В математике , то размерность из векторного пространства V является количеством элементов (то есть число векторов) из основы из V над его базовой областью . [1] [2] Иногда его называют измерением Гамеля (в честь Георга Гамеля ) или алгебраическим измерением, чтобы отличить его от других типов измерений .
Для каждого векторного пространства существует базис [a], и все базисы векторного пространства имеют одинаковую мощность; [b] в результате размерность векторного пространства определяется однозначно. Мы говорим , V является конечномерным , если размерность V является конечным , и бесконечномерным , если его размерность бесконечна .
Размерность векторного пространства V над полем F может быть записана как dim F ( V ) или как [V: F], читай «размерность V над F ». Когда F можно вывести из контекста, обычно пишут dim ( V ).
Примеры [ править ]
Векторное пространство R 3 имеет
в качестве стандартного базиса , и , следовательно , мы имеем тусклый R ( R 3 ) = 3. В более общем плане тусклый R ( R п ) = п , и даже в более общем плане , тусклым F ( F п ) = п для любого поля F .
В комплексных числах C являются реальным и комплексным векторным пространством; имеем dim R ( C ) = 2 и dim C ( C ) = 1. Таким образом, размерность зависит от базового поля.
Единственное векторное пространство с размерностью 0 - это {0}, векторное пространство, состоящее только из его нулевого элемента.
Факты [ править ]
Если W - линейное подпространство в V , то dim ( W ) ≤ dim ( V ).
Чтобы показать, что два конечномерных векторных пространства равны, часто используется следующий критерий: если V - конечномерное векторное пространство, а W - линейное подпространство в V с dim ( W ) = dim ( V ), то W = В .
R n имеет стандартный базис { e 1 , ..., e n }, где e i - i -й столбец соответствующей единичной матрицы . Следовательно, R n имеет размерность n .
Любые два векторных пространства над F одинаковой размерности изоморфны . Любое биективное отображение между их базами может быть однозначно расширено до биективного линейного отображения между векторными пространствами. Если B - некоторое множество, векторное пространство с размерностью | B | над F могут быть построены следующим образом : возьмем множество F ( B ) всех функций F : B → F такой , что F ( б ) = 0 для всех , кроме конечного числа б в B . Эти функции можно добавлять и умножать с элементамиF , и мы получаем искомое F -векторное пространство.
Важный результат о размерностях дает теорема ранга – недействительности для линейных отображений .
Если Р / К является расширением поля , то Р является , в частности векторного пространства над K . Более того, каждое F- векторное пространство V также является K- векторным пространством. Размеры связаны формулой
- dim K ( V ) = dim K ( F ) dim F ( V ).
В частности, каждое комплексное векторное пространство размерности n является вещественным векторным пространством размерности 2 n .
Некоторые простые формулы связывают размерность векторного пространства с мощностью основного поля и мощностью самого пространства. Если V - векторное пространство над полем F, то, обозначая размерность V через dim V , мы имеем:
- Если dim V конечно, то | V | = | F | тусклый V .
- Если dim V бесконечно, то | V | = макс (| F |, dim V ).
Обобщения [ править ]
Векторное пространство можно рассматривать как частный случай матроида , и в последнем есть четко определенное понятие размерности. Длина модуля и ранг абелевой группы оба имеют несколько свойств , аналогичных размерность векторных пространств.
Размерность Крулля коммутативного кольца , названная в честь Wolfgang Крулля (1899-1971), определяются как максимальное число строгих включений в возрастающей цепочке простых идеалов в кольце.
След [ править ]
Размерность векторного пространства может альтернативно быть охарактеризована как след от единичного оператора . Например, это определение кажется круговым, но допускает полезные обобщения.
Во-первых, он позволяет определить понятие размерности, когда у него есть след, но нет естественного чувства основы. Например, у кого-то может быть алгебра A с отображениями (включение скаляров, называемое единицей ) и отображение (соответствующее следу, называемое счетчиком ). Композиция является скаляром (являющимся линейным оператором в одномерном пространстве) соответствует «следу идентичности» и дает понятие размерности абстрактной алгебры. На практике в биалгебрах требуется, чтобы это отображение было тождеством, которое может быть получено путем нормализации счетчика путем деления на размерность ( ), поэтому в этих случаях нормализующая константа соответствует размерности.
В качестве альтернативы можно взять след операторов в бесконечномерном пространстве; в этом случае определяется (конечный) след, даже если (конечной) размерности не существует, и дает понятие «размерности оператора». Они подпадают под рубрику « операторов класса следов » в гильбертовом пространстве или, в более общем смысле, ядерных операторов в банаховом пространстве .
Более тонкое обобщение - рассматривать след семейства операторов как своего рода «скрученное» измерение. Это существенно происходит в теории представлений , где характер представления - это след представления, следовательно, скалярная функция на группе , значение которой на единице является измерением представления, поскольку представление отправляет единицу в группе в единичную матрицу: можно рассматривать другие значения символа как «скрученные» измерения и находить аналоги или обобщения утверждений о размерах утверждениям о символах или представлениях. Изощренный пример этого происходит в теории чудовищного самогона.: j -инвариант - это градуированная размерность бесконечномерного градуированного представления группы монстров , и замена измерения на символ дает ряд Маккея – Томпсона для каждого элемента группы монстров. [3]
См. Также [ править ]
- Фрактальное измерение
- Измерение Крулля
- Матроид ранг
- Ранг (линейная алгебра)
- Топологическая размерность , также называемая покрывающей размерностью Лебега
Заметки [ править ]
- ^ если принять аксиому выбора
- ^ см. теорему размерности для векторных пространств
Ссылки [ править ]
- ^ Itzkov, Михаил (2009). Тензорная алгебра и тензорный анализ для инженеров: с приложениями к механике сплошной среды . Springer. п. 4. ISBN 978-3-540-93906-1.
- ^ Axler (2015) стр. 44, §2.36
- Перейти ↑ Gannon, Terry (2006), Moonshineyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics , ISBN 0-521-83531-3
Источники [ править ]
- Акслер, Шелдон (2015). Линейная алгебра сделано правильно . Тексты для бакалавриата по математике (3-е изд.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
Внешние ссылки [ править ]
- Лекция Гилберта Стрэнга по линейной алгебре MIT о независимости, базисе и размерности в MIT OpenCourseWare