . Любой предельный функтор сопряжен справа с соответствующим диагональным функтором (при условии, что категория имеет рассматриваемый тип пределов), а счетчик присоединения обеспечивает определяющие отображения из предельного объекта (т. Е. От диагонального функтора на пределе в категория функторов). Ниже приведены некоторые конкретные примеры.

• Продукты Пусть Π: Grp ² → Grp функтор , который присваивает каждой паре ( X ₁ , X ₂ ) группы продуктов X ₁ × X ₂ , и пусть Δ: Grp → Grp ² является диагональной функтор , который присваивает каждой группе X пара ( X , X ) в товарной категории Grp ² . Универсальность группы продуктов показывает, что сопряжена справа с Δ. Конечная точка этого присоединения является определяющей парой отображений проекций из X ₁× X ₂ в X ₁ и X _2, которые определяют предел, а единица - это диагональное включение группы X в X × X (отображение x в (x, x)).

Декартово произведение из наборов , продукт колец, то произведение топологических пространств и т.д. следует тому же шаблону; его также можно расширить более чем на два фактора. В более общем смысле любой тип предела сопряжен справа с диагональным функтором.

• Ядра. Рассмотрим категорию D гомоморфизмов абелевых групп. Если f ₁  : A ₁ → B ₁ и f ₂  : A ₂ → B ₂ - два объекта D , то морфизм из f ₁ в f ₂ - это пара ( g _A , g _B ) морфизмов, такая что g _B f ₁ = F ₂ г _А . Пусть G  : D→ Ab - функтор, который ставит в соответствие каждому гомоморфизму его ядро, и пусть F  : Ab → D - функтор, отображающий группу A в гомоморфизм A → 0. Тогда G сопряжена справа к F , что выражает универсальное свойство ядер. Конечная точка этого присоединения является определяющим вложением ядра гомоморфизма в область гомоморфизма, а единица - морфизм, отождествляющий группу A с ядром гомоморфизма A → 0.

Подходящая вариация этого примера также показывает, что ядерные функторы для векторных пространств и для модулей являются сопряженными справа. Аналогично можно показать, что коядровые функторы абелевых групп, векторных пространств и модулей являются сопряженными слева.

Копределы и диагональные функторы [ править ]

Копродукции , расслоенные копроизведения , соэквалайзеры и коядра - все это примеры категориального понятия копредела . Любой функтор копредела сопряжен слева с соответствующим диагональным функтором (при условии, что категория имеет рассматриваемый тип копредела), а единица присоединения обеспечивает определяющие отображения в объект копредела. Ниже приведены некоторые конкретные примеры.

• Побочные продукты. Если F  : Ab ² → Ab сопоставляет каждой паре ( X ₁ , X ₂ ) абелевых групп их прямую сумму , и если G  : Ab → Ab ² - функтор, который сопоставляет каждой абелевой группе Y пару ( Y , Y ) , то F сопряжена слева к G , что снова является следствием универсального свойства прямых сумм. Единицей этой присоединенной пары является определяющая пара отображений включения из X ₁ и X₂ в прямую сумму, а счетчик - это аддитивное отображение прямой суммы ( X , X ) обратно в X (отправка элемента ( a , b ) прямой суммы в элемент a + b из X ).

Аналогичные примеры приведены в прямую сумму из векторных пространств и модулей , с помощью бесплатного продукта групп и с помощью объединения непересекающихся множеств.

Дальнейшие примеры [ править ]

Алгебра [ править ]

