Эквивалентность категорий

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июнь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В теории категорий , абстрактном разделе математики , эквивалентность категорий - это отношение между двумя категориями, которое устанавливает, что эти категории «по существу одинаковы». Существует множество примеров категориальной эквивалентности из многих областей математики. Установление эквивалентности включает демонстрацию сильного сходства между рассматриваемыми математическими структурами. В некоторых случаях эти структуры могут казаться не связанными на поверхностном или интуитивном уровне, что делает понятие довольно мощным: оно создает возможность «переводить» теоремы между различными типами математических структур, зная, что сущностный смысл этих теорем сохраняется. под перевод.

Если категория эквивалентна противоположности (или двойственности) другой категории, то говорят о двойственности категорий и говорят, что эти две категории двойственно эквивалентны .

Эквивалентность категорий состоит из функтора между задействованными категориями, который должен иметь «обратный» функтор. Однако, в отличие от ситуации, характерной для изоморфизмов в алгебраической установке, композиция функтора и его «обратного» не обязательно является тождественным отображением. Вместо этого достаточно, чтобы каждый объект был естественно изоморфен своему изображению в этой композиции. Таким образом, можно описать функторы как «обратные с точностью до изоморфизма». Действительно, существует концепция изоморфизма категорий, в которой требуется строгая форма обратного функтора, но она имеет гораздо меньшее практическое применение, чем концепция эквивалентности .

Определение [ править ]

Формально, учитывая две категории C и D , эквивалентность категорий состоит из функтора F : C → D , функтора G : D → C и двух естественных изоморфизмов ε: FG → I _D и η: I _C → GF . Здесь FG : D → D и GF : C → C , обозначают композиции F и G соответственно , а I_C : C → C и I _D : D → D обозначают тождественные функторы на C и D , сопоставляя каждый объект и морфизм себе. Если F и G - контравариантные функторы, товместо этогоговорят о двойственности категорий .

Часто не уточняют все вышеперечисленные данные. Например, мы говорим , что категории C и D являются эквивалентными (соответственно дуально эквивалент ) , если существует эквивалентность (соответственно двойственности) между ними. Кроме того, мы говорим, что F «является» эквивалентностью категорий, если существуют обратный функтор G и естественные изоморфизмы, указанные выше. Обратите внимание, однако, что знания F обычно недостаточно, чтобы восстановить G и естественные изоморфизмы: может быть много вариантов (см. Пример ниже).

Эквивалентные характеристики [ править ]

Функтор F : C → D дает эквивалентность категорий тогда и только тогда, когда он одновременно:

полное , т.е. для любых двух объектов c ₁ и c ₂ из C отображение Hom _C ( c ₁ , c ₂ ) → Hom _D ( Fc ₁ , Fc ₂ ), индуцированное F , сюръективно ;
точное , т.е. для любых двух объектов c ₁ и c ₂ из C отображение Hom _C ( c ₁ , c ₂ ) → Hom _D ( Fc ₁ , Fc ₂ ), индуцированное F , инъективно ; и
по существу , сюръективно (плотный) , т.е. каждый объект d в D изоморфен объект вида Fc , для C в C . ^[1]

Это весьма полезный и обычно применяемый критерий, потому что не нужно явно строить «обратную» G и естественные изоморфизмы между FG , GF и тождественными функторами. С другой стороны, хотя вышеупомянутые свойства гарантируют существование категориальной эквивалентности (при условии достаточно сильной версии аксиомы выбора в основной теории множеств), недостающие данные не полностью определены, и часто есть много вариантов. По возможности рекомендуется явно указывать недостающие конструкции. В связи с этим обстоятельством функтор с такими свойствами иногда называют слабой эквивалентностью категорий. (К сожалению, это противоречит терминологии теории гомотопических типов .)

