Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , то размерность из векторного пространства V является количеством элементов (то есть число векторов) из основы из V над его базовой областью . [1] [2] Иногда его называют измерением Гамеля (в честь Георга Гамеля ) или алгебраическим измерением, чтобы отличить его от других типов измерений .

Для каждого векторного пространства существует базис [a], и все базисы векторного пространства имеют одинаковую мощность; [b] в результате размерность векторного пространства определяется однозначно. Мы говорим , V является конечномерным , если размерность V является конечным , и бесконечномерным , если его размерность бесконечна .

Размерность векторного пространства V над полем F может быть записана как dim F ( V ) или как [V: F], читай «размерность V над F ». Когда F можно вывести из контекста, обычно пишут dim ( V ).

Примеры [ править ]

Векторное пространство R 3 имеет

в качестве стандартного базиса , и , следовательно , мы имеем тусклый R ( R 3 ) = 3. В более общем плане тусклый R ( R п ) = п , и даже в более общем плане , тусклым F ( F п ) = п для любого поля F .

В комплексных числах C являются реальным и комплексным векторным пространством; имеем dim R ( C ) = 2 и dim C ( C ) = 1. Таким образом, размерность зависит от базового поля.

Единственное векторное пространство с размерностью 0 - это {0}, векторное пространство, состоящее только из его нулевого элемента.

Факты [ править ]

Если W - линейное подпространство в V , то dim ( W ) ≤ dim ( V ).

Чтобы показать, что два конечномерных векторных пространства равны, часто используется следующий критерий: если V - конечномерное векторное пространство, а W - линейное подпространство в V с dim ( W ) = dim ( V ), то W = В .

R n имеет стандартный базис { e 1 , ..., e n }, где e i - i -й столбец соответствующей единичной матрицы . Следовательно, R n имеет размерность n .

Любые два векторных пространства над F одинаковой размерности изоморфны . Любое биективное отображение между их базами может быть однозначно расширено до биективного линейного отображения между векторными пространствами. Если B - некоторое множество, векторное пространство с размерностью | B | над F могут быть построены следующим образом : возьмем множество F ( B ) всех функций F  : BF такой , что F ( б ) = 0 для всех , кроме конечного числа б в B . Эти функции можно добавлять и умножать с элементамиF , и мы получаем искомое F -векторное пространство.

Важный результат о размерностях дает теорема ранга – недействительности для линейных отображений .

Если Р / К является расширением поля , то Р является , в частности векторного пространства над K . Более того, каждое F- векторное пространство V также является K- векторным пространством. Размеры связаны формулой

dim K ( V ) = dim K ( F ) dim F ( V ).

В частности, каждое комплексное векторное пространство размерности n является вещественным векторным пространством размерности 2 n .

Некоторые простые формулы связывают размерность векторного пространства с мощностью основного поля и мощностью самого пространства. Если V - векторное пространство над полем F, то, обозначая размерность V через dim V , мы имеем:

Если dim V конечно, то | V | = | F | тусклый V .
Если dim V бесконечно, то | V | = макс (| F |, dim V ).

Обобщения [ править ]

Векторное пространство можно рассматривать как частный случай матроида , и в последнем есть четко определенное понятие размерности. Длина модуля и ранг абелевой группы оба имеют несколько свойств , аналогичных размерность векторных пространств.

Размерность Крулля коммутативного кольца , названная в честь Wolfgang Крулля (1899-1971), определяются как максимальное число строгих включений в возрастающей цепочке простых идеалов в кольце.

След [ править ]

Размерность векторного пространства может альтернативно быть охарактеризована как след от единичного оператора . Например, это определение кажется круговым, но допускает полезные обобщения.

Во-первых, он позволяет определить понятие размерности, когда у него есть след, но нет естественного чувства основы. Например, у кого-то может быть алгебра A с отображениями (включение скаляров, называемое единицей ) и отображение (соответствующее следу, называемое счетчиком ). Композиция является скаляром (являющимся линейным оператором в одномерном пространстве) соответствует «следу идентичности» и дает понятие размерности абстрактной алгебры. На практике в биалгебрах требуется, чтобы это отображение было тождеством, которое может быть получено путем нормализации счетчика путем деления на размерность ( ), поэтому в этих случаях нормализующая константа соответствует размерности.

В качестве альтернативы можно взять след операторов в бесконечномерном пространстве; в этом случае определяется (конечный) след, даже если (конечной) размерности не существует, и дает понятие «размерности оператора». Они подпадают под рубрику « операторов класса следов » в гильбертовом пространстве или, в более общем смысле, ядерных операторов в банаховом пространстве .

Более тонкое обобщение - рассматривать след семейства операторов как своего рода «скрученное» измерение. Это существенно происходит в теории представлений , где характер представления - это след представления, следовательно, скалярная функция на группе , значение которой на единице является измерением представления, поскольку представление отправляет единицу в группе в единичную матрицу: можно рассматривать другие значения символа как «скрученные» измерения и находить аналоги или обобщения утверждений о размерах утверждениям о символах или представлениях. Изощренный пример этого происходит в теории чудовищного самогона.: j -инвариант - это градуированная размерность бесконечномерного градуированного представления группы монстров , и замена измерения на символ дает ряд Маккея – Томпсона для каждого элемента группы монстров. [3]

См. Также [ править ]

  • Фрактальное измерение
  • Измерение Крулля
  • Матроид ранг
  • Ранг (линейная алгебра)
  • Топологическая размерность , также называемая покрывающей размерностью Лебега

Заметки [ править ]

  1. ^ если принять аксиому выбора
  2. ^ см. теорему размерности для векторных пространств

Ссылки [ править ]

  1. ^ Itzkov, Михаил (2009). Тензорная алгебра и тензорный анализ для инженеров: с приложениями к механике сплошной среды . Springer. п. 4. ISBN 978-3-540-93906-1.
  2. ^ Axler (2015) стр. 44, §2.36
  3. Перейти ↑ Gannon, Terry (2006), Moonshineyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics , ISBN 0-521-83531-3

Источники [ править ]

  • Акслер, Шелдон (2015). Линейная алгебра сделано правильно . Тексты для бакалавриата по математике (3-е изд.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.

Внешние ссылки [ править ]

  • Лекция Гилберта Стрэнга по линейной алгебре MIT о независимости, базисе и размерности в MIT OpenCourseWare