Гомоморфизм

В алгебре , А гомоморфизм является структура , сохраняющих отображение между двумя алгебраических структур одного и того же типа (например , в виде двух групп , два кольца , или двух векторных пространств ). Слово гомоморфизм происходит из древнегреческого языка : ὁμός ( гомос ) означает «такой же» и μορφή ( морфе ) означает «форма» или «форма». Однако это слово, по-видимому, было введено в математику из-за (неправильного) перевода немецкого ähnlich, означающего «похожий» на " μός, означающего «такой же».^[1] Термин «гомоморфизм» появился еще в 1892 году, когда его приписали немецкому математику Феликсу Клейну (1849–1925). ^[2]

Гомоморфизмы векторных пространств также называются линейными отображениями , и их изучение является объектом линейной алгебры .

Понятие гомоморфизма было обобщено под названием морфизма на многие другие структуры, которые либо не имеют базового набора, либо не являются алгебраическими. Это обобщение является отправной точкой теории категорий .

Гомоморфизм также может быть изоморфизмом , эндоморфизмом , автоморфизмом и т. Д. (См. Ниже). Каждый из них может быть определен способом, который может быть обобщен на любой класс морфизмов.

Определение [ править ]

Гомоморфизм - это отображение между двумя алгебраическими структурами одного типа (то есть с одним и тем же именем), которое сохраняет операции структур. Это означает карту между двумя наборами , снабженную одинаковой структурой, так что если это операция структуры (здесь для упрощения предполагается, что это двоичная операция ), то ${\ displaystyle f: от A \ до B}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle \ cdot}$

{\ Displaystyle е (х \ cdot y) = е (х) \ cdot f (y)}

для каждой пары , элементов . ^{[примечание 1]} Часто говорят, что сохраняет операцию или совместимо с операцией. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle f}$

Формально, карта сохраняет операцию по валентности к , определенную на обоих и если ${\ displaystyle f: от A \ до B}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

{\ displaystyle f (\ mu _ {A} (a_ {1}, \ ldots, a_ {k})) = \ mu _ {B} (f (a_ {1}), \ ldots, f (a_ {k })),}

для всех элементов в . ${\ displaystyle a_ {1}, ..., a_ {k}}$ ${\ displaystyle A}$

Операции, которые должны быть сохранены гомоморфизмом, включают 0-арные операции , то есть константы. В частности, когда элемент идентичности требуется типом структуры, элемент идентичности первой структуры должен быть отображен в соответствующий элемент идентичности второй структуры.

Например:

A полугруппового гомоморфизм является отображением между полугруппами , сохраняющей операцией полугрупповой.
Моноид гомоморфизм является отображением между моноидами , что сохраняет операцию моноидной и отображает единичный элемент первого моноида к количеству второго моноида (единичный элемент является 0-арной операции ).
Гомоморфизм групп есть отображение между группами , сохраняющим групповой операцией. Это означает, что групповой гомоморфизм отображает единичный элемент первой группы в единичный элемент второй группы и отображает инверсию элемента первой группы в инверсию образа этого элемента. Таким образом, гомоморфизм полугрупп между группами обязательно является гомоморфизмом групп.
Кольцевой гомоморфизм является отображение между кольцами , сохраняющий кольцо сложение, умножение кольца и мультипликативный идентичности . Будет ли сохранена мультипликативная идентичность, зависит от определения используемого кольца . Если мультипликативное тождество не сохраняется, возникает rng- гомоморфизм.
Линейное отображение является гомоморфизмом векторного пространства , что является гомоморфизмом между векторными пространствами , который сохраняет структуру абелевой группы и скалярное умножение .
Модульный гомоморфизм , также называется линейное отображение между модулями , определяется аналогично.
Гомоморфизм алгебры является отображение, сохраняющее алгебраические операции.

Алгебраическая структура может иметь более одной операции, и для сохранения каждой операции требуется гомоморфизм. Таким образом, отображение, сохраняющее только некоторые операции, не является гомоморфизмом структуры, а только гомоморфизмом подструктуры, полученной рассмотрением только сохраненных операций. Например, отображение между моноидами, которое сохраняет операцию моноида, а не единичный элемент, не является гомоморфизмом моноида, а только гомоморфизмом полугруппы.

