Длина модуля

В абстрактной алгебре , то длина из модуля является обобщением размерности в виде векторного пространства , который измеряет его размер. ^{[1] стр. 153} В частности, как и в случае векторных пространств, единственными модулями конечной длины являются конечно порожденные модули . Он определяется как длина самой длинной цепочки подмодулей . Модули конечной длины разделяют многие важные свойства с конечномерными векторными пространствами.

Другие понятия, используемые для «подсчета» в теории колец и модулей, - это глубина и высота ; и то, и другое требует более тонкого определения. Более того, их использование больше соответствует теории размерности, тогда как длина используется для анализа конечных модулей. Есть также различные полезные идеи размерности . Коммутативные кольца конечной длины играют важную роль в функториальных трактовках формальной алгебраической геометрии и теории деформаций, где кольца Артина широко используются.

Определение [ править ]

Длина модуля [ править ]

Пусть - (левый или правый) модуль над некоторым кольцом . Дана цепочка подмодулей вида${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$

${\ Displaystyle M_ {0} \ subsetneq M_ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq M_ {n} = M}$

мы говорим, что это длина цепи. ^[1] длина от определяется самой большой длина любого из ее цепей. Если такой наибольшей длины не существует, мы говорим, что она имеет бесконечную длину .${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$

Длина кольца [ править ]

Кольцо называется имеет конечную длину , как кольцо , если оно имеет конечную длину в качестве левого модуля.${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$

Свойства [ править ]

Конечная длина и конечные модули [ править ]

Если -модуль имеет конечную длину, то он конечно порожден . ^[2] Если R - поле, то верно и обратное.${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$

Связь с артинианскими и нётерскими модулями [ править ]

Модуль имеет конечную длину , если и только если оно является одновременно нётеровым модулем и артины модуля ^[1] (см теоремы Хопкинса ). Поскольку все артиновы кольца нётеровы, отсюда следует, что кольцо имеет конечную длину тогда и только тогда, когда оно артиново.${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$

Поведение в отношении коротких точных последовательностей [ править ]

Предполагать

${\ Displaystyle 0 \ rightarrow L \ rightarrow M \ rightarrow N \ rightarrow 0}$

это короткая точная последовательность из модулей. Тогда M имеет конечную длину тогда и только тогда, когда L и N имеют конечную длину, и мы имеем${\ displaystyle R}$

${\displaystyle {\text{length}}_{R}(M)={\text{length}}_{R}(L)+{\text{length}}_{R}(N)}$

В частности, это подразумевает следующие два свойства

• Прямая сумма двух модулей конечной длины имеет конечную длину
• Подмодуль модуля конечной длины имеет конечную длину, и его длина меньше или равна его родительскому модулю.

Теорема Джордана – Гёльдера [ править ]

Композиционный ряд модуля М представляет собой цепь вида

${\displaystyle 0=N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}=M}$

такой, что

${\displaystyle N_{i+1}/N_{i}{\mbox{ is simple for }}i=0,\dots ,n-1}$

Модуль М имеет конечную длину , если и только если оно имеет (конечное) композиционный ряд, а длина каждого такого композиционного ряда равна длине М .

Примеры [ править ]

Конечномерные векторные пространства [ править ]

Любое конечномерное векторное пространство над полем имеет конечную длину. В основе лежит цепочка${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$

${\displaystyle 0\subset {\text{Span}}_{k}(v_{1})\subset {\text{Span}}_{k}(v_{1},v_{2})\subset \cdots \subset {\text{Span}}_{k}(v_{1},\ldots ,v_{n})=V}$

который имеет длину . Он максимален, потому что для любой цепи${\displaystyle n}$

${\displaystyle V_{0}\subset \cdots \subset V_{m}}$

размер каждого включения увеличится как минимум на . Следовательно, его длина и размер совпадают.${\displaystyle 1}$

Артинианские модули [ править ]

Над основного кольца , Артиновы модули образуют класс примеров конечных модулей. Фактически, эти примеры служат основными инструментами для определения порядка исчезновения в теории пересечений . ^[3]${\displaystyle R}$

Нулевой модуль [ править ]

Нулевой модуль - единственный с длиной 0.

Простые модули [ править ]

Модули длины 1 - это в точности простые модули .

Артинианские модули над Z [ править ]

Длина циклической группы (рассматриваемой как модуль над целыми числами Z ) равна количеству простых множителей , при этом несколько простых множителей подсчитываются несколько раз. Это можно найти с помощью китайской теоремы об остатках .${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$ ${\displaystyle n}$

Использование в теории множественности [ править ]

Для нуждающихся в теории Пересечения , Жан-Пьер Серр ввел общее понятие кратности точки, как длина артинового локального кольца , связанное с этой точкой.