• Присоединение личности к rng . Этот пример обсуждался в разделе мотивации выше. Для данного rng R можно добавить мультипликативный единичный элемент, взяв R x Z и определив Z -билинейное произведение с (r, 0) (0,1) = (0,1) (r, 0) = (r, 0), (r, 0) (s, 0) = (rs, 0), (0,1) (0,1) = (0,1). Это строит левый сопряженный к функтору, переводящий кольцо в базовый rng.
• Присоединение тождества к полугруппе . Аналогично, для данной полугруппы S мы можем добавить единичный элемент и получить моноид , взяв непересекающееся объединение S {1} и определив на нем бинарную операцию так, чтобы она продолжала операцию на S, а 1 был единичным элементом. Эта конструкция дает функтор, сопряженный слева к функтору, переводящему моноид в нижележащую полугруппу.${\displaystyle \sqcup }$
• Расширения кольца. Предположим, что R и S - кольца, а ρ: R → S - гомоморфизм колец . Тогда S можно рассматривать как (левый) R -модуль, а тензорное произведение с S дает функтор F  : R - Mod → S - Mod . Тогда F сопряжен слева к забывчивому функтору G  : S - Mod → R - Mod .
• Тензорные произведения . Если R - кольцо, а M - правый R -модуль, то тензорное произведение с M дает функтор F  : R - Mod → Ab . Функтор G  : Ab → R - Mod , определяется G () = Хом _Z ( M , A ) для каждой абелевой группы А , является правым сопряженным к F .
• От моноидов и групп к кольцам. Конструкция целочисленного моноидного кольца дает функтор от моноидов к кольцам. Этот функтор сопряжен слева с функтором, который ставит в соответствие данному кольцу лежащий в его основе мультипликативный моноид. Точно так же конструкция целочисленного группового кольца дает функтор от групп к кольцу , сопряженный слева к функтору, который присваивает данному кольцу его группу единиц . Можно также начать с полем K и рассмотрит категорию K - алгебры вместо категории колец, чтобы получить моноидные и групповые кольца над K .
• Поле дробей. Рассмотрим категорию Dom _m областей целостности с инъективными морфизмами. Забывающий функтор Поле → Dom _m из полей имеет сопряженный слева - он ставит в соответствие каждой области целостности ее поле дробей .
• Кольца полиномов . Пусть Ring _* - категория отмеченных коммутативных колец с единицей (пары (A, a), где A - кольцо, a ∈ A, а морфизмы сохраняют выделенные элементы). Забывающий функтор G: Ring _* → Ring имеет левый сопряженный элемент - он сопоставляет каждому кольцу R пару (R [x], x), где R [x] - кольцо многочленов с коэффициентами из R.
• Абелианизация . Рассмотрим функтор включения G  : Ab → Grp из категории абелевых групп в категорию групп . Он имеет левое сопряжение, называемое абелианизацией, которое сопоставляет каждой группе G фактор-группу G ^ab = G / [ G , G ].
• Группа Гротендика . В K-теории отправной точкой является наблюдение, что категория векторных расслоений на топологическом пространстве имеет структуру коммутативного моноида относительно прямой суммы . Из этого моноида, группы Гротендика , можно сделать абелеву группу , формально добавив аддитивную инверсию для каждого расслоения (или класса эквивалентности). В качестве альтернативы можно заметить, что функтор, который для каждой группы берет базовый моноид (игнорируя обратные), имеет левое сопряжение. Это универсальная конструкция, соответствующая обсуждению в третьем разделе выше. То есть можно имитировать построение отрицательных чисел; но есть и другой вариант теоремы существования . В случае финитарных алгебраических структур само существование может быть отнесено к универсальной алгебре или теории моделей ; естественно, есть еще и доказательство, адаптированное к теории категорий.
• Взаимность Фробениуса в теории представлений групп : см. Индуцированное представление . Этот пример примерно на полвека предвосхитил общую теорию.

Топология [ править ]