Обозначения для операций не обязательно должны быть одинаковыми в источнике и цели гомоморфизма. Например, действительные числа образуют группу для сложения, а положительные действительные числа образуют группу для умножения. Экспоненциальная функция

{\ Displaystyle х \ mapsto е ^ {х}}

удовлетворяет

{\ Displaystyle е ^ {х + у} = е ^ {х} е ^ {у},}

и, таким образом, является гомоморфизмом между этими двумя группами. Это даже изоморфизм (см. Ниже), поскольку его обратная функция , натуральный логарифм , удовлетворяет

\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),

и также является гомоморфизмом групп.

Примеры [ править ]

Monoid гомоморфизм из моноида

(

N

, +, 0)

к моноиду

(

Н

, х, 1)

, определяются . Это инъективно , но не сюръективно .

f

f(x)=2^{x}

В действительных числах являются кольцом , имеющим как сложения и умножения. Множество всех 2 × 2 матриц также кольцо, в соответствии с матрицей дополнения и умножением матриц . Если мы определим функцию между этими кольцами следующим образом:

f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}

где $r$ - действительное число, то $f$ - гомоморфизм колец, поскольку $f$ сохраняет оба сложения:

f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)

и умножение:

f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).

Другой пример: ненулевые комплексные числа образуют группу при операции умножения, как и ненулевые действительные числа. (Ноль должен быть исключен из обеих групп, так как он не имеет мультипликативного обратного , что требуется для элементов группы.) Определите функцию от ненулевых комплексных чисел до ненулевых действительных чисел следующим образом: $f$

f(z)=|z|.

То есть это абсолютное значение (или модуль) комплексного числа . Тогда является гомоморфизмом групп, так как он сохраняет умножение: $f$ $z$ $f$

f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|=f(z_{1})f(z_{2}).

Обратите внимание, что $f$ не может быть расширен до гомоморфизма колец (от комплексных чисел до действительных чисел), поскольку он не сохраняет сложение:

|z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.

В качестве другого примера на диаграмме показан гомоморфизм моноида от моноида к моноиду . Из-за разных названий соответствующих операций, свойствам сохранения структуры удовлетворяют суммы до и . $f$ $(\mathbb {N} ,+,0)$ $(\mathbb {N} ,\times ,1)$ $f$ $f(x+y)=f(x)\times f(y)$ $f(0)=1$

Композиционная алгебра над полем имеет квадратичную форму , называемую нормой , , которая представляет собой групповой гомоморфизм из мультипликативной группы из мультипликативной группы . $A$ $F$ $N:A\to F$ $A$ $F$

Специальные гомоморфизмы [ править ]

Некоторые виды гомоморфизмов имеют определенное имя, которое также определено для общих морфизмов .

Изоморфизм [ править ]

Изоморфизм между алгебраических структур одного и того же типа обычно определяется как биективном гомоморфизм. ^[3]^{: 134} ^[4]^{: 28}

В более общем контексте теории категорий изоморфизм определяется как морфизм , имеющий обратный, который также является морфизмом. В конкретном случае алгебраических структур эти два определения эквивалентны, хотя они могут различаться для неалгебраических структур, которые имеют базовый набор.

Точнее, если

f:A\to B

является (гомо) морфизмом, он имеет обратный, если существует гомоморфизм

g:B\to A

такой, что

f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\qquad {\text{and}}\qquad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.

