В математике , особенно в абстрактной алгебре , теоремы об изоморфизме (также известные как теоремы Нётер об изоморфизме ) представляют собой теоремы, которые описывают отношения между частными , гомоморфизмами и подобъектами . Существуют версии теорем для групп , колец , векторных пространств , модулей , алгебр Ли и различных других алгебраических структур . В универсальной алгебре теоремы об изоморфизме могут быть обобщены на контекст алгебр исравнения .
История [ править ]
Теоремы об изоморфизмах были сформулированы в некоторой общности для гомоморфизмов модулей Эмми Нётер в ее статье Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern , которая была опубликована в 1927 году в Mathematische Annalen . Менее общие версии этих теорем можно найти в работе Ричарда Дедекинда и предыдущих статьях Нётер.
Три года спустя, Б. Л. ван дер Вардена опубликовал свою влиятельную алгебру, первый абстрактную алгебру учебник , который устранял группу - кольца - поля подхода к предмету. Ван дер Варден использовал лекции Нётер по теории групп и Эмиля Артина по алгебре, а также семинар по идеалам, проведенный Артином, Вильгельмом Блашке , Отто Шрайером и самим ван дер Варденом по идеалам в качестве основных источников. Три теоремы об изоморфизме, называемые теоремой о гомоморфизме , и два закона изоморфизма при применении к группам отображаются явно.
Группы [ править ]
Сначала приведем теоремы об изоморфизме групп .
Примечание к номерам и именам [ править ]
Ниже мы представляем четыре теоремы, обозначенные A, B, C и D. Они часто нумеруются как «Первая теорема об изоморфизме», «Вторая ...» и так далее; однако единого мнения о нумерации нет. Здесь мы приводим некоторые примеры теорем об изоморфизме групп (обратите внимание, что эти теоремы имеют аналоги для колец и модулей.) В литературе:
Автор | Теорема А | Теорема B | Теорема C | |
---|---|---|---|---|
Никакой "третьей" теоремы | Якобсон [1] | Основная теорема гомоморфизмов | (вторая теорема об изоморфизме) | « часто называют первой теоремой об изоморфизме » |
ван дер Варден, [2] Дурбин [4] | Основная теорема гомоморфизмов | первая теорема об изоморфизме | вторая теорема об изоморфизме | |
Кнапп [5] | (без имени) | Вторая теорема об изоморфизме | Первая теорема об изоморфизме | |
Решетка [6] | Теорема о гомоморфизме | Вторая теорема об изоморфизме | Первая теорема об изоморфизме | |
Три пронумерованные теоремы | (Другое соглашение, упомянутое в Grillet) | Первая теорема об изоморфизме | Третья теорема об изоморфизме | Вторая теорема об изоморфизме |
Ротман [7] | Первая теорема об изоморфизме | Вторая теорема об изоморфизме | Третья теорема об изоморфизме | |
Без нумерации | Милн [8] | Теорема о гомоморфизме | Теорема об изоморфизме | Теорема о соответствии |
Скотт [9] | Теорема о гомоморфизме | Теорема об изоморфизме | Теорема первокурсника |
Реже включать теорему D, обычно известную как « решеточная теорема » или «теорема соответствия», в одну из теорем об изоморфизме, но когда они это делают, это последняя.
Формулировка теорем [ править ]
Теорема A (группы) [ править ]
Пусть G и H - группы, а φ : G → H - гомоморфизм . Потом:
- Ядро из ф является нормальной подгруппой в G ,
- Изображения из ф является подгруппой из H , и
- Образ ф является изоморфно к фактор - группы G / кег ( φ ).
В частности, если φ является сюръективны , то Н изоморфна G / кег ( ф ).
Теорема B (группы) [ править ]
Позвольте быть группой. Позвольте быть подгруппой , и пусть быть нормальной подгруппой . Тогда имеет место следующее:
- Продукт является подгруппой ,
- Пересечения является нормальной подгруппой , и
- Фактор-группы и изоморфны.
Технически, это не является необходимым для быть нормальной подгруппой, пока является подгруппой нормализатора из в . В этом случае пересечение не является нормальной подгруппой группы .
Эту теорему иногда называют «теоремой об изоморфизме» [8], «теоремой алмаза» [10] или «теоремой о параллелограмме». [11]
Применение второй теоремы об изоморфизме определяет проективные линейные группы : например, группа на комплексной проективной прямой начинается с установки , группа обратимых комплексных матриц 2 × 2, подгруппа матриц определителя 1 и нормальная подгруппа скалярных матрицы , мы имеем , где - единичная матрица, и . Тогда вторая теорема об изоморфизме утверждает, что:
Теорема C (группы) [ править ]
Позвольте быть группа, и нормальная подгруппа . потом
- Если является подгруппой таких что , то имеет подгруппу, изоморфную .
- Каждая подгруппа имеет вид для некоторой подгруппы из таких , что .
- Если является нормальной подгруппой, такой что , то имеет нормальную подгруппу, изоморфную .
- Каждая нормальная подгруппа имеет вид , для некоторой нормальной подгруппы из таких , что .
