Теория размерностей (алгебра)

В математике , теория размерности является исследование с точки зрения коммутативной алгебры понятия размерности алгебраического многообразия (и расширением, в виде схемы ). Необходимость теории для такого, казалось бы, простого понятия проистекает из существования многих определений размерности, которые эквивалентны только в наиболее регулярных случаях (см. Размерность алгебраического многообразия ). Большая часть теории размерности состоит в изучении условий, при которых несколько измерений равны, и многие важные классы коммутативных колец могут быть определены как кольца, в которых два измерения равны; например,регулярное кольцо - это коммутативное кольцо, гомологическая размерность которого равна размерности Крулля .

Теория проще для коммутативных колец , которые конечно порожденных алгебры над полем, которые также являются фактор- кольцом из колец многочленов в конечном числе неизвестных над полем. В этом случае, который является алгебраическим аналогом случая аффинных алгебраических множеств , большинство определений размерности эквивалентны. Для общих коммутативных колец отсутствие геометрической интерпретации является препятствием для развития теории; в частности, о нётеровых кольцах известно очень мало. ( Коммутативные кольца Капланского хорошо объясняют нётеров случай.)

На протяжении всей статьи, обозначает Крулль кольца и на высоту простого идеала (т.е. размерность Крулля локализации в этом простом идеале.) Кольца предполагаются коммутативными за исключением того, в последнем разделе по размерам некоммутативных колец .${\ displaystyle \ operatorname {dim}}$${\ displaystyle \ operatorname {ht}}$

Основные результаты [ править ]

Пусть R - нётерово кольцо или оценочное кольцо . потом

${\ displaystyle \ operatorname {dim} R [x] = \ operatorname {dim} R + 1.}$

Если R нетерово, это следует из основной теоремы ниже (в частности, теоремы Крулля о главном идеале ), но это также следствие более точного результата. Для любого простого идеала в R ,${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {ht} ({\ mathfrak {p}} R [x]) = \ operatorname {ht} ({\ mathfrak {p}})}$.

${\ displaystyle \ operatorname {ht} ({\ mathfrak {q}}) = \ operatorname {ht} ({\ mathfrak {p}}) + 1}$для любого основного идеала в этом контракте .${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} \ supsetneq {\ mathfrak {p}} R [x]}$${\ displaystyle R [x]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

Это можно показать в рамках основной теории колец (см. Капланский, коммутативные кольца). Кроме того, в каждом слое не может быть цепочки простых идеалов длины .${\ displaystyle \ operatorname {Spec} R [x] \ to \ operatorname {Spec} R}$${\ displaystyle \ geq 2}$

Так как артиновое кольцо (например, поле) имеет размерность нуля, по индукции один получает формулу: для артиновых колец R ,

${\ displaystyle \ operatorname {dim} R [x_ {1}, \ dots, x_ {n}] = n.}$

Местные кольца [ править ]

Основная теорема [ править ]

Пусть будет нётеровым локальным кольцом и I a - первичным идеалом (т. Е. Он находится между некоторой степенью и ). Пусть будет ряд Пуанкаре из ассоциированного градуированного кольца . Это,${\ displaystyle (R, {\ mathfrak {m}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ Displaystyle F (т)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {gr} _ {I} R = \ oplus _ {0} ^ {\ infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1}}$

${\displaystyle F(t)=\sum _{0}^{\infty }\ell (I^{n}/I^{n+1})t^{n}}$

где относится к длине модуля (над артиновым кольцом ). Если сгенерировать I , то их изображение будет иметь степень 1 и сгенерировать как -алгебру. По теореме Гильберта-Серра , F является рациональной функцией ровно с одним полюсом порядка . С${\displaystyle \ell }$${\displaystyle (\operatorname {gr} _{I}R)_{0}=R/I}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}$${\displaystyle I/I^{2}}$${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle t=1}$${\displaystyle d\leq s}$

${\displaystyle (1-t)^{-d}=\sum _{0}^{\infty }{\binom {d-1+j}{d-1}}t^{j}}$,

мы находим, что коэффициент при in имеет вид${\displaystyle t^{n}}$${\displaystyle F(t)=(1-t)^{d}F(t)(1-t)^{-d}}$