• Функтор с левым и правым сопряженными. Пусть G - функтор от топологических пространств к множествам, который ассоциирует с каждым топологическим пространством его базовое множество (то есть забывая о топологии). G имеет левый сопряженный F , создавая дискретное пространство на множестве Y , и правый сопряженный Н , создающий тривиальное топологию на Y .
• Подвесы и петлевые пространства. С учетом топологических пространств X и Y , пространство [ SX , Y ] из гомотопических классов отображений из суспензионного SX из X в Y , естественно изоморфно пространству [ X , Ω Y ] гомотопических классов отображений из X в пространстве петель Ω Y из Y . Таким образом, функтор подвешивания остается сопряженным с функтором пространства петель в гомотопической категории , что является важным фактом в теории гомотопий .
• Камне-чехословацкая компактификация. Пусть KHaus - категория компактных хаусдорфовых пространств, а G  : KHaus → Top - функтор включения в категорию топологических пространств . Тогда в G есть сопряженный слева F  : Top → KHaus , компактификация Стоуна – Чеха . Единица этой присоединенной пары дает непрерывное отображение из любого топологического пространства X в его компактификацию Стоуна – Чеха.
• Прямые и прообразы пучков. Всякое непрерывное отображение f  : X → Y между топологическими пространствами индуцирует функтор f _∗ из категории пучков (множеств, абелевых групп или колец ...) на X в соответствующую категорию пучков на Y , функтор прямого образа . Он также индуцирует функтор f ⁻¹ из категории пучков абелевых групп на Y в категорию пучков абелевых групп на X , функтор обратного образа . f ⁻¹сопряжена слева к f _∗ . Здесь более тонкий момент состоит в том, что левое сопряжение для когерентных пучков будет отличаться от сопряженного для пучков (наборов).
• Отрезвление. В статье о двойственности Стоуна описывается связь между категорией топологических пространств и категорией трезвых пространств , известная как трезвость. Примечательно, что статья также содержит подробное описание еще одного примыкания, которое подготавливает почву для известной двойственности трезвых пространств и пространственных локалей, эксплуатируемой в бессмысленной топологии .

Posets [ править ]

Каждый частично упорядоченный набор можно рассматривать как категорию (где элементы poset становятся объектами категории, и у нас есть единственный морфизм от x к y тогда и только тогда, когда x ≤ y ). Пара сопряженных функторов между двумя частично упорядоченными множествами называется связностью Галуа (или, если она контравариантна, антитонной связностью Галуа). В этой статье можно найти несколько примеров: случай теории Галуа, конечно, является ведущим. Любая связность Галуа порождает операторы замыкания и сохраняющие обратный порядок биекции между соответствующими замкнутыми элементами.

Как и в случае групп Галуа, реальный интерес часто заключается в уточнении соответствия двойственности (т. Е. Изоморфизму антитонного порядка). Подобная трактовка теории Галуа Капланским сыграла важную роль в признании общей структуры здесь.

Случай частичного порядка довольно заметно сокращает определения присоединения, но может предоставить несколько тем:

• присоединения могут не быть дуальностями или изоморфизмами, но являются кандидатами на повышение до этого статуса
• операторы замыкания могут указывать на наличие присоединений в виде соответствующих монад (см. аксиомы замыкания Куратовского )
• очень общий комментарий Уильяма Ловера ^[3] состоит в том, что синтаксис и семантика сопряжены: возьмите C как набор всех логических теорий (аксиоматизаций), а D как набор степеней набора всех математических структур. Для теории T в C пусть G ( T ) - множество всех структур, удовлетворяющих аксиомам T ; для набора математических структур S , пусть F ( S ) минимальный аксиоматизация S . Тогда мы можем сказать, что S является подмножеством G ( T) Тогда и только тогда , когда F ( S ) логически вытекает Т : в «семантику функтор» G является сопряженным справа к «синтаксической функтора» F .
• деление (в общем случае) является попыткой инвертировать умножение, но в ситуациях, когда это невозможно, мы часто пытаемся вместо этого построить сопряженное : идеальное частное сопряжено с умножением на идеалы кольца , а импликация в логике высказываний сопряжена к логическому соединению .

Теория категорий [ править ]

• Эквивалентности. Если F  : D → C - эквивалентность категорий , то мы имеем обратную эквивалентность G  : C → D , и два функтора F и G образуют присоединенную пару. В этом случае единица и коединицы являются естественными изоморфизмами.
• Серия дополнений. Функтор π _0, который присваивает категории ее набор компонент связности, сопряжен слева с функтором D, который присваивает набору дискретную категорию на этом множестве. Более того, D является сопряженным слева функтору объекта U, который присваивает каждой категории ее набор объектов, и, наконец, U сопряжен слева к A, который присваивает каждому набору недискретную категорию ^[4] на этом множестве.
• Экспоненциальный объект . В декартовой замкнутой категории endofunctor C → C определяется - × имеет правый сопряженный - . Эта пара часто упоминается как карри и не карри; во многих частных случаях они также непрерывны и образуют гомеоморфизм.