Если и имеют базовые множества, и имеет обратный , то биективен. На самом деле, это инъективны как предполагает и является сюръективны , а для любого в , один есть , и есть образ элемента . $A$ $B$ $f:A\to B$ $g$ $f$ $f$ $f(x)=f(y)$ $x=g(f(x))=g(f(y))=y$ $f$ $x$ $B$ $x=f(g(x))$ $x$ $A$

И наоборот, если это биективен гомоморфизм между алгебраических структур, пусть отображение , таким образом, что это единственный элемент из таких , что . Имеется и остается только показать, что $g$ - гомоморфизм. Если это бинарная операция структуры, для каждой пары , из элементов , один имеет $f:A\to B$ $g:B\to A$ $g(y)$ $x$ $A$ $f(x)=y$ $f\circ g=\operatorname {Id} _{B}{\text{ and }}g\circ f=\operatorname {Id} _{A},$ $*$ $x$ $y$ $B$

g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y),

и , таким образом, совместим с. Поскольку доказательство аналогично для любой арности , это показывает, что это гомоморфизм. $g$ $*.$ $g$

Это доказательство не работает для неалгебраических структур. Например, для топологических пространств морфизм - это непрерывное отображение , а обратное к биективному непрерывному отображению не обязательно непрерывно. Изоморфизм топологических пространств, называемый гомеоморфизмом или бинепрерывным отображением , таким образом, является биективным непрерывным отображением, обратное к которому также непрерывно.

Эндоморфизм [ править ]

Эндоморфизм гомоморфизм которого домен равна кообласть , или, более общо, морфизм источник которого равен цели. ^[3]^{: 135}

Эндоморфизмы алгебраической структуры или объекта категории образуют моноид при композиции.

Эндоморфизмы векторного пространства или модуля образуют кольцо . В случае векторного пространства или свободного модуля конечной размерности выбор базиса индуцирует кольцевой изоморфизм между кольцом эндоморфизмов и кольцом квадратных матриц той же размерности.

Автоморфизм [ править ]

Автоморфизм является эндоморфизме также является изоморфизмом. ^[3]^{: 135}

Автоморфизмы алгебраической структуры или объекта категории образуют группу по композиции, которая называется группой автоморфизмов структуры.

Многие группы, получившие название, являются группами автоморфизмов некоторой алгебраической структуры. Например, общая линейная группа - это группа автоморфизмов векторного пространства размерности над полем . $\operatorname {GL} _{n}(k)$ $n$ $k$

Группы автоморфизмов полей были введены Эварист Галуа для изучения корней из многочленов , и являются основой теории Галуа .

Мономорфизм [ править ]

Для алгебраических структур мономорфизмы обычно определяются как инъективные гомоморфизмы. ^[3]^{: 134} ^[4]^{: 29}

В более общем контексте теории категорий мономорфизм определяется как морфизм, который можно сократить слева . ^[5] Это означает , что (гомо) морфизм является мономорфизмом , если для любой пары , морфизмов из любого другого объекта к , а затем вытекает . $f:A\to B$ $g$ $h$ $C$ $A$ $f\circ g=f\circ h$ $g=h$

Эти два определения мономорфизма эквивалентны для всех обычных алгебраических структур. Точнее, они эквивалентны для полей , для которых каждый гомоморфизм является мономорфизмом, а для сортов с универсальной алгеброй , то есть алгебраические структуры , для которых операция и аксиомы (тождества) определены без каких - либо ограничений (поля не является многообразие, так как мультипликативная обратная операция определяется либо как унарная операция, либо как свойство умножения, которые в обоих случаях определены только для ненулевых элементов).

В частности, два определения мономорфизма эквивалентны для множеств , магм , полугрупп , моноидов , групп , колец , полей , векторных пространств и модулей .

Раскол -мономорфизм гомоморфизм , который имеет левый обратный и , таким образом , он сам по себе является правым обратным этого другого гомоморфизма. То есть гомоморфизм является расщепляемым гомоморфизмом, если существует такой гомоморфизм , что расщепляемый мономорфизм всегда является мономорфизмом для обоих значений мономорфизма . Для множеств и векторных пространств каждый мономорфизм является расщепляемым гомоморфизмом, но это свойство не выполняется для большинства общих алгебраических структур. $f\colon A\to B$ $g\colon B\to A$ $g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.$

Доказательство эквивалентности двух определений мономорфизмов

Инъективный гомоморфизм остается отменяемым : Если один имеет для каждого дюйма , общего источника и . Если инъективен, то , значит , и так . Это доказательство работает не только для алгебраических структур, но и для любой категории , объектами которой являются множества, а стрелки - карты между этими множествами. Например, инъективное непрерывное отображение - это мономорфизм в категории топологических пространств . $f\circ g=f\circ h,$ $f(g(x))=f(h(x))$ $x$ $C$ $g$ $h$ $f$ $g(x)=h(x)$ $g=h$