${\displaystyle \sum _{0}^{N}a_{k}{\binom {d-1+n-k}{d-1}}=(1-t)^{d}F(t)|_{t=1}{n^{d-1} \over {d-1}!}+O(n^{d-2}).}$

То есть, есть многочлен в п степени . P называется многочленом Гильберта от .${\displaystyle \ell (I^{n}/I^{n+1})}$${\displaystyle P}$${\displaystyle d-1}$${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}$

Ставим . Мы также установить как минимальное число элементов R , который может генерировать -примарную идеал R . Наша цель - доказать основную теорему :${\displaystyle d(R)=d}$${\displaystyle \delta (R)}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle \delta (R)=d(R)=\dim R}$.

Так как мы можем взять S быть , мы уже из сказанного выше. Теперь докажем индукцией по . Пусть будет цепь простых идеалов в R . Пусть и х ненулевой Неединичный элемент в D . Поскольку x не является делителем нуля, мы имеем точную последовательность${\displaystyle \delta (R)}$${\displaystyle \delta (R)\geq d(R)}$${\displaystyle d(R)\geq \operatorname {dim} R}$${\displaystyle d(R)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{m}}$${\displaystyle D=R/{\mathfrak {p}}_{0}}$

${\displaystyle 0\to D{\overset {x}{\to }}D\to D/xD\to 0}$.

Теперь это следует из степени полинома Гильберта-Самуэля . (Это по существу следует из леммы Артина-Риса ; см. Утверждение и доказательство в функции Гильберта-Самуэля .) В цепь становится цепью длины и, таким образом, по предположению индукции и снова по оценке степени,${\displaystyle d(D)>d(D/xD)\geq d(R/{\mathfrak {p}}_{1})}$${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle m-1}$

${\displaystyle m-1\leq \operatorname {dim} (R/{\mathfrak {p}}_{1})\leq d(R/{\mathfrak {p}}_{1})\leq d(D)-1\leq d(R)-1}$.

Утверждение следует. Теперь осталось показать. Более точно, мы покажем:${\displaystyle \operatorname {dim} R\geq \delta (R).}$

Лемма : максимальный идеал содержит элементы , d = размерность Крулля кольца R , такие, что для любого i любой содержащий простой идеал имеет высоту .${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{d}}$${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{i})}$${\displaystyle \geq i}$

(Примечание: тогда -первоначально.) Доказательство опускается. Это фигурирует, например, в Атье-Макдональде. Но он также может быть поставлен частным образом; идея состоит в том, чтобы использовать простое избегание .${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{d})}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Следствия основной теоремы [ править ]

Позвольте быть локальным нётеровым кольцом и поставить . потом${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$${\displaystyle k=R/{\mathfrak {m}}}$

• ${\displaystyle \operatorname {dim} R\leq \operatorname {dim} _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$, т.к. за основу подъемников к генераторной установке Накаяма. Если равенство выполняется, то R называется регулярным локальным кольцом .${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {dim} {\widehat {R}}=\operatorname {dim} R}$, поскольку .${\displaystyle \operatorname {gr} R=\operatorname {gr} {\widehat {R}}}$
• ( Теорема Крулля о главном идеале ) Высота идеала, порожденного элементами нётерова кольца, не превосходит s . С другой стороны , простой идеал высоты s является минимальным над идеалом , порожденным ы элементов. (Доказательство: Пусть - простой идеал, минимальный над таким идеалом. Тогда . Обратное было показано в ходе доказательства основной теоремы.)${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle s\geq \operatorname {dim} R_{\mathfrak {p}}=\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}}$

Доказательство: Пусть генерируют -первоначальный идеал и их изображения порождают -первичный идеал. Потом на какие-то с . Поднимая обе стороны к высшим силам, мы видим, что в них содержится некоторая сила ; т. е. последний идеал -первоначальный; Таким образом, . Равенство - это прямое применение свойства снижения.${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{A}}$${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{m}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}/{\mathfrak {m}}_{A}B}$${\displaystyle {{\mathfrak {m}}_{B}}^{s}\subset (y_{1},\dots ,y_{m})+{\mathfrak {m}}_{A}B}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}}$${\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{m},x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}}$${\displaystyle m+n\geq \dim B}$${\displaystyle \square }$