Также существует тесная связь с понятием присоединенных функторов . Следующие утверждения эквивалентны для функторов F : C → D и G : D → C :

Существуют естественные изоморфизмы из FG в I _D и I _C в GF .
F - левый сопряженный к G, и оба функтора полны и точны.
G является правым сопряженным к F, и оба функтора полны и точны.

Следовательно, можно рассматривать отношение сопряженности между двумя функторами как выражение «более слабой формы эквивалентности» категорий. Предполагая, что естественные преобразования для добавок заданы, все эти формулировки допускают явное построение необходимых данных, и никаких принципов выбора не требуется. Ключевое свойство, которое здесь нужно доказать, состоит в том, что константа присоединения является изоморфизмом тогда и только тогда, когда правый сопряженный элемент является полным и точным функтором.

Примеры [ править ]

Рассмотрим категорию , имеющую один объект и один морфизм и категории с двумя объектами , и четыре морфизмов: два тождественных морфизмов , и два изоморфизмам и . Категории и эквивалентны; мы можем (например) есть карта для и карта как объекты для и всех морфизмов в . ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle 1_ {c}}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle d_ {1}}$ ${\ displaystyle d_ {2}}$ ${\ displaystyle 1_ {d_ {1}}}$ ${\ displaystyle 1_ {d_ {2}}}$ $\alpha \colon d_{1}\to d_{2}$ $\beta \colon d_{2}\to d_{1}$ $C$ $D$ $F$ $c$ $d_{1}$ $G$ $D$ $c$ $1_{c}$
Напротив, категория с одним объектом и одним морфизмом не эквивалентна категории с двумя объектами и только двумя морфизмами идентичности, поскольку два объекта в ней не изоморфны. $C$ $E$
Рассмотрим категорию с одним объектом и двумя морфизмами . Позвольте быть тождественный морфизм на и установить . Конечно, эквивалентен самому себе, что можно показать, заменив требуемые естественные изоморфизмы между функтором и самим собой. Однако также верно и то, что это дает естественный изоморфизм от самого себя. Следовательно, учитывая информацию о том, что тождественные функторы образуют эквивалентность категорий, в этом примере все еще можно выбирать между двумя естественными изоморфизмами для каждого направления. $C$ $c$ $1_{c},f\colon c\to c$ $1_{c}$ $c$ $f\circ f=1$ $C$ $1_{c}$ $\mathbf {I} _{C}$ $f$ $\mathbf {I} _{C}$
Категория множеств и частичных функций эквивалентна, но не изоморфна категории отмеченных множеств и отображений, сохраняющих точки. ^[2]
Рассмотрим категорию конечномерных мерных реального векторных пространств и категорию всех вещественных матриц (последняя категория объясняется в статье на аддитивных категорий ). Тогда и эквивалентны: функтор , который отображает объект в векторном пространство и матрицы в с соответствующими линейными картами полон, верный и по существу сюръективен. $C$ $D=\mathrm {Mat} (\mathbb {R} )$ $C$ $D$ $G\colon D\to C$ $A_{n}$ $D$ $\mathbb {R} ^{n}$ $D$
Одна из центральных тем алгебраической геометрии - двойственность категории аффинных схем и категории коммутативных колец . Функтор сопоставляет каждому коммутативному кольцу его спектр , схему, определяемую первичными идеалами кольца. Его сопряженный сопоставляет каждой аффинной схеме свое кольцо глобальных сечений. $G$ $F$
В функциональном анализе категория коммутативных C * -алгебр с единицей контравариантно эквивалентна категории компактных хаусдорфовых пространств . При этой двойственности каждое компактное хаусдорфово пространство связано с алгеброй непрерывных комплекснозначных функций на , а каждая коммутативная C * -алгебра связана с пространством своих максимальных идеалов . Это представление Гельфанда . $X$ $X$
В теории решеток существует ряд двойственностей, основанных на теоремах представления, которые связывают определенные классы решеток с классами топологических пространств . Вероятно, самая известная теорема такого рода - это теорема Стоуна о представлении булевых алгебр , которая является частным случаем в общей схеме двойственности Стоуна . Каждая булева алгебра сопоставляется с определенной топологией на множестве ультрафильтрами из . И наоборот, для любой топологии открыто-замкнутые (т.е. замкнутые и открытые) подмножества образуют булеву алгебру. Получается двойственность между категорией булевых алгебр (с их гомоморфизмами) и пространствами Стоуна $B$ $B$ (с непрерывными отображениями). Другой случай двойственности Стоуна - это теорема Биркгофа о представлении, устанавливающая двойственность между конечными частичными порядками и конечными дистрибутивными решетками.
В бессмысленной топологии категория пространственных локалей, как известно, эквивалентна двойственной категории трезвых пространств.
Для двух колец R и S , то категория продукта R - Mod × S - моделирование эквивалентно ( R × S ) - Mod . ^{[ необходима цитата ]}
Любая категория эквивалентна своему скелету .

Свойства [ править ]

Как показывает практика, эквивалентность категорий сохраняет все «категориальные» понятия и свойства. Если F : C → D - эквивалентность, то верны все следующие утверждения:

объект c из C является начальным объектом (или конечным объектом , или нулевым объектом ) тогда и только тогда, когда Fc является начальным объектом (или конечным объектом , или нулевым объектом ) из D
морфизм α в C представляет собой мономорфизм (или эпиморфизм , или изоморфизм ), если и только если Fa , мономорфно (или эпиморфизм или изоморфизм) в D .
функтор H : I → C имеет предел (или копредел) l тогда и только тогда, когда функтор FH : I → D имеет предел (или копредел) Fl . Это может быть применено, в частности, к эквалайзерам , продуктам и сопутствующим продуктам . Применяя его к ядрам и коядрам , мы видим, что эквивалентность F является точным функтором .
C - декартово замкнутая категория (или топос ) тогда и только тогда, когда D - декартово замкнутая категория (или топос).

Двойственности «переворачивают все понятия»: они превращают исходные объекты в конечные объекты, мономорфизмы в эпиморфизмы, ядра в коядра, пределы в копределы и т. Д.

Если F : C → D - эквивалентность категорий, а G ₁ и G ₂ - два обратных к F , то G ₁ и G ₂ естественно изоморфны.

Если F : C → D является эквивалентностью категорий, и если C является предаддитивной категорией (или аддитивной категорией , или абелевой категорией ), то D может быть превращен в предаддитивную категорию (или аддитивную категорию, или абелеву категорию) в такой способ, которым F становится аддитивным функтором . С другой стороны, любая эквивалентность аддитивных категорий обязательно аддитивна. (Обратите внимание, что последнее утверждение неверно для эквивалентностей между предаддитивными категориями.)

Автоэквивалентность из категории С является эквивалентность F : C → C . Автоэквивалентности C образуют группу при композиции, если мы рассматриваем две автоэквивалентности, которые естественно изоморфны, идентичными. Эта группа захватывает существенную «Симметрию» из C . (Одно предостережение: если C не маленькая категория, то автоэквивалентности C могут образовывать правильный класс, а не набор .)

См. Также [ править ]

Эквивалентные определения математических структур

Ссылки [ править ]

↑ Mac Lane (1998), теорема IV.4.1
^ Lutz Schröder (2001). «Категории: бесплатный тур». У Юргена Козловского и Остина Мелтона (ред.). Категориальные перспективы . Springer Science & Business Media. п. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3.

эквивалентность категорий в nLab
«Эквивалентность категорий» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Нью-Йорк: Спрингер. С. xii + 314. ISBN 0-387-98403-8.

[1] Mac Lane (1998), теорема IV.4.1

[KoslowskiMelton2001-2] Lutz Schröder (2001). «Категории: бесплатный тур». У Юргена Козловского и Остина Мелтона (ред.). Категориальные перспективы . Springer Science & Business Media. п. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3.

[1]