Чтобы доказать, что, наоборот, сократимый слева гомоморфизм инъективен, полезно рассмотреть свободный объект на $x$ . Учитывая разнообразие алгебраических структур свободного объекта на это пара , состоящая из алгебраической структуры этого многообразия и элемента из удовлетворяющих следующего универсального свойства : для каждой структуры многообразия, и каждый элемент из , существует единственный гомоморфизм такой , что . Например, для наборов свободный объект - это просто ; для полугрупп , свободный объект на это $x$ $L$ $x$ $L$ $S$ $s$ $S$ $f:L\to S$ $f(x)=s$ $x$ $\{x\}$ $x$ $\{x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},$ которая как полугруппа изоморфна аддитивной полугруппе натуральных чисел; для моноидов свободный объект на - это, как моноид, изоморфный аддитивному моноиду неотрицательных целых чисел; для групп свободный объект на - это бесконечная циклическая группа, которая, как группа, изоморфна аддитивной группе целых чисел; для колец свободный объект на } - это кольцо многочленов для векторных пространств или модулей , свободный объект на - это векторное пространство или свободный модуль, который имеет основу. $x$ $\{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},$ $x$ $\{\ldots ,x^{-n},\ldots ,x^{-1},1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},$ $x$ $\mathbb {Z} [x];$ $x$ $x$

Если свободный объект над существует, то каждый левый отменяемый гомоморфизм инъективен $x$ : пусть будет левым отменяемым гомоморфизмом, и два элемента из таких . По определению свободного объекта существуют гомоморфизмы и из в такие, что и . Как , по единственности определения универсального свойства. Как это левый отменяемый, один имеет , и , таким образом . Следовательно, инъективно. $f\colon A\to B$ $a$ $b$ $A$ $f(a)=f(b)$ $F$ $g$ $h$ $F$ $A$ $g(x)=a$ $h(x)=b$ $f(g(x))=f(h(x))$ $f\circ g=f\circ h,$ $f$ $g=h$ $a=b$ $f$

Наличие свободного объекта на для разнообразия $x$ (см также свободного объект § Наличие ): Для построения свободного объекта над , рассмотрит множество из хорошо образованных формул , построенных из и операций структуры. Две такие формулы называются эквивалентными, если можно перейти от одной к другой, применяя аксиомы ( тождества структуры). Это определяет отношение эквивалентности , если тождества не подчиняются условиям, то есть если кто-то работает с разнообразием. Тогда операции сорта хорошо определены на множестве классов эквивалентности по $x$ $W$ $x$ $W$ для этого отношения. Несложно показать, что получившийся объект является свободным объектом . $W$

Эпиморфизм [ править ]

В алгебре , эпиморфизмы часто определяются как сюръективные гомоморфизмы. ^[3]^{: 134}^[4]^{: 43} С другой стороны, в теории категорий , эпиморфизмами определяются как правые аннулированы морфизмов . ^[5] Это означает , что (гомо) морфизм является эпиморфизмом , если для любой пары , морфизмов из к любому другому объекту , равенство вытекает . $f:A\to B$ $g$ $h$ $B$ $C$ $g\circ f=h\circ f$ $g=h$

Сюръективный гомоморфизм всегда сокращается справа, но обратное не всегда верно для алгебраических структур. Однако два определения эпиморфизма эквивалентны для множеств , векторных пространств , абелевых групп , модулей (см. Ниже для доказательства) и групп . ^[6] Важность этих структур во всей математике, особенно в линейной алгебре и гомологической алгебре , может объяснить сосуществование двух неэквивалентных определений.