Доказательство: Если являются цепочкой простых идеалов в R , то являются цепочкой простых идеалов в, а не является максимальным идеалом. Таким образом, . Для обратного неравенства, пусть - максимальный идеал и . Ясно, что . Поскольку тогда является локализацией области главных идеалов и имеет размерность не более единицы, мы получаем по предыдущему неравенству. Поскольку произвольно, следует .${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}R[x]}$${\displaystyle R[x]}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{n}R[x]}$${\displaystyle \dim R+1\leq \dim R[x]}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle R[x]}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}=R\cap {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle R[x]_{\mathfrak {m}}=R_{\mathfrak {p}}[x]_{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle R[x]_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}R[x]_{\mathfrak {m}}=(R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}})[x]_{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle 1+\operatorname {dim} R\geq 1+\operatorname {dim} R_{\mathfrak {p}}\geq \operatorname {dim} R[x]_{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle 1+\operatorname {dim} R\geq \operatorname {dim} R[x]}$${\displaystyle \square }$

Формула высоты Нагаты [ править ]

Доказательство: ^[2] Сначала предположим, что это кольцо многочленов. Индукцией по количеству переменных достаточно рассмотреть случай . Поскольку R ' плоско над R ,${\displaystyle R'}$${\displaystyle R'=R[x]}$

${\displaystyle \dim R'_{\mathfrak {p'}}=\dim R_{\mathfrak {p}}+\dim \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}{R'}_{{\mathfrak {p}}'}}$.

По лемме Нётер о нормализации второй член в правой части равен:

${\displaystyle \dim \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}R'-\dim \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}R'/{\mathfrak {p}}'=1-\operatorname {tr.deg} _{\kappa ({\mathfrak {p}})}\kappa ({\mathfrak {p}}')=\operatorname {tr.deg} _{R}R'-\operatorname {tr.deg} \kappa ({\mathfrak {p}}').}$

Затем предположим, что создается единственный элемент; Таким образом, . Если I = 0, то все готово. Предположим, что нет. Тогда алгебраичен над R и т . Д. Так как R является подкольцом R ' , и так , так как алгебраический над . Пусть обозначим прообраз в о . Тогда, как и в полиномиальном случае,${\displaystyle R'}$${\displaystyle R'=R[x]/I}$${\displaystyle R'}$${\displaystyle \operatorname {tr.deg} _{R}R'=0}$${\displaystyle I\cap R=0}$${\displaystyle \operatorname {ht} I=\dim R[x]_{I}=\dim Q(R)[x]_{I}=1-\operatorname {tr.deg} _{Q(R)}\kappa (I)=1}$${\displaystyle \kappa (I)=Q(R')}$${\displaystyle Q(R)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{\prime c}}$${\displaystyle R[x]}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}'}$${\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}}^{\prime c})=\kappa ({\mathfrak {p}})}$

${\displaystyle \operatorname {ht} {{\mathfrak {p}}'}=\operatorname {ht} {{\mathfrak {p}}^{\prime c}/I}\leq \operatorname {ht} {{\mathfrak {p}}^{\prime c}}-\operatorname {ht} {I}=\dim R_{\mathfrak {p}}-\operatorname {tr.deg} _{\kappa ({\mathfrak {p}})}\kappa ({\mathfrak {p}}').}$

Здесь обратите внимание, что неравенство является равенством, если R ' цепной. Наконец, работая с цепочкой простых идеалов, нетрудно свести общий случай к рассмотренному выше.${\displaystyle \square }$

См. Также: Квази-несмешанное кольцо .

Гомологические методы [ править ]

Обычные кольца [ править ]

Пусть R - нётерово кольцо. Проективная размерностью конечного R - модуля M является кратчайшей длиной любого проективного разрешения M (возможно , бесконечного) и обозначается . Устанавливаем ; это называется глобальное измерение в R .${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M}$${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=\sup\{\operatorname {pd} _{R}M|{\text{M is a finite module}}\}}$

Предположим, что R локально с полем вычетов k .

Доказательство: Докажем: для любого конечного R - модуля M ,

${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M\leq n\Leftrightarrow \operatorname {Tor} _{n+1}^{R}(M,k)=0}$.