Первым приложением было полное определение кратности пересечения и, в частности, утверждение теоремы Безу, которая утверждает, что сумма кратностей точек пересечения n алгебраических гиперповерхностей в n -мерном проективном пространстве либо бесконечна, либо равна в точности произведение степеней гиперповерхностей.

Это определение кратности является довольно общим и содержит в качестве частных случаев большинство предыдущих понятий алгебраической кратности.

Порядок исчезновения нулей и полюсов [ править ]

Этот раздел и подразделы могут быть слишком техническими для понимания большинством читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технических деталей. ( Май 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Частным случаем этого общего определения кратности является порядок обращения в нуль ненулевой алгебраической функции на алгебраическом многообразии. Дано алгебраическое многообразие и подмногообразие из коразмерности 1 ^[3] порядок нуля для полинома определяется как ^[4]${\displaystyle f\in R(X)^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle f\in R(X)}$

${\displaystyle {\text{ord}}_{V}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{V,X}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{V,X}}{(f)}}\right)}$

где локальное кольцо определяется стеблом вдоль подмногообразия ^{[3] страниц 426-227} , или, что эквивалентно, Стебель из в общей точке ^{[5] стр 22} . Если является аффинным многообразием и определяется исчезающим множеством , то существует изоморфизм${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V(f)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,X}\cong R(X)_{(f)}}$

Затем эту идею можно распространить на рациональные функции на многообразии, где порядок определяется как${\displaystyle F=f/g}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{ord}}_{V}(F):={\text{ord}}_{V}(f)-{\text{ord}}_{V}(g)}$^[3]

что похоже на определение порядка нулей и полюсов в комплексном анализе .

Пример проективного многообразия [ править ]

Например, рассмотрим проективную поверхность, определяемую полиномом , тогда порядок обращения в нуль рациональной функции${\displaystyle Z(h)\subset \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle h\in k[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}$

${\displaystyle F={\frac {f}{g}}}$

дан кем-то

${\displaystyle {\text{ord}}_{Z(h)}(F)={\text{ord}}_{Z(h)}(f)-{\text{ord}}_{Z(h)}(g)}$

куда

${\displaystyle {\text{ord}}_{Z(h)}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(f)}}\right)}$

Например, если и а затем${\displaystyle h=x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{2}^{3}}$${\displaystyle f=x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle g=h^{2}(x_{0}+x_{1}-x_{3})}$

${\displaystyle {\text{ord}}_{Z(h)}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(x^{2}+y^{2})}}\right)=0}$

поскольку является единицей (теория колец) в локальном кольце . В другом случае - единица, поэтому фактор-модуль изоморфен${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}$${\displaystyle x_{0}+x_{1}-x_{3}}$

${\displaystyle {\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h^{2})}}}$

поэтому он имеет длину . Это можно найти, используя максимальную правильную последовательность${\displaystyle 2}$

${\displaystyle (0)\subset {\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h)}}\subset {\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h^{2})}}}$

Ноль и полюса аналитической функции [ править ]

Порядок обращения в нуль - это обобщение порядка нулей и полюсов для мероморфных функций в комплексном анализе . Например, функция

${\displaystyle {\frac {(z-1)^{3}(z-2)}{(z-1)(z-4i)}}}$

имеет нули порядка 2 и 1 при и полюс порядка при . Такую информацию можно закодировать, используя длину модулей. Например, установка и есть связанный с ним локальное кольцо является и фактор - модуль${\displaystyle 1,2\in \mathbb {C} }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 4i\in \mathbb {C} }$${\displaystyle R(X)=\mathbb {C} [z]}$${\displaystyle V=V(z-1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,X}}$${\displaystyle \mathbb {C} [z]_{(z-1)}}$

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-4i)(z-1)^{2})}}}$

Обратите внимание, что это единица, поэтому она изоморфна фактор-модулю${\displaystyle z-4i}$

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1)^{2})}}}$

Его длина равна, так как существует максимальная цепь${\displaystyle 2}$

${\displaystyle (0)\subset {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1))}}\subset {\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1)^{2})}}}}$

подмодулей. ^{[6] В} более общем смысле, используя теорему факторизации Вейерштрасса , мероморфная функция факторизует как

${\displaystyle F={\frac {f}{g}}}$

который является (возможно, бесконечным) произведением линейных многочленов как в числителе, так и в знаменателе.

См. Также [ править ]

• Ряд Гильберта – Пуанкаре
• Дивизор Вейля
• Кольцо для чау-чау
• Теория пересечения
• Теорема факторизации Вейерштрасса
• Гипотезы Серра о множественности
• Схема Гильберта - может использоваться для изучения модулей на схеме фиксированной длины.
• Теорема Крулля – Шмидта

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Стивен Х. Вайнтрауб, Теория представлений конечных групп AMS (2003) ISBN 0-8218-3222-0 , ISBN 978-0-8218-3222-6  
• Аллен Альтман, Стивен Клейман, термин коммутативной алгебры .
• Проект Stacks. Длина