Алгебраические структуры, для которых существуют несюръективные эпиморфизмы, включают полугруппы и кольца . Самый простой пример - это включение целых чисел в рациональные числа , которое является гомоморфизмом колец и мультипликативных полугрупп. Для обеих структур это мономорфизм и несюръективный эпиморфизм, но не изоморфизм. ^[5]^[7]

Широкое обобщение этого примера - локализация кольца мультипликативным множеством. Каждая локализация - это кольцевой эпиморфизм, который, вообще говоря, не сюръективен. Поскольку локализации являются фундаментальными в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии , это может объяснить, почему в этих областях определение эпиморфизмов как сокращаемых справа гомоморфизмов обычно предпочтительнее.

Расщепляющий эпиморфизм является гомоморфизмом, имеет правую обратные и , таким образом , он сам по себе является левым обратным этим другим гомоморфизмом. То есть гомоморфизм является расщепленным эпиморфизмом, если существует такой гомоморфизм , что расщепленный эпиморфизм всегда является эпиморфизмом для обоих значений эпиморфизма . Для множеств и векторных пространств каждый эпиморфизм является расщепляемым эпиморфизмом, но это свойство не выполняется для большинства общих алгебраических структур. $f\colon A\to B$ $g\colon B\to A$ $f\circ g=\operatorname {Id} _{B}.$

Таким образом, есть

{\text{split epimorphism}}\implies {\text{epimorphism (surjective)}}\implies {\text{epimorphism (right cancelable)}};

последняя импликация - эквивалентность множеств, векторных пространств, модулей и абелевых групп; первая импликация - это эквивалентность множеств и векторных пространств.

Эквивалентность двух определений эпиморфизма

Позвольте быть гомоморфизмом. Мы хотим доказать, что если оно не сюръективно, оно не может быть сокращено. $f\colon A\to B$

В случае множеств, пусть будет элементом, которому не принадлежит , и определите так , что это функция идентичности , и что для каждого, кроме любого другого элемента . Ясно, что не может быть отменено, так как и $b$ $B$ $f(A)$ $g,h\colon B\to B$ $g$ $h(x)=x$ $x\in B,$ $h(b)$ $B$ $f$ $g\neq h$ $g\circ f=h\circ f.$

В случае векторных пространств, абелевых групп и модулей доказательство основывается на существовании коядров и на том факте, что нулевые отображения являются гомоморфизмами: пусть - коядро и - каноническое отображение, такое что . Позвольте быть нулевым отображением. Если не является сюръективным, и, следовательно (одно - нулевое отображение, а другое - нет). Таким образом , не отменяется, поскольку (оба являются нулевым отображением от до ). $C$ $f$ $g\colon B\to C$ $g(f(A))=0$ $h\colon B\to C$ $f$ $C\neq 0$ $g\neq h$ $f$ $g\circ f=h\circ f$ $A$ $C$

Ядро [ править ]

Любой гомоморфизм определяет отношение эквивалентности на по тогда и только тогда, когда . Отношение называется ядро из . Это отношение конгруэнтности на . Множество фактора , то можно придать структуру того же типа , как , естественным образом, путем определения операций множества фактора по , для каждой операции с . В этом случае изображение в соответствии с гомоморфизмом обязательно изоморфно с ; этот факт является одной из теорем об изоморфизме . $f:X\to Y$ $\sim$ $X$ $a\sim b$ $f(a)=f(b)$ $\sim$ $f$ $X$ $X/{\sim }$ $X$ $[x]\ast [y]=[x\ast y]$ $\ast$ $X$ $X$ $Y$ $f$ $X/\!\sim$

Когда алгебраическая структура является группой для некоторой операции, класс эквивалентности из единичного элемента этой операции достаточно , чтобы охарактеризовать отношение эквивалентности. В этом случае фактор по отношению эквивалентности обозначается (обычно читается как « mod »). Кроме того, в этом случае, это , а не , что называется ядро из . Ядра гомоморфизмов данного типа алгебраической структуры естественным образом снабжены некоторой структурой. Этот структурный тип ядер совпадает с рассмотренной структурой в случае абелевых групп , векторных пространств и модулей. $K$ $X/K$ $X$ $K$ $K$ $\sim$ $f$ , но отличается и получил конкретное название в других случаях, например, нормальная подгруппа для ядер гомоморфизмов групп и идеалы для ядер гомоморфизмов колец (в случае некоммутативных колец ядра являются двусторонними идеалами ).