Категориальная логика [ править ]

• Количественная оценка. Если это унарный предикат, выражающий некоторое свойство, то достаточно сильная теория множеств может доказать существование набора терминов, которые удовлетворяют этому свойству. Правильное подмножество и связанная с ним инъекция into характеризуются предикатом, выражающим строго более ограничительное свойство.${\displaystyle \phi _{Y}}$${\displaystyle Y=\{y\mid \phi _{Y}(y)\}}$${\displaystyle T\subset Y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \phi _{T}(y)=\phi _{Y}(y)\land \varphi (y)}$

Роль кванторов в логике предикатов заключается в формировании предложений, а также в выражении сложных предикатов путем закрытия формул с возможно большим количеством переменных. Например, рассмотрим предикат с двумя открытыми переменными sort и . Используя квантор для закрытия , мы можем сформировать набор${\displaystyle \psi _{f}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \{y\in Y\mid \exists x.\,\psi _{f}(x,y)\land \phi _{S}(x)\}}$

всех элементов из , для которых есть , к которому она о связанных, и которая сама по себе характеризуется свойством . Теоретико-множественные операции, такие как пересечение двух множеств, напрямую соответствуют соединению предикатов. В категориальной логике , подполе теории топосов , кванторы отождествляются с элементами, присоединенными к функтору отката. Такую реализацию можно увидеть по аналогии с обсуждением логики высказываний с использованием теории множеств, но общее определение дает более широкий диапазон логик.${\displaystyle y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \psi _{f}}$${\displaystyle \phi _{S}}$${\displaystyle \cap }$${\displaystyle \land }$

Так что рассмотрите объект в категории с откатами. Любой морфизм индуцирует функтор${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle f^{*}:{\text{Sub}}(Y)\longrightarrow {\text{Sub}}(X)}$

на категории, являющейся предзаказом подобъектов. Он отображает подобъекты из (технически: Мономорфизма классов ) в откат . Если у этого функтора есть левый или правый сопряженный, они называются и соответственно. ^[5] Они оба отображают от спины к . Очень грубо, учитывая домен , чтобы количественно оценить отношение , выраженное через более, функтор / кванторные закрывается в и возвращает таким образом , указанное подмножество .${\displaystyle T}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T\to Y}$${\displaystyle X\times _{Y}T}$${\displaystyle \exists _{f}}$${\displaystyle \forall _{f}}$${\displaystyle {\text{Sub}}(X)}$${\displaystyle {\text{Sub}}(Y)}$${\displaystyle S\subset X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times _{Y}T}$${\displaystyle Y}$

Пример : В категории множеств и функций канонические подобъекты являются подмножеством (или, скорее, их каноническими инъекциями). Откат инъекции подмножества в вдоль характеризуется как самый большой набор, который знает все, и инъекция в . Таким образом, оказывается (взаимно однозначно) прообраз .${\displaystyle \operatorname {Set} }$${\displaystyle f^{*}T=X\times _{Y}T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{-1}[T]\subseteq X}$

В самом деле, давайте выясним левый сопряженный, который определяется через${\displaystyle S\subseteq X}$

${\displaystyle {\operatorname {Hom} }(\exists _{f}S,T)\cong {\operatorname {Hom} }(S,f^{*}T),}$

что здесь просто означает

${\displaystyle \exists _{f}S\subseteq T\leftrightarrow S\subseteq f^{-1}[T]}$.