- Если - нормальная подгруппа такой, что , то фактор-группа изоморфна .
Теорема D (группы) [ править ]
Теорема о соответствии (также известная как теорема о решетке) иногда называют третьей или четвертой теоремой об изоморфизме.
Цассенхауз лемма (также известный как бабочки лемма) иногда называют теоремой четвертого изоморфизма. [ необходима цитата ]
Обсуждение [ править ]
Первую теорему об изоморфизме можно выразить на языке теории категорий , сказав, что категория групп является (нормальной эпи, моно) -факторизуемой; другими словами, нормальные эпиморфизмы и мономорфизмы образуют систему факторизации для категории. Это отражено в коммутативной диаграмме на полях, где показаны объекты и морфизмы, существование которых можно вывести из морфизма . Диаграмма показывает, что каждый морфизм в категории групп имеет ядро в теоретико-категориальном смысле; произвольный морфизм f разлагается в , где ι- мономорфизм, π - эпиморфизм (в конормальной категории все эпиморфизмы нормальны). Это представлено на диаграмме объектом и мономорфизмом (ядра всегда являются мономорфизмами), которые завершают короткую точную последовательность, идущую от нижнего левого угла до верхнего правого угла диаграммы. Использование соглашения о точной последовательности избавляет нас от необходимости рисовать нулевые морфизмы от до и .
Если последовательность расщепляется справа (т. Е. Существует морфизм σ, который отображается в π -прообраз самой себя), то G является полупрямым произведением нормальной подгруппы и подгруппы . Если левый раскол (т.е. существует некоторая такая , что ), то оно также должно быть право раскола, и является прямым продуктом разложения G . В общем, наличие правого расщепления не означает существования левого расщепления; но в абелевой категории (такой как абелевы группы) левое и правое расщепления эквивалентны лемме о расщеплении, и правого разбиения достаточно, чтобы произвести разложение прямой суммы . В абелевой категории все мономорфизмы также нормальны, и диаграмма может быть расширена второй короткой точной последовательностью .
Во второй теореме изоморфизма, продукт С.Н. является присоединиться к из S и N в решетке подгрупп из G , а пересечение S ∩ N является встречаются .
Третья теорема об изоморфизме обобщается с помощью девяти лемм на абелевы категории и более общие отображения между объектами.
Кольца [ править ]
Формулировки теорем для колец аналогичны, с заменой понятия нормальной подгруппы понятием идеала .
Теорема A (кольца) [ править ]
Пусть R и S - кольца, а φ : R → S - гомоморфизм колец . Потом:
- Ядро из ф является идеалом R ,
- Изображения из ф является Подкольцо из S , и
- Образ φ изоморфен факторкольцу R / ker ( φ ).
В частности, если φ является сюръективны , то S изоморфна R / кег ( ф ).
Теорема B (кольца) [ править ]
Пусть R - кольцо. Пусть S подкольцо R , и пусть я идеал в R . Потом:
- Сумма S + I = { s + i | s ∈ S , i ∈ I } - подкольцо в R ,
- Пересечение S ∩ I является идеалом S , и
- Факторкольца ( S + I ) / I и S / ( S ∩ I ) изоморфны.
Теорема C (кольца) [ править ]
Пусть R некоторое кольцо, и я идеал R . потом
- Если является подкольцом такого что , то является подкольцом .
- Каждое подкольцо имеет вида , для некоторых подколец из таких , что .
- Если идеал такой , то идеал .
- Каждый идеал имеет вид для некоторого идеала из таких , что .
- Если - идеал такого , что факторкольцо изоморфно .
Теорема D (кольца) [ править ]
Позвольте быть идеалом . Переписка является включение сохранение взаимно однозначное соответствие между множеством подкольцах из , которые содержат и множество подкольцах . Кроме того, (содержащее подкольцо ) является идеалом того и только тогда, когда является идеалом . [12]
Модули [ править ]
Утверждения теорем об изоморфизме для модулей особенно просты, поскольку из любого подмодуля можно образовать фактор-модуль . Теоремы об изоморфизме векторных пространств (модулей над полем) и абелевых групп (модулей над полем ) являются их частными случаями. Для конечномерных векторных пространств все эти теоремы следуют из теоремы ранга – нули .
В дальнейшем, «модуль» будет означать « R - модуль» для некоторого фиксированного кольца R .
Теорема A (модули) [ править ]
Пусть M и N - модули, а φ : M → N - гомоморфизм модулей . Потом:
- Ядро из ф есть подмодуль М ,
- Изображения из ф есть подмодуль N , и
- Образ φ изоморфен фактор-модулю M / ker ( φ ).
В частности, если φ сюръективен, то N изоморфен M / ker ( φ ).
Теорема B (модули) [ править ]
Пусть М будет модуль, и пусть S и T подмодули М . Потом:
- Сумма S + T = { s + t | s ∈ S , t ∈ T } - подмодуль M ,
- Пересечение S ∩ T является подмодулем в M , и
- Фактормодули ( S + T ) / T и S / ( S ∩ T ) изоморфны.
Теорема C (модули) [ править ]
Пусть М будет модуль, Т подмодуль М .
- Если это подмодуль такой , то является подмодулем .
- Каждый подмодуль имеет вид , для некоторого подмодуля из таких , что .
- Если является подмодулем такого, что , то фактор-модуль изоморфен .
Теорема D (модули) [ править ]
Позвольте быть модуль, подмодуль . Существует взаимно однозначное соответствие между подмодулями, которые содержат, и подмодулями . Соответствие дано для всех . Это соответствие коммутирует с процессами принятия сумм и пересечений (т.е. является решеткой изоморфизма между решеткой подмодулей и решеткой подмодулей , которые содержат ). [13]
Универсальная алгебра [ править ]
Чтобы обобщить это на универсальную алгебру , нормальные подгруппы необходимо заменить отношениями конгруэнтности .
Конгруэнции на алгебре является отношением эквивалентности , которое образует подалгебру рассматривать как алгебры с покомпонентными операциями. Можно превратить множество классов эквивалентности в алгебру того же типа, определяя операции через представителей; это будет корректно определено, поскольку является подалгеброй в . Полученная структура - фактор-алгебра .
Теорема A (универсальная алгебра) [ править ]
Позвольте быть гомоморфизм алгебры . Тогда образом является подалгеброй , соотношение задается (то есть ядро из ) является конгруенцией , а алгебры и изоморфны. (Обратите внимание, что в случае группы, тогда и только тогда , восстанавливается понятие ядра, используемое в теории групп в этом случае.)
Теорема B (универсальная алгебра) [ править ]
Учитывая алгебру , подалгебру в и конгруэнтность на , пусть будет след в и совокупность классов эквивалентности , которые пересекаются . потом
- является конгруэнцией ,
- является подалгеброй , а
- алгебра изоморфна алгебре .
Теорема C (универсальная алгебра) [ править ]
Позвольте быть алгебра и два отношения сравнения на таких, что . Тогда является конгруэнцией на и изоморфна .
Теорема D (универсальная алгебра) [ править ]
Позвольте быть алгеброй и обозначить множество всех конгруэнций на . Набор представляет собой полную решетку, упорядоченную по включению. [14] Если является конгруэнцией, и мы обозначаем через множество всех конгруэнций, которые содержат (т.е. является главным фильтром в , более того, это подрешетка), то отображение является решеточным изоморфизмом. [15] [16]
Примечание [ править ]
- ^ Якобсон (2009), сек 1.10
- ^ Ван дер Варден, Алгебра (1994).
- ^ Дурбин (2009), сек. 54
- ^ [имена] по сути такие же, как [van der Waerden 1994] [3]
- ^ Кнапп (2016), сек IV 2
- ^ Грийе (2007), сек. Я 5
- ^ Ротман (2003), сек. 2,6
- ^ a b Милн (2013), гл. 1 сек. Теоремы о гомоморфизмах
- ^ Скотт (1964), разделы 2.2 и 2.3
- ^ I. Мартин Айзекс (1994). Алгебра: аспирантура . American Mathematical Soc. п. 33 . ISBN 978-0-8218-4799-2.
- ^ Пол Мориц Кон (2000). Классическая алгебра . Вайли. п. 245 . ISBN 978-0-471-87731-8.
- ^ Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра . Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. п. 246 . ISBN 978-0-471-43334-7.
- ^ Даммит и Фут (2004), стр. 349
- ^ Стэнли и Санкаппанавар (2012), стр. 37
- ^ Стэнли и Санкаппанавар (2012), стр. 49
- ^ Уильям Сан, ( https://math.stackexchange.com/users/413924/william-sun ). «Есть ли общая форма теоремы о соответствии?» . Математика StackExchange . Проверено 20 июля 2019 .
Ссылки [ править ]
- Эмми Нётер , Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern , Mathematische Annalen 96 (1927) стр. 26–61
- Колин Макларти , "Теоретическая топология множеств Эмми Нётер: от Дедекинда до появления функторов". Архитектура современной математики: очерки истории и философии (под редакцией Джереми Грея и Хосе Феррейроса), Oxford University Press (2006), стр. 211–35.
- Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , 1 (2-е изд.), Довер, ISBN 9780486471891
- Пол М. Кон, Универсальная алгебра , Глава II.3 с. 57
- Милн, Джеймс С. (2013), Теория групп , 3.13
- van der Waerden, BI (1994), Algebra , 1 (9-е изд.), Springer-Verlag
- Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра . Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-0-471-43334-7.
- Беррис, Стэнли; Санкаппанавар, HP (2012). Курс универсальной алгебры (PDF) . ISBN 978-0-9880552-0-9.
- WR Скотт (1964), Теория групп , Прентис Холл
- Джон Р. Дурбин (2009). Современная алгебра: введение (6 -е изд.). Вайли. ISBN 978-0-470-38443-5.
- Энтони В. Кнапп (2016), Основы алгебры (цифровое второе изд.)
- Пьер Антуан Грийе (2007), Абстрактная алгебра (2-е изд.), Springer
- Джозеф Дж. Ротман (2003), Advanced Modern Algebra (2-е изд.), Prentice Hall, ISBN 0130878685