Путем сдвига размерности (см. Доказательство теоремы Серра ниже) достаточно доказать это для . Но тогда, по локальному критерию плоскостности , Теперь, ${\displaystyle n=0}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,k)=0\Rightarrow M{\text{ flat }}\Rightarrow M{\text{ free }}\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}(M)\leq 0.}$

${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R\leq n\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}k\leq n\Rightarrow \operatorname {Tor} _{n+1}^{R}(-,k)=0\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}-\leq n\Rightarrow \operatorname {gl.dim} R\leq n,}$

завершая доказательство. ${\displaystyle \square }$

Замечание : Доказательство также показывает , что если M не является бесплатным и является ядром некоторого сюръекции от свободного модуля к М .${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1}$${\displaystyle K}$

Доказательство: Если , то M является R -свободным и, следовательно , -свободным. Дальше предположим . Тогда имеем: как в примечании выше. Таким образом, по индукции достаточно рассмотреть случай . Тогда есть проективное разрешение:, которое дает: ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=0}$${\displaystyle M\otimes R_{1}}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M>0}$${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1}$${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=1}$${\displaystyle 0\to P_{1}\to P_{0}\to M\to 0}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{1})\to P_{1}\otimes R_{1}\to P_{0}\otimes R_{1}\to M\otimes R_{1}\to 0}$.

Но, следовательно, не больше 1.${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{1})={}_{f}M=\{m\in M|fm=0\}=0.}$${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}(M\otimes R_{1})}$${\displaystyle \square }$

Доказательство: ^[3] Если R регулярно, то можно написать , регулярную систему параметров. Точная последовательность конечных модулей, некоторая f в максимальном идеале , дает нам:${\displaystyle k=R/(f_{1},\dots ,f_{n})}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle 0\to M{\overset {f}{\to }}M\to M_{1}\to 0}$${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M<\infty }$

${\displaystyle 0=\operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M,k)\to \operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M_{1},k)\to \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k){\overset {f}{\to }}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k),\quad i\geq \operatorname {pd} _{R}M.}$

Но здесь f равно нулю, так как убивает k . Таким образом, и следовательно . Используя это, мы получаем:${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M_{1},k)\simeq \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k)}$${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M_{1}=1+\operatorname {pd} _{R}M}$

${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}k=1+\operatorname {pd} _{R}(R/(f_{1},\dots ,f_{n-1}))=\cdots =n.}$

Доказательство обратного проводится индукцией по . Начнем с индуктивного шага. Набор , среди системы параметров. Чтобы показать R регулярно, достаточно показать регулярность. Но, так как , по предположению индукции и предыдущей леммы с ,${\displaystyle \operatorname {dim} R}$${\displaystyle R_{1}=R/f_{1}R}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle \dim R_{1}<\dim R}$${\displaystyle M={\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R<\infty \Rightarrow \operatorname {gl.dim} R_{1}=\operatorname {pd} _{R_{1}}k\leq \operatorname {pd} _{R_{1}}{\mathfrak {m}}/f_{1}{\mathfrak {m}}<\infty \Rightarrow R_{1}{\text{ regular}}.}$

Остается основной шаг. Допустим . Мы утверждаем, если это конечно. (Это означало бы, что R - полупростое локальное кольцо , т. Е. Поле.) Если это не так, то существует некоторый конечный модуль с, и, таким образом, мы можем найти M с . По лемме Накаямы существует сюръекция из свободного модуля F в M , ядро ​​которого K содержится в . Так , максимальный идеал является ассоциированным простым из R ; т.е. для некоторого ненулевого S в R . Поскольку ,${\displaystyle \operatorname {dim} R=0}$${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle 0<\operatorname {pd} _{R}M<\infty }$${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=1}$${\displaystyle F\to M}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}F}$${\displaystyle \operatorname {dim} R=0}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\operatorname {ann} (s)}$${\displaystyle K\subset {\mathfrak {m}}F}$${\displaystyle sK=0}$. Поскольку K не равно нулю и является свободным, это означает , что абсурдно.${\displaystyle s=0}$${\displaystyle \square }$