Посмотрим . Мы видим . Наоборот, если у нас тоже есть , то ясно . Так подразумевается . Мы заключаем, что левый сопряженный функтору прообраза задается прямым образом. Вот характеристика этого результата, которая больше соответствует логической интерпретации: Изображение ниже - это полный набор , такой что не пуст. Это работает, потому что не учитываются именно те, которые находятся в дополнении . Так${\displaystyle f[S]\subseteq T}$${\displaystyle S\subseteq f^{-1}[f[S]]\subseteq f^{-1}[T]}$${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle x\in f^{-1}[T]}$${\displaystyle f(x)\in T}$${\displaystyle S\subseteq f^{-1}[T]}$${\displaystyle f[S]\subseteq T}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \exists _{f}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f^{-1}[\{y\}]\cap S}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle f[S]}$

${\displaystyle \exists _{f}S=\{y\in Y\mid \exists (x\in f^{-1}[\{y\}]).\,x\in S\;\}=f[S].}$

Сравните это с нашей мотивацией .${\displaystyle \{y\in Y\mid \exists x.\,\psi _{f}(x,y)\land \phi _{S}(x)\}}$

Правый сопряженный к функтору обратного изображения задается (без выполнения вычислений здесь) как

${\displaystyle \forall _{f}S=\{y\in Y\mid \forall (x\in f^{-1}[\{y\}]).\,x\in S\;\}.}$

Подмножество из характеризуются как полный набор «S со свойством , что прообраз по отношению к полностью содержащимся в . Обратите внимание, что предикат, определяющий набор, такой же, как и выше, за исключением того, что заменен на .${\displaystyle \forall _{f}S}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \{y\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \exists }$${\displaystyle \forall }$

См. Также powerset .

Дополнения полностью [ править ]

Следовательно, существует множество функторов и естественных преобразований, связанных с каждым присоединением, и лишь небольшой части достаточно для определения остальных.

Примыкание между категориями C и D состоит из

• Функтор F  : D → C называется левый сопряженный
• Функтор G  : C → D называется правым сопряженным
• Естественный изоморфизм Φ: Хом _С ( Р -, -) → Хом _Д (-, G -)
• Естественное преобразование ε: ФГ → 1 _С называется коединица
• Естественное преобразование η: 1 _D → GF, называемое единицей

Эквивалентная формулировка, где X обозначает любой объект C, а Y обозначает любой объект D , выглядит следующим образом:

Для каждого C -морфизма f  : FY → X существует единственный D- морфизм Φ _{Y , X} ( f ) = g  : Y → GX такой, что диаграммы ниже коммутируют, и для любого D- морфизма g  : Y → GX , существует единственный C -морфизм Φ ⁻¹ _{Y , X} ( g ) = f  : FY → X в C такие, что диаграммы ниже коммутируют:

Из этого утверждения можно вывести, что:

• Преобразования ε, η и Φ связаны уравнениями

${\displaystyle {\begin{aligned}f=\Phi _{Y,X}^{-1}(g)&=\varepsilon _{X}\circ F(g)&\in &\,\,\mathrm {hom} _{C}(F(Y),X)\\g=\Phi _{Y,X}(f)&=G(f)\circ \eta _{Y}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{D}(Y,G(X))\\\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})&=\varepsilon _{X}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{C}(FG(X),X)\\\Phi _{Y,FY}(1_{FY})&=\eta _{Y}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{D}(Y,GF(Y))\\\end{aligned}}}$

• Преобразования ε, η удовлетворяют уравнениям единичных единиц

${\displaystyle {\begin{aligned}1_{FY}&=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\1_{GX}&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\end{aligned}}}$

• Каждая пара ( GX , ε _X ) является терминальным морфизмом из F в X в C
• Каждая пара ( FY , η _Y ) является исходным морфизмом из Y в G в D

В частности, приведенные выше уравнения позволяют определить Φ, ε и η в терминах любого из трех. Однако одних сопряженных функторов F и G , вообще говоря, недостаточно для определения присоединения. Эквивалентность этих ситуаций демонстрируется ниже.

Универсальные морфизмы индуцируют присоединение гом-множества [ править ]

Дан сопряженный справа функтор G  : C → D ; в смысле начальных морфизмов, можно построить индуцированное присоединение гом-множества, выполнив следующие шаги.

