Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлен из модульного закона )
Перейти к навигации Перейти к поиску
Не путать с унимодульной решеткой .
Модульная решетка размерности порядка 2. Как и все конечные двумерные решетки, ее диаграмма Хассе является st -планарным графом .

В разделе математики, называемом теорией порядка , модульная решетка - это решетка , удовлетворяющая следующему самодуальному условию:

Модульное право
a ≤ b влечет a ∨ ( x ∧ b ) = ( a ∨ x ) ∧ b для любого x ,

где ≤ - частичный порядок , а ∨ и ∧ (называемые соединением и встречей соответственно) - операции решетки. Эта формулировка подчеркивает интерпретацию в терминах проекции на подрешетку [ a , b ] , факт, известный как теорема об изоморфизме алмаза . [1] Альтернативная формулировка, меняющая ролями x и a , вместо этого подчеркивает, что модульные решетки образуют разнообразие в смысле универсальной алгебры .

Модульные решетки естественным образом возникают в алгебре и во многих других областях математики. В этих сценариях модульность является абстракцией 2- й теоремы об изоморфизме . Например, подпространства векторного пространства (и, в более общем смысле, подмодули модуля над кольцом ) образуют модульную решетку.

В не обязательно модульной решетке все еще могут быть элементы b, для которых выполняется модульный закон в связи с произвольными элементами x и a (для a ≤ b ). Такой элемент называется модульным . В более общем смысле модульный закон может выполняться для любого a и фиксированной пары ( x , b ) . Такая пара называется модульной парой , и существуют различные обобщения модулярности, связанные с этим понятием и с полумодулярностью .

Модульные решетки иногда называют решетками Дедекинда в честь Ричарда Дедекинда , который обнаружил модульную идентичность в нескольких интересных примерах .

Введение [ править ]

Модульный закон можно рассматривать как ограниченный ассоциативный закон, который связывает две операции решетки аналогично тому, как ассоциативный закон λ (μ x ) = (λμ) x для векторных пространств связывает умножение в поле и скалярное умножение.

Ограничение a ≤ b , очевидно, необходимо, поскольку оно следует из a ∨ ( x ∧ b ) = ( a ∨ x ) ∧ b . Другими словами, никакая решетка с более чем одним элементом не удовлетворяет неограниченному следствию модульного закона.

Меняя ролями a и x , легко видеть, что x ≤ b влечет x ∨ ( a ∧ b ) ≤ ( x ∨ a ) ∧ b в любой решетке. Следовательно, модульный закон можно также записать как

Модульный закон (вариант)
x ≤ b влечет x ∨ ( a ∧ b ) ≥ ( x ∨ a ) ∧ b .

Заменив x на x ∧ b , модульный закон можно выразить как уравнение, которое должно выполняться безоговорочно, следующим образом:

Модульная идентичность
( х ∧ б ) ∨ ( а ∧ б ) = [( х ∧ б ) ∨ а ] ∧ б .

Это показывает, что, используя терминологию универсальной алгебры , модулярные решетки образуют подмногообразие многообразия решеток. Следовательно, все гомоморфные образы, подрешетки и прямые произведения модулярных решеток снова модулярны.

Примеры [ править ]

N 5 , наименьшая немодульная решетка: x ∨ ( a ∧ b ) = x ∨0 = x ≠ b = 1∧ b = ( x ∨ a ) ∧ b .

Решетка подмодулей модуля над кольцом модулярна. Как частный случай, решетка подгрупп абелевой группы модулярна.

Решетка нормальных подгрупп в виде группы имеет модульную конструкцию. Но в общем случае решетка всех подгрупп группы не модулярна. Например, решетка подгрупп группы диэдра порядка 8 не является модулярной.

Наименьшей немодульной решеткой является решетка "пятиугольника" N 5, состоящая из пяти элементов 0, 1, x , a , b таких, что 0 < x < b <1, 0 < a <1, и a не сравнимо с x или к б . Для этой решетки

x ∨ ( a ∧ b ) = x ∨ 0 = x < b = 1 ∧ b = ( x ∨ a ) ∧ b

выполняется, что противоречит модульному закону. Каждая немодулярная решетка содержит копию N 5 в качестве подрешетки. [2]

Свойства [ править ]

Каждая дистрибутивная решетка является модульной. [3]

Дилворт (1954) доказал, что в любой конечной модулярной решетке количество неразложимых по соединению элементов равно количеству встречно-неприводимых элементов. В более общем смысле, для каждого k количество элементов решетки, которые покрывают ровно k других элементов, равно количеству, покрытому ровно k другими элементами. [4]

Полезное свойство, показывающее, что решетка не является модульной, заключается в следующем:

Решетка G имеет модульную конструкцию , если и только если для любого с , Ь , с ∈ G ,