Доказательство. Пусть R - регулярное локальное кольцо. Тогда , который является целиком замкнутой областью. Это стандартное упражнение по алгебре, чтобы показать, что из этого следует, что R является целозамкнутой областью. Теперь нам нужно показать, что каждый дивизориальный идеал является главным; т. е. группа классов дивизоров кольца R обращается в нуль. Но, согласно Бурбаки, коммутативному альгебру, глава 7, §. 4. Следствие 2 предложения 16, дивизориальный идеал является главным, если он допускает конечную свободную резольвенту, что действительно так по теореме.${\displaystyle \operatorname {gr} R\simeq k[x_{1},\dots ,x_{d}]}$${\displaystyle \square }$

Глубина [ править ]

Пусть R - кольцо, а M - модуль над ним. Последовательность элементов в называется М - регулярная последовательность , если это не является делителем нуля на и не делитель нуля на для каждого . Априори не очевидно, является ли какая-либо перестановка регулярной последовательности регулярной (см. Раздел ниже для получения положительного ответа).${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle M/(x_{1},\dots ,x_{i-1})M}$${\displaystyle i=2,\dots ,n}$

Пусть R - локальное нётерово кольцо с максимальным идеалом, и положим . Тогда по определению глубиной конечного R -модуля M является верхняя грань длин всех M -регулярных последовательностей в . Например, у нас состоит из делителей нуля на М связано с М . По индукции находим${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle k=R/{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle \operatorname {depth} M=0\Leftrightarrow {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle \operatorname {depth} M\leq \dim R/{\mathfrak {p}}}$

для любых связанных простых чисел из М . В частности, . Если равенство выполняется для M = R , то R называется кольцом Коэна – Маколея .${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \operatorname {depth} M\leq \operatorname {dim} M}$

Пример : регулярное нетерово локальное кольцо - это Коэна – Маколея (поскольку регулярная система параметров является R -регулярной последовательностью).

В общем случае нётерово кольцо называется кольцом Коэна – Маколея, если локализации на всех максимальных идеалах являются Коэна – Маколея. Отметим, что кольцо Коэна – Маколея является универсальным цепным. Это означает, например, что кольцо многочленов является универсально цепным, поскольку оно регулярно и, следовательно, Коэна – Маколея.${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{d}]}$

Доказательство: Сначала мы докажем индукцией по п следующего утверждения: для любого R - модуля M и каждый M -регулярной последовательности в ,${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

(*) ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(N,M/(x_{1},\dots ,x_{n})M).}$

Основной шаг n = 0 тривиален. Далее, по индуктивному предположению . Но последний равен нулю, так как аннулятор N содержит некоторую степень . Таким образом, из точной последовательности и того факта, что убивает N , снова используя индуктивную гипотезу, мы получаем${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n-1}(N,M)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(N,M/(x_{1},\dots ,x_{n-1})M)}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle 0\to M{\overset {x_{1}}{\to }}M\to M_{1}\to 0}$${\displaystyle x_{1}}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)\simeq \operatorname {Ext} _{R}^{n-1}(N,M/x_{1}M)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(N,M/(x_{1},\dots ,x_{n})M)}$,

доказательство (*). Теперь, если , то мы можем найти M -регулярную последовательность длины больше n, и поэтому по (*) мы видим . Осталось показать, если . Согласно (*) мы можем считать, что n = 0. Тогда ассоциируется с M ; Таким образом , в поддержке М . С другой стороны, из линейной алгебры следует, что существует ненулевой гомоморфизм из N в M по модулю ; следовательно, один от N до M по лемме Накаямы.${\displaystyle n<\operatorname {depth} M}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)=0}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)\neq 0}$${\displaystyle n=\operatorname {depth} M}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}\in \operatorname {Supp} (N).}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle \square }$

Формула Ослендера – Буксбаума связывает глубину и проективную размерность.

Доказательство. Мы рассуждаем индукцией по , основной случай (т. Е. M свободный) тривиален. По лемме Накаямы у нас есть точная последовательность, в которой F свободен, а образ f содержится в . Поскольку то, что нам нужно показать, есть . Поскольку f убивает k , точная последовательность дает: для любого i ,${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M}$${\displaystyle 0\to K{\overset {f}{\to }}F\to M\to 0}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}F}$${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1,}$${\displaystyle \operatorname {depth} K=\operatorname {depth} M+1}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,F)\to \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)\to \operatorname {Ext} _{R}^{i+1}(k,K)\to 0.}$