Реляционные структуры [ править ]

В теории моделей понятие алгебраической структуры обобщается на структуры, включающие как операции, так и отношения. Пусть L - сигнатура, состоящая из символов функций и отношений, а A , B - две L -структуры. Тогда гомоморфизм из A в B - это отображение h из области A в область B такое, что

h ( F ^A ( a ₁ ,…, a _n )) = F ^B ( h ( a ₁ ),…, h ( a _n )) для каждого n -арного функционального символа F в L ,
R ( ₁ , ..., _п ) означает R ^B ( час ( ₁ ), ..., ч ( _п )) для каждого п -ичный символа отношения R в L .

В частном случае всего с одним бинарным отношением мы получаем понятие гомоморфизма графов . Для подробного обсуждения реляционных гомоморфизмов и изоморфизмов см. ^[8]

Теория формального языка [ править ]

Гомоморфизмы также используются при изучении формальных языков ^[9] и часто кратко называются морфизмами. ^{[10] Для} заданных алфавитов Σ ₁ и Σ ₂ функция h : Σ ₁^∗ → Σ ₂^∗ такая, что h ( uv ) = h ( u ) h ( v ) для всех u и v в Σ ₁^∗ , называется гомоморфизмом на Σ ₁^∗ . ^{[примечание 2]} Еслиh является гомоморфизмом на Σ ₁^∗, а ε обозначает пустую строку, тогда h называется ε-свободным гомоморфизмом, когда h ( x ) ≠ ε для всех x ≠ ε в Σ ₁^∗ .

Множество слов Σ ^∗, образованное из алфавита Σ, можно рассматривать как свободный моноид, порожденный Σ. Здесь моноидная операция - это конкатенация, а элементом идентичности является пустое слово. С этой точки зрения гомоморфизм языка - это в точности гомоморфизм моноида. ^{[заметка 3]}

См. Также [ править ]

Непрерывная функция
Диффеоморфизм
Гомоморфное шифрование
Гомоморфное разделение секретов - упрощенный децентрализованный протокол голосования
Морфизм

Примечания [ править ]

^ Как это часто бывает, но не всегда, здесь использовался один и тот же символ для работы обоихи. $A$ $B$
^ Символ * обозначаетоперацию звезды Клини , а Σ^∗ обозначает набор слов, образованных из алфавита Σ, включая пустое слово. Сопоставление терминов обозначает конкатенацию . Например, h ( u ) h ( v ) обозначает конкатенацию h ( u ) с h ( v ).
^ Мы уверены, что гомоморфизм языка h отображает пустое слово ε в пустое слово. Поскольку h ( ε ) = h ( εε ) = h ( ε ) h ( ε ), количество w символов в h ( ε ) равно количеству 2 w символов в h ( ε ) h ( ε ). Следовательно, w = 0 и h ( ε ) имеет нулевую длину.

Цитаты [ править ]