• Постройте функтор F  : D → C и естественное преобразование η.
  • Для каждого объекта Y в D выберите начальный морфизм ( F ( Y ), η _Y ) из Y в G , так что η _Y  : Y → G ( F ( Y )). У нас есть отображение F на объекты и семейство морфизмов η.
  • Для каждого f  : Y ₀ → Y ₁ , поскольку ( F ( Y ₀ ), η _{Y 0} ) является начальным морфизмом, затем факторизуйте η _{Y 1} o f с η _{Y 0} и получите F ( f ): F ( Y ₀ ) → F ( Y ₁ ). Это отображение F на морфизмах.
  • Из коммутирующей диаграммы этой факторизации следует коммутирующая диаграмма естественных преобразований, поэтому η: 1 _D → G o F - естественное преобразование .
  • Из единственности этой факторизации и того, что G является функтором, следует, что отображение F на морфизмах сохраняет композиции и тождества.
• Построить естественный изоморфизм Φ: hom _C ( F -, -) → hom _D (-, G -).
  • Для каждого объекта X в C , каждого объекта Y в D , поскольку ( F ( Y ), η _Y ) является исходным морфизмом, то Φ _{Y , X} является биекцией, где Φ _{Y , X} ( f  : F ( Y ) → Х ) = G ( F ) о η _У .
  • η - естественное преобразование, G - функтор, то для любых объектов X ₀ , X ₁ в C , любых объектов Y ₀ , Y ₁ в D , любого x  : X ₀ → X ₁ , любого y  : Y ₁ → Y ₀ , имеем Φ _{Y 1 , X 1} ( x o f o F ( y )) = G (x) o G (f ) o G ( F ( y )) o η _{Y 1} = G ( x ) o G ( f ) o η _{Y 0} o y = G ( x ) o Φ _{Y 0 , X 0} ( f ) o y , и тогда Φ естественно в обоих аргументах.

Аналогичное рассуждение позволяет построить присоединение гом-множества терминальных морфизмов к левому сопряженному функтору. (Конструкция, которая начинается с правого сопряженного, немного более распространена, поскольку правый сопряженный во многих сопряженных парах является тривиально определенным включением или забывчивым функтором.)

коединица-модуль сопряженность индуцирует Хома-набор примыкания [ редактировать ]

Для функторов F  : D → C , G  : C → D и присоединения коит-единиц (ε, η): F G мы можем построить присоединение гом-множеств, найдя естественное преобразование Φ: hom _C ( F -, -) → hom _D (-, G -) в следующие шаги:${\displaystyle \dashv }$

• Для каждого f  : FY → X и каждого g  : Y → GX определим

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Psi _{Y,X}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}}$

Преобразования Φ и естественны, так как η и ε естественны.

• Используя, по порядку, что F является функтором, что ε натуральное число, и уравнение единицы 1 _FY = ε _FY o F (η _Y ), получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi \Phi f&=\varepsilon _{X}\circ FG(f)\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ 1_{FY}=f\end{aligned}}}$

следовательно, ΨΦ - тождественное преобразование.

• Двойственно, используя то, что G - функтор, что η натуральное, и уравнение 1 _GX = G (ε _X ) o η _GX , получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi \Psi g&=G(\varepsilon _{X})\circ GF(g)\circ \eta _{Y}\\&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\circ g\\&=1_{GX}\circ g=g\end{aligned}}}$

следовательно, ΦΨ - тождественное преобразование. Таким образом, Φ - естественный изоморфизм с обратным Φ ⁻¹ = Ψ.

Присоединение гом-множества индуцирует все вышеперечисленное [ править ]

Для функторов F  : D → C , G  : C → D и присоединения гом-множеств Φ: hom _C ( F -, -) → hom _D (-, G -) можно построить конъюнктно-единичное присоединение

${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$ ,

который определяет семейства начальных и конечных морфизмов, на следующих этапах:

• Пусть     для каждого X в C , где     - тождественный морфизм.${\displaystyle \varepsilon _{X}=\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})\in \mathrm {hom} _{C}(FGX,X)}$${\displaystyle 1_{GX}\in \mathrm {hom} _{D}(GX,GX)}$
• Пусть     для каждого Y в D , где     - тождественный морфизм.${\displaystyle \eta _{Y}=\Phi _{Y,FY}(1_{FY})\in \mathrm {hom} _{D}(Y,GFY)}$${\displaystyle 1_{FY}\in \mathrm {hom} _{C}(FY,FY)}$
• Биективность и естественность Ф означает , что каждый ( GX , ε _X ) представляет собой терминал морфизм из F в X в C , и каждый ( ФГ , η _Y ) является начальным морфизм из Y к G в D .
• Естественность Φ влечет естественность ε и η, и две формулы

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Phi _{Y,X}^{-1}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}}$

для каждого f : FY → X и g : Y → GX (которые полностью определяют Φ).

• Подставляя FY для X и η _Y = Ф _{Y , FY} (1 _ФГ ) для г во второй формуле дает первое уравнение коединицы-блок

${\displaystyle 1_{FY}=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})}$,

и замены на GX для Y и ε _Х = Φ ^-1 _{GX, Х} (1 _GX ) для F в первой формуле дает второе уравнение коединицы-блок

${\displaystyle 1_{GX}=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}}$.

Свойства [ править ]

Существование [ править ]

Не всякий функтор G  : C → D допускает левый сопряженный. Если C является полной категорией , то функторы с левым сопряженными можно охарактеризовать теоремы сопряженных с Peter J. Freyd : G имеет левую сопряженный тогда и только тогда , когда она непрерывна и определенная Малость условие: для каждого объекта Y группы D существует семейство морфизмов

f _я  : Y → G ( X _я )

где индексы i происходят из множества I , а не из собственного класса , так что каждый морфизм

ч  : Y → G ( X )

можно записать как

h = G ( t ) о f _i

для некоторых я в я и некоторый морфизм

т  : Х _я → Х в С .

Аналогичное утверждение характеризует функторы с правым сопряженным элементом.

Важным частным случаем являются категории, представленные в местном масштабе . Если - функтор между локально представимыми категориями, то${\displaystyle F:C\to D}$

• F имеет правый сопряженный тогда и только тогда, когда F сохраняет малые копределы
• F имеет сопряженный слева тогда и только тогда, когда F сохраняет малые пределы и является доступным функтором

Уникальность [ править ]

Если функтор F  : D → C имеет два правых сопряженных G и G ′, то G и G ′ естественно изоморфны . То же верно и для левых сопряженных.

Наоборот, если F сопряжена слева к G и G естественно изоморфна G ′, то F также сопряжена слева к G ′. В более общем смысле, если 〈F , G , ε, η〉 является присоединением (с коучит – единицей (ε, η)) и

σ: F → F ′

τ: G → G ′

являются естественными изоморфизмами, то 〈F ′, G ′, ε ′, η ′〉 присоединение, где

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta '&=(\tau \ast \sigma )\circ \eta \\\varepsilon '&=\varepsilon \circ (\sigma ^{-1}\ast \tau ^{-1}).\end{aligned}}}$

Здесь обозначает вертикальную композицию природных преобразований, а обозначает горизонтальную композицию.${\displaystyle \circ }$${\displaystyle \ast }$

Состав [ править ]

Дополнения могут быть составлены естественным образом. В частности, если 〈F , G , ε, η〉 является присоединением между C и D, а 〈F ′, G ′, ε ′, η ′〉 является присоединением между D и E, то функтор

${\displaystyle F\circ F':E\rightarrow C}$

слева примыкает к

${\displaystyle G'\circ G:C\to E.}$

Точнее, есть соединение между F F ' и G' G с единицей и количеством, заданными соответственно композициями:

${\displaystyle {\begin{aligned}&1_{\mathcal {E}}{\xrightarrow {\eta '}}G'F'{\xrightarrow {G'\eta F'}}G'GFF'\\&FF'G'G{\xrightarrow {F\varepsilon 'G}}FG{\xrightarrow {\varepsilon }}1_{\mathcal {C}}.\end{aligned}}}$

Это новое присоединение называется составом двух данных присоединений.

Поскольку существует также естественный способ определить тождественное присоединение между категорией C и самой собой, можно затем сформировать категорию, все объекты которой являются малыми категориями, а морфизмы - присоединениями.

Ограничить сохранение [ править ]

Самым важным свойством сопряженных является их непрерывность: каждый функтор, у которого есть сопряженный слева (и, следовательно , сопряженный справа), непрерывен (т. Е. Коммутирует с пределами в теоретико-категориальном смысле); каждый функтор имеет правую сопряженные (и , следовательно , является левым сопряженным) является cocontinuous (т.е. коммутирует с копределами ).

Поскольку многие общие конструкции в математике являются пределами или копределами, это дает большой объем информации. Например:

• применение правосопряженного функтора к произведению объектов дает произведение изображений;
• применение сопряженного слева функтора к копроизведению объектов дает копроизведение изображений;
• каждый правый сопряженный функтор между двумя абелевыми категориями точен слева ;
• каждый левый сопряженный функтор между двумя абелевыми категориями точен справа .

Аддитивность [ править ]

Если C и D - предаддитивные категории и F  : D → C - аддитивный функтор с правым сопряженным G  : C → D , то G также является аддитивным функтором и биекциями hom-множеств

${\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$

на самом деле являются изоморфизмами абелевых групп. Двойственно, если G аддитивна с левым сопряженным F , то F также аддитивна.

Более того, если и C, и D являются аддитивными категориями (т.е. преаддитивными категориями со всеми конечными бипроизведениями ), то любая пара сопряженных функторов между ними автоматически аддитивна.

Отношения [ править ]

Универсальные конструкции [ править ]

Как уже говорилось ранее, примыкание между категориями C и D приводит к семейству универсальных морфизмов , по одному для каждого объекта в C и один для каждого объекта D . Наоборот, если существует универсальный морфизм к функтору G  : C → D из любого объекта из D , то G имеет левый сопряженный.

Однако универсальные конструкции более общие, чем присоединенные функторы: универсальная конструкция подобна задаче оптимизации; она порождает присоединенную пару тогда и только тогда, когда эта проблема имеет решение для каждого объекта из D (эквивалентно, для каждого объекта из C ).

Эквивалентность категорий [ править ]

Если функтор F  : D → C является половиной эквивалентности категорий, то он является левым сопряженным в сопряженной эквивалентности категорий, т. Е. Присоединением, единица и коэлемент которого являются изоморфизмами.

Каждое присоединение 〈F , G , ε, η〉 продолжает эквивалентность некоторых подкатегорий. Определим C ₁ как полную подкатегорию в C, состоящую из тех объектов X из C, для которых ε _X является изоморфизмом, и определим D ₁ как полную подкатегорию в D, состоящую из тех объектов Y из D, для которых η _Y является изоморфизмом. Тогда F и G можно ограничить на D ₁ и C ₁ и дают обратные эквивалентности этих подкатегорий.

Таким образом, в некотором смысле сопряженные являются «обобщенно обратными». Однако здесь следует отметить , что правый обратный F (т.е. функтор G такой , что FG естественно изоморфно 1 _D ) не должен быть справа (слева) , сопряженный F . Присоединенные - обобщают двусторонние обратные.

Монады [ править ]

Каждое примыкание < F , G , ε, η> приводит к появлению соответствующей монаде < Т , п, μ> в категории D . Функтор

${\displaystyle T:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}$

дается формулой T = GF . Единица монады

${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {D}}\to T}$

есть просто единица η присоединения и преобразования умножения

${\displaystyle \mu :T^{2}\to T\,}$

задается μ = G ε F . Двойственно, тройка < FG , ε, F η G > определяет комонадой в C .

Каждая монада возникает из некоторого присоединения - фактически, как правило, из многих добавлений - описанным выше способом. Две конструкции, называемые категорией алгебр Эйленберга – Мура и категорией Клейсли, представляют собой два экстремальных решения проблемы построения присоединения, порождающего данную монаду.

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Адамек, Иржи; Герлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории. Радость кошек (PDF) . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-60922-6. Zbl  0695.18001 .
• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике . 5 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001 .

Внешние ссылки [ править ]

• Плейлист адъюнкций на YouTube - семь коротких лекций Евгении Ченг из The Catsters о адъюнкциях
• WildCats - это пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов , естественных преобразований , универсальных свойств .