Обратите внимание, что крайний левый член равен нулю, если . Если , то, поскольку по индуктивному предположению мы видим, что если , то и оно должно быть${\displaystyle i<\operatorname {depth} R}$${\displaystyle i<\operatorname {depth} K-1}$${\displaystyle \operatorname {depth} K\leq \operatorname {depth} R}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)=0.}$${\displaystyle i=\operatorname {depth} K-1}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i+1}(k,K)\neq 0}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)\neq 0.}$ ${\displaystyle \square }$

В качестве обозначений для любого R -модуля M положим

${\displaystyle \Gamma _{\mathfrak {m}}(M)=\{s\in M|\operatorname {supp} (s)\subset \{{\mathfrak {m}}\}\}=\{s\in M|{\mathfrak {m}}^{j}s=0{\text{ for some }}j\}.}$

Видно , без труда , что является левым точным функтором , а затем пусть будет его J -х правый производный функтора , называется локальные когомологиями из R . Поскольку посредством абстрактной чепухи${\displaystyle \Gamma _{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{j}=R^{j}\Gamma _{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle \Gamma _{\mathfrak {m}}(M)=\varinjlim \operatorname {Hom} _{R}(R/{\mathfrak {m}}^{j},M)}$

${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{i}(M)=\varinjlim \operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/{\mathfrak {m}}^{j},M)}$.

Это наблюдение доказывает первую часть следующей теоремы.

Доказательство: 1. уже отмечено (за исключением того, что показано ненулевое значение на степени, равной глубине M ; используйте индукцию, чтобы убедиться в этом) и 3. является общим фактом посредством абстрактной чепухи. 2. является следствием явного вычисления локальных когомологий с помощью комплексов Кошуля (см. Ниже).${\displaystyle \square }$

Кошульский комплекс [ править ]

Пусть R - кольцо, а x - его элемент. Мы формируем цепной комплекс K ( x ), заданный формулой для i = 0, 1 и для любого другого i с дифференциалом${\displaystyle K(x)_{i}=R}$${\displaystyle K(x)_{i}=0}$

${\displaystyle d:K_{1}(R)\to K_{0}(R),\,r\mapsto xr.}$

Тогда для любого R -модуля M мы получим комплекс с дифференциалом и пусть - его гомологии. Примечание:${\displaystyle K(x,M)=K(x)\otimes _{R}M}$${\displaystyle d\otimes 1}$${\displaystyle \operatorname {H} _{*}(x,M)=\operatorname {H} _{*}(K(x,M))}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{0}(x,M)=M/xM}$,

${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(x,M)={}_{x}M=\{m\in M|xm=0\}}$.

В более общем смысле, учитывая конечную последовательность элементов в кольце R , мы формируем тензорное произведение комплексов :${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$

${\displaystyle K(x_{1},\dots ,x_{n})=K(x_{1})\otimes \dots \otimes K(x_{n})}$

и пусть его гомологии. Как прежде,${\displaystyle \operatorname {H} _{*}(x_{1},\dots ,x_{n},M)=\operatorname {H} _{*}(K(x_{1},\dots ,x_{n},M))}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{0}({\underline {x}},M)=M/(x_{1},\dots ,x_{n})M}$,

${\displaystyle \operatorname {H} _{n}({\underline {x}},M)=\operatorname {Ann} _{M}((x_{1},\dots ,x_{n}))}$.

Теперь у нас есть гомологическая характеристика регулярной последовательности.

Комплекс Кошуля - мощный вычислительный инструмент. Например, из теоремы и следствия

${\displaystyle \operatorname {H} _{\mathfrak {m}}^{i}(M)\simeq \varinjlim \operatorname {H} ^{i}(K(x_{1}^{j},\dots ,x_{n}^{j};M))}$

(Здесь используется самодуальность комплекса Кошуля; см. Предложение 17.15 Эйзенбуда « Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии» .)

