Связанное градуированное кольцо

В математике , то ассоциированное градуированное кольцо из кольца R относительно правильного идеала I является градуированным кольцом :

${\ displaystyle \ operatorname {gr} _ {I} R = \ oplus _ {n = 0} ^ {\ infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1}}$.

Аналогично, если M - левый R -модуль, то соответствующий градуированный модуль является градуированным модулем над :${\ displaystyle \ operatorname {gr} _ {I} R}$

${\ displaystyle \ operatorname {gr} _ {I} M = \ oplus _ {0} ^ {\ infty} I ^ {n} M / I ^ {n + 1} M}$.

Основные определения и свойства [ править ]

Для кольца R и идеального I , умножение в определяется следующим образом : Во- первых, рассмотрим однородные элементы и и предположим , является представителем и является представителем б . Затем определите как класс эквивалентности in . Обратите внимание, что это хорошо определено по модулю . Умножение неоднородных элементов определяется с помощью свойства распределенности.${\ displaystyle \ operatorname {gr} _ {I} R}$ ${\ Displaystyle а \ ин я ^ {я} / я ^ {я + 1}}$${\ displaystyle b \ in I ^ {j} / I ^ {j + 1}}$${\ displaystyle a '\ in I ^ {i}}$${\ displaystyle b '\ in I ^ {j}}$${\ displaystyle ab}$${\ displaystyle a'b '}$${\ Displaystyle I ^ {я + j} / I ^ {я + j + 1}}$${\ displaystyle I ^ {я + j + 1}}$

Кольцо или модуль могут быть связаны с его связанным градуированным кольцом или модулем через карту начальной формы . Пусть M быть R - модуль и I идеал R . Принимая во внимание , то исходная форма из F в , написанной , является класс эквивалентности F , в котором т максимальное целое число , такое , что . Если на каждые m , то ставим . Карта исходной формы - это всего лишь карта множеств, а не гомоморфизм . Для субмодуля , определяется как подмодуль${\ displaystyle f \ in M}$${\ displaystyle \ operatorname {gr} _ {I} M}$${\ Displaystyle \ mathrm {in} (е)}$${\displaystyle I^{m}M/I^{m+1}M}$${\displaystyle f\in I^{m}M}$${\displaystyle f\in I^{m}M}$${\displaystyle \mathrm {in} (f)=0}$ ${\displaystyle N\subset M}$${\displaystyle \mathrm {in} (N)}$${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}M}$создано . Это не может быть такой же , как подмодуль , порожденный только начальными формами образующих N .${\displaystyle \{\mathrm {in} (f)|f\in N\}}$${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}M}$

Кольцо наследует некоторые «хорошие» свойства от связанного с ним градуированного кольца. Например, если R - нетерово локальное кольцо и является областью целостности , то R само является областью целостности. ^[1]${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}$

gr модуля частных [ править ]

Пусть оставить модули над кольцом R и I идеал R . С${\displaystyle N\subset M}$

${\displaystyle {I^{n}(M/N) \over I^{n+1}(M/N)}\simeq {I^{n}M+N \over I^{n+1}M+N}\simeq {I^{n}M \over I^{n}M\cap (I^{n+1}M+N)}={I^{n}M \over I^{n}M\cap N+I^{n+1}M}}$

(последнее равенство по модульному закону ), существует каноническая идентификация: ^[2]

${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(M/N)=\operatorname {gr} _{I}M/\operatorname {in} (N)}$

куда

${\displaystyle \operatorname {in} (N)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }{I^{n}M\cap N+I^{n+1}M \over I^{n+1}M},}$

называется подмодулем, порожденным начальными формами элементов .${\displaystyle N}$

Примеры [ править ]

Пусть U - универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли над полем k ; фильтруется по степени. Из теоремы Пуанкаре – Биркгофа – Витта следует, что это кольцо многочленов; по сути, это координатное кольцо .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {gr} U}$ ${\displaystyle k[{\mathfrak {g}}^{*}]}$

Ассоциированная градуированная алгебра алгебры Клиффорда является внешней алгеброй; т.е. алгебра Клиффорда вырождается во внешнюю алгебру .

Обобщение на мультипликативные фильтрации [ править ]

Ассоциированное градуированное также может быть определена в более общем случае для мультипликативных нисходящих фильтраций из R (смотри также фильтрованное кольцо .) Пусть F быть убывающая цепочка идеалов вида

${\displaystyle R=I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \dotsb }$

такой что . Градуированное кольцо, связанное с этой фильтрацией, есть . Умножение и начальная форма карты определены, как указано выше.${\displaystyle I_{j}I_{k}\subset I_{j+k}}$${\displaystyle \operatorname {gr} _{F}R=\oplus _{n=0}^{\infty }I_{n}/I_{n+1}}$

См. Также [ править ]

• Оценка (математика)
• Алгебра Риса

Ссылки [ править ]

• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра . Тексты для выпускников по математике. 150 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 . ISBN 0-387-94268-8. Руководство по ремонту  1322960 .
• Мацумура, Хидеюки (1989). Коммутативная теория колец . Кембриджские исследования в области высшей математики. 8 . Перевод с японского М. Рейда (Второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-36764-6. Руководство по ремонту  1011461 .
• Зариски, Оскар ; Самуэль, Пьер (1975), Коммутативная алгебра. Vol. II , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90171-8, MR  0389876