Схема доказательства: пусть группа G модульна, и пусть выполняется посылка импликации. Затем, используя поглощение и модульную идентичность:

c = ( c ∧ b ) ∨ c = ( a ∧ b ) ∨ c = a ∧ ( b ∨ c ) = a ∧ ( b ∨ a ) = a

С другой стороны, пусть импликация теоремы верна в G. Пусть a , b , c - любые элементы в G такие, что c ≤ a . Пусть x = ( a ∧ b ) ∨ c , y = a ∧ ( b ∨ c ). Из модульного неравенства сразу следует, что x ≤ y . Если мы покажем, что x ∧ b = y ∧ b , x ∨ b = y ∨ b, то должно выполняться предположение, что x = y . Остальное доказательство - это рутинные манипуляции с инфимой, супремой и неравенством. [ необходима цитата ]

Теорема об изоморфизме алмаза [ править ]

Для любых двух элементов a , b модульной решетки можно рассматривать интервалы [ a ∧ b , b ] и [ a , a ∨ b ]. Их связывают сохраняющие порядок карты.

φ: [ a ∧ b , b ] → [ a , a ∨ b ] и
ψ: [ a , a ∨ b ] → [ a ∧ b , b ]

которые определяются формулами φ ( x ) = x ∨ a и ψ ( y ) = y ∧ b .

  • В модулярной решетке отображения φ и ψ, указанные стрелками, являются взаимно обратными изоморфизмами.

  • Несостоятельность теоремы об изоморфизме алмаза в немодулярной решетке.

Композиция ψφ является сохраняющим порядок отображением интервала [ a ∧ b , b ] в себя, которое также удовлетворяет неравенству ψ (φ ( x )) = ( x ∨ a ) ∧ b ≥ x . Пример показывает, что в общем случае это неравенство может быть строгим. Однако в модульной решетке равенство выполняется. Поскольку двойственное к модулярной решетке снова модулярно, φψ также является единицей на [ a , a ∨ b ], и поэтому два отображения φ и ψ являются изоморфизмами между этими двумя интервалами. Этот результат иногда называют теоремой об изоморфизме алмаза.для модульных решеток. Решетка модулярна тогда и только тогда, когда теорема об изоморфизме алмаза верна для любой пары элементов.

Теорема об изоморфизме алмаза для модульных решеток аналогична второй теореме об изоморфизме в алгебре и является обобщением теоремы о решетке .

Модульные пары и связанные понятия [ править ]

Центрированная шестиугольная решетка S 7 , также известная как D 2 , является M-симметричной, но не модульной.

В любой решетке модулярная пара - это пара ( a, b ) элементов, такая что для всех x, удовлетворяющих a  ∧  b ≤ x  ≤  b , мы имеем ( x  ∨  a ) ∧  b  =  x , т.е. если одна половина ромба для пары верна теорема об изоморфизме. [5] Элемент b решетки называется (правым) модульным элементом, если ( a, b ) является модульной парой для всех элементов a .

Решетка со свойством, что если ( a, b ) является модулярной парой, то ( b, a ) также является модульной парой, называется M-симметричной решеткой . [6] Поскольку решетка является модульной тогда и только тогда, когда все пары элементов модулярны, очевидно, что каждая модульная решетка является M-симметричной. В решетке N 5, описанной выше, пара ( b, a ) является модульной, а пара ( a, b ) - нет. Следовательно, N 5 не является M-симметричным. Центрированная шестиугольная решетка S 7 является M-симметричной, но не модульной. Поскольку N 5 является подрешеткой в S 7, то M-симметрические решетки не образуют подмногообразия в многообразии решеток.

М-симметрия не является самодвойственным понятием. Двойная модульная пара представляет собой пару , которая является модульной в двойной решетке, а решетка называется дуально М-симметричной или М * -симметричными , если его двойные М-симметричные. Можно показать, что конечная решетка модулярна тогда и только тогда, когда она M-симметрична и M * -симметрична. Такая же эквивалентность имеет место для бесконечных решеток, которые удовлетворяют условию возрастающей цепи (или условию убывающей цепи).

Также тесно связаны несколько менее важных понятий. Решетка является кросс-симметричной, если для каждой модульной пары ( a, b ) пара ( b, a ) двойственно модулярна. Кросс-симметрия подразумевает M-симметрию, но не M * -симметрию. Следовательно, кросс-симметрия не эквивалентна дуальной кросс-симметрии. Решетка с наименьшим элементом 0 является ⊥-симметричным , если для каждой модульной пары ( а, б ) , удовлетворяющей а  ∧  б  = 0 пары ( Ь, а ) также модульные.

История [ править ]

Свободная модульная решетка, порожденная тремя элементами {x, y, z}

Определение модульности принадлежит Ричарду Дедекинду , опубликовавшему большинство соответствующих статей после выхода на пенсию. В статье , опубликованной в 1894 г. [ править ] он изучал решетки, которые он назвал двойные группы ( немецкие : Dualgruppen ) как часть его «алгебры модулей » и отметил , что идеалы удовлетворяют то , что мы теперь называем модульный закон. Он также заметил, что для решеток вообще модулярный закон эквивалентен двойственному ему.

В другой статье 1897 года Дедекинд изучал решетку дивизоров с НОД и ЛКМ в качестве операций, так что порядок решетки задается делимостью. [7] В отступлении он ввел и изучил решетки формально в общем контексте. [7] : 10–18 Он заметил, что решетка подмодулей модуля удовлетворяет модулярному тождеству. Такие решетки он назвал дуальными группами модульного типа ( Dualgruppen vom Modultypus ). Он также доказал, что модулярное тождество и двойственное к нему эквивалентны. [7] : 13

В той же статье Дедекинд также исследовал следующую более сильную форму [7] : 14 модулярного тождества, которая также является самодуальной: [7] : 9

( x ∧ b ) ∨ ( a ∧ b ) = [ x ∨ a ] ∧ b .

Он назвал решетки, удовлетворяющие этому тождеству, двойственными группами идеального типа ( Dualgruppen vom Idealtypus ). [7] : 13 В современной литературе их чаще называют распределительными решетками . Он привел примеры немодулярной решетки и неидеальной модульной решетки. [7] : 14

В статье, опубликованной Дедекиндом в 1900 году, решетки были центральной темой: он описал свободную модульную решетку, порожденную тремя элементами, решетку из 28 элементов (см. Рисунок). [8]

См. Также [ править ]

  • Модульный граф , класс графов, который включает диаграммы Хассе модульных решеток
  • Решетка Юнга – Фибоначчи , бесконечная модульная решетка, определенная на цепочках из цифр 1 и 2
  • Ортомодулярная решетка
  • Группа Ивасава

Заметки [ править ]

  1. ^ "Почему модульные решетки важны?" . Обмен математическими стеками . Проверено 17 сентября 2018 .
  2. Перейти ↑ Blyth, TS (2005). «Модульные решетки» . Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Universitext. Лондон: Спрингер. Теорема 4.4. DOI : 10.1007 / 1-84628-127-X_4 . ISBN 978-1-85233-905-0.
  3. Перейти ↑ Blyth, TS (2005). «Модульные решетки» . Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Universitext. Лондон: Спрингер. п. 65. DOI : 10.1007 / 1-84628-127-X_4 . ISBN 978-1-85233-905-0.
  4. ^ Dilworth, RP (1954), "Доказательство гипотезы о конечных модульных решетках", Анналы математики , второй серия, 60 (2): 359-364, DOI : 10,2307 / 1969639 , JSTOR 1969639 , MR 0063348  . Перепечатано в Bogart, Kenneth P .; Фриз, Ральф; Кунг, Джозеф П.С., ред. (1990), «Доказательство гипотезы о конечных модулярных решетках», Теоремы Дилворта: избранные статьи Роберта П. Дилворта , Contemporary Mathematicians, Boston: Birkhäuser, стр. 219–224, doi : 10.1007 / 978-1-4899- 3558-8_21 , ISBN 978-1-4899-3560-1
  5. ^ Французский термин для модульной пары пара modulaire . Пара ( a, b ) называется парным модулятором во французском языке, если и ( a, b ), и ( b, a ) являются модульными парами.
  6. ^ Некоторые авторы, например Фофанова (2001), называют такие решетки полумодулярными . Поскольку любая M-симметричная решетка полумодулярна и обратное верно для решеток конечной длины, это может привести только к путанице для бесконечных решеток.
  7. ^ a b c d e f g Дедекинд, Ричард (1897), «Убер Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Theiler» (PDF) , Festschrift der Herzogl. Technischen Hochschule Carolo-Wilhelmina bei Gelegenheit der 69. Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte в Брауншвейге , Friedrich Vieweg und Sohn
  8. ^ Дедекиндово, Ричард (1900), "Убер умереть фон драй Moduln erzeugte Dualgruppe" , Mathematische Annalen , 53 (3): 371-403, DOI : 10.1007 / BF01448979

Ссылки [ править ]

  • Корри, Лео (2003-11-27), Современная алгебра и рост математических структур (2-е изд.), Стр. 121–129, ISBN 978-3-7643-7002-2
  • Фофанова, Т. С. (2001) [1994], "Полумодульная решетка" , Энциклопедия математики , EMS Press
  • Маэда, Сёитиро (1965), «О симметрии модулярного отношения в атомных решетках» , Научный журнал Хиросимского университета , 29 : 165–170.
  • Рота, Джан-Карло (1997), "Многие жизни теории решетки" (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 44 (11): 1440–1445, ISSN  0002-9920
  • Скорняков, Л. А. (2001) [1994], "Модульная решетка" , Энциклопедия математики , EMS Press
  • Стерн, Манфред (1999), Полумодульные решетки , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-46105-4

Внешние ссылки [ править ]

  • «Модульная решетка» . PlanetMath .
  • Последовательность OEIS A006981 (количество немаркированных модульных решеток с n элементами)