Другой пример был бы

Замечание : теорему можно использовать для второго быстрого доказательства теоремы Серра о том, что R является регулярным тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную размерность. Действительно, по приведенной теореме, а значит . С другой стороны, как дает формула Ослендера – Буксбаума . Следовательно, .${\displaystyle \operatorname {Tor} _{s}^{R}(k,k)\neq 0}$${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R\geq s}$${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=\operatorname {pd} _{R}k}$${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=\dim R}$${\displaystyle \dim R\leq s\leq \operatorname {gl.dim} R=\dim R}$

Далее мы используем гомологии Кошуля для определения и изучения полных колец пересечений . Пусть R - нётерово локальное кольцо. По определению, первое отклонение от R представляет размерность векторного пространства

${\displaystyle \epsilon _{1}(R)=\dim _{k}\operatorname {H} _{1}({\underline {x}})}$

где - система параметров. По определению R - полное кольцо пересечений, если - размерность касательного пространства. (См. Геометрическое значение в Хартсхорне.)${\displaystyle {\underline {x}}=(x_{1},\dots ,x_{d})}$${\displaystyle \dim R+\epsilon _{1}(R)}$

Инъективный размер и размеры Tor [ править ]

Пусть R - кольцо. Инъективная размерность из R - модуля M обозначается определяются так же , как проективная размерность: это минимальная длина инъективного разрешения M . Позвольте быть категорией R -модулей.${\displaystyle \operatorname {id} _{R}M}$${\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}}$

Доказательство: Предположим . Пусть M - R -модуль и рассмотрим резольвенту${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R\leq n}$

${\displaystyle 0\to M\to I_{0}{\overset {\phi _{0}}{\to }}I_{1}\to \dots \to I_{n-1}{\overset {\phi _{n-1}}{\to }}N\to 0}$

где инъективные модули. Для любого идеала я ,${\displaystyle I_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{1}(R/I,N)\simeq \operatorname {Ext} _{R}^{2}(R/I,\operatorname {ker} (\phi _{n-1}))\simeq \dots \simeq \operatorname {Ext} _{R}^{n+1}(R/I,M),}$

который равен нулю, поскольку вычисляется через проективное разрешение . Таким образом, по критерию Бэра , N инъективен. Делаем вывод . По сути, перевернув стрелки, можно доказать подтекст и другим способом.${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n+1}(R/I,-)}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle \sup\{\operatorname {id} _{R}M|M\}\leq n}$${\displaystyle \square }$

Теорема предлагает рассмотреть некий двойник глобальной размерности:

${\displaystyle \operatorname {w.gl.dim} =\inf\{n|\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,N)=0,\,i>n,M,N\in \operatorname {Mod} _{R}\}}$.

Первоначально он был назван слабым глобальным масштабом R , но сегодня его чаще называют измерение Tor из R .

Замечание: для любого кольца R , .${\displaystyle \operatorname {w.gl.dim} R\leq \operatorname {gl.dim} R}$

Теория множественности [ править ]

Размерности некоммутативных колец [ править ]

Пусть A - градуированная алгебра над полем k . Если V - конечномерное порождающее подпространство в A , то положим, а затем положим${\displaystyle f(n)=\dim _{k}V^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {gk} (A)=\limsup _{n\to \infty }{\log f(n) \over \log n}}$.

Это называется размерность Гельфанда-Кириллова из A . Легко показать , не зависит от выбора V .${\displaystyle \operatorname {gk} (A)}$

Пример : Если конечномерен, то дк ( ) = 0. Если аффинное кольцо, то дк ( ) = Крулл размерность А .

Смотрите также: Goldie измерение , Круль-Габриэль измерение .

См. Также [ править ]

• Басовый номер
• Идеальный комплекс
• амплитуда

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Брунс, Винфрид; Герцог, Юрген (1993), кольца Коэна-Маколея , Кембриджские исследования в области высшей математики, 39 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-41068-7, Руководство по ремонту  1251956
• Часть II Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра. С точки зрения алгебраической геометрии , Graduate Texts in Mathematics, 150 , New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94268-8, MR  1322960.
• Глава 10 Атии, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8.
• Каплански, Ирвинг , Коммутативные кольца , Аллин и Бэкон, 1970.
• Х. Мацумура Коммутативная теория колец. Перевод с японского М. Рейда. Второе издание. Кембриджские исследования по высшей математике, 8.
• Серр, Жан-Пьер (1975), регион Альжебра. Multiplicités , Cours au Collège de France, 1957–1958, rédigé par Pierre Gabriel. Troisième édition, 1975. Конспект лекций по математике (на французском языке), 11 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Вейбель, Чарльз А. (1995). Введение в гомологическую алгебру . Издательство Кембриджского университета.