^ Фрике, Роберт (1897–1912). Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen . Б. Г. Тойбнер. OCLC 29857037 .
^
См .:
- Риттер, Эрнст (1892). «Die eindeutigen automorphen Formen vom Geschlecht Null, eine Revision und Erweiterung der Poincaré'schen Sätze» [Уникальные автоморфные формы нулевого рода, пересмотр и расширение теоремы Пуанкаре]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 41 : 1–82. DOI : 10.1007 / BF01443449 . S2CID 121524108 . Из сноски на стр. 22 : «Ich will nach einem Vorschlage von Hrn. Prof. Klein statt der umständlichen und nicht immer ausreichenden Bezeichnungen:» holoedrisch, bezw. hemiedrisch usw isomorph "die Benennung" isomorph "auf den Fall des holoedrischen Isomorphismus zweier Gruppen einschränken, sonst aber von" Homomorphism "sprechen,…" (По предложению профессора Кляйна вместо громоздких и не всегда удовлетворительных обозначений " или полуэдрический и т. д., изоморфный », я ограничу обозначение« изоморфный »случаем голоэдрического изоморфизма двух групп; в противном случае, однако, [я] буду говорить о« гомоморфизме », ...)
- Фрике, Роберт (1892). "Ueber den arithmetischen Charakter der zu den Verzweigungen (2,3,7) und (2,4,7) gehörenden Dreiecksfunctionen" [Об арифметическом характере функций треугольника, принадлежащих точкам ветвления (2,3,7) и ( 2,4,7)]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 41 : 443–468. DOI : 10.1007 / BF01443421 . S2CID 120022176 . С п. 466: "Hierdurch ist, wie man sofort überblickt, eine homomorphe *) Beziehung der Gruppe Γ ₍₆₃₎ auf die Gruppe der mod. N incongruenten Substitutionen mit rationalen ganzen Coefficienten der Determinante 1 beginründet." (Таким образом, как сразу видно, гомоморфное отношение группы Γ ₍₆₃₎ основано на группе инконгруэнтных подстановок по модулю n с целыми рациональными коэффициентами определителя 1.) Из сноски на стр. 466: "*) Im Anschluss an einen von Hrn. Klein bei seinen neueren Vorlesungen eingeführten Brauch schreibe ich an Stelle der bisherigen Bezeichnung" meroedrischer Isomorphismus "die sinngemässere" Гомоморфизм ". (Следуя использованию, которое было введено г-ном Кляйном во время его недавних лекций, я пишу вместо прежнего обозначения «мероэдрический изоморфизм» более логичный «гомоморфизм».)
^ a b c d e Биркгоф, Гаррет (1967) [1940], теория решеток, Публикации коллоквиума Американского математического общества, 25 (3-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1025-5, Руководство по ремонту 0598630
^ a b c Стэнли Н. Беррис; HP Sankappanavar (2012). Курс универсальной алгебры (PDF) . ISBN 978-0-9880552-0-9.
^ a b c Mac Lane, Сондерс (1971). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике . 5 . Springer-Verlag . Упражнение 4 из раздела I.5. ISBN 0-387-90036-5. Zbl 0232.18001 .
^ Linderholm, CE (1970). Групповой эпиморфизм сюръективен. The American Mathematical Monthly , 77 (2), 176-177.
^ Дэскэлеску, Сорин; Нэстэсеску, Константин; Райану, Щербан (2001). Алгебра Хопфа: Введение . Чистая и прикладная математика. 235 . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Марсель Деккер. п. 363. ISBN. 0824704819. Zbl 0962.16026 .
^ Раздел 17.4, в Gunther Schmidt , 2010. Relational Mathematics . Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-76268-7
^ Сеймур Гинзбург , Алгебраические и теоретико-автоматные свойства формальных языков , Северная Голландия, 1975, ISBN 0-7204-2506-9 ,
^ Т. Харью, Дж. Кархумёки, Морфизмы в Справочнике формальных языков , Том I, под редакцией Г. Розенберга, А. Саломаа, Springer, 1997, ISBN 3-540-61486-9 .

Ссылки [ править ]

Стэнли Н. Беррис; HP Sankappanavar (2012). Курс универсальной алгебры (PDF) . ISBN 978-0-9880552-0-9.
Mac Lane, Saunders (1971), Категории для работающих математиков , Тексты для выпускников по математике , 5 , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90036-5, Zbl 0232,18001
Fraleigh, John B .; Кац, Виктор Дж. (2003), Первый курс абстрактной алгебры , Аддисон-Уэсли, ISBN 978-1-292-02496-7

[3] Как это часто бывает, но не всегда, здесь использовался один и тот же символ для работы обоихи. $A$ $B$

[12] Символ * обозначаетоперацию звезды Клини , а Σ^∗ обозначает набор слов, образованных из алфавита Σ, включая пустое слово. Сопоставление терминов обозначает конкатенацию . Например, h ( u ) h ( v ) обозначает конкатенацию h ( u ) с h ( v ).

[13] Мы уверены, что гомоморфизм языка h отображает пустое слово ε в пустое слово. Поскольку h ( ε ) = h ( εε ) = h ( ε ) h ( ε ), количество w символов в h ( ε ) равно количеству 2 w символов в h ( ε ) h ( ε ). Следовательно, w = 0 и h ( ε ) имеет нулевую длину.

[1] Фрике, Роберт (1897–1912). Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen . Б. Г. Тойбнер. OCLC 29857037 .

[2] См .:
Риттер, Эрнст (1892). «Die eindeutigen automorphen Formen vom Geschlecht Null, eine Revision und Erweiterung der Poincaré'schen Sätze» [Уникальные автоморфные формы нулевого рода, пересмотр и расширение теоремы Пуанкаре]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 41 : 1–82. DOI : 10.1007 / BF01443449 . S2CID 121524108 . Из сноски на стр. 22 : «Ich will nach einem Vorschlage von Hrn. Prof. Klein statt der umständlichen und nicht immer ausreichenden Bezeichnungen:» holoedrisch, bezw. hemiedrisch usw isomorph "die Benennung" isomorph "auf den Fall des holoedrischen Isomorphismus zweier Gruppen einschränken, sonst aber von" Homomorphism "sprechen,…" (По предложению профессора Кляйна вместо громоздких и не всегда удовлетворительных обозначений " или полуэдрический и т. д., изоморфный », я ограничу обозначение« изоморфный »случаем голоэдрического изоморфизма двух групп; в противном случае, однако, [я] буду говорить о« гомоморфизме », ...)
Фрике, Роберт (1892). "Ueber den arithmetischen Charakter der zu den Verzweigungen (2,3,7) und (2,4,7) gehörenden Dreiecksfunctionen" [Об арифметическом характере функций треугольника, принадлежащих точкам ветвления (2,3,7) и ( 2,4,7)]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 41 : 443–468. DOI : 10.1007 / BF01443421 . S2CID 120022176 . С п. 466: "Hierdurch ist, wie man sofort überblickt, eine homomorphe *) Beziehung der Gruppe Γ ₍₆₃₎ auf die Gruppe der mod. N incongruenten Substitutionen mit rationalen ganzen Coefficienten der Determinante 1 beginründet." (Таким образом, как сразу видно, гомоморфное отношение группы Γ ₍₆₃₎ основано на группе инконгруэнтных подстановок по модулю n с целыми рациональными коэффициентами определителя 1.) Из сноски на стр. 466: "*) Im Anschluss an einen von Hrn. Klein bei seinen neueren Vorlesungen eingeführten Brauch schreibe ich an Stelle der bisherigen Bezeichnung" meroedrischer Isomorphismus "die sinngemässere" Гомоморфизм ". (Следуя использованию, которое было введено г-ном Кляйном во время его недавних лекций, я пишу вместо прежнего обозначения «мероэдрический изоморфизм» более логичный «гомоморфизм».)

[6] Риттер, Эрнст (1892). «Die eindeutigen automorphen Formen vom Geschlecht Null, eine Revision und Erweiterung der Poincaré'schen Sätze» [Уникальные автоморфные формы нулевого рода, пересмотр и расширение теоремы Пуанкаре]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 41 : 1–82. DOI : 10.1007 / BF01443449 . S2CID 121524108 . Из сноски на стр. 22 : «Ich will nach einem Vorschlage von Hrn. Prof. Klein statt der umständlichen und nicht immer ausreichenden Bezeichnungen:» holoedrisch, bezw. hemiedrisch usw isomorph "die Benennung" isomorph "auf den Fall des holoedrischen Isomorphismus zweier Gruppen einschränken, sonst aber von" Homomorphism "sprechen,…" (По предложению профессора Кляйна вместо громоздких и не всегда удовлетворительных обозначений " или полуэдрический и т. д., изоморфный », я ограничу обозначение« изоморфный »случаем голоэдрического изоморфизма двух групп; в противном случае, однако, [я] буду говорить о« гомоморфизме », ...)

[7] Фрике, Роберт (1892). "Ueber den arithmetischen Charakter der zu den Verzweigungen (2,3,7) und (2,4,7) gehörenden Dreiecksfunctionen" [Об арифметическом характере функций треугольника, принадлежащих точкам ветвления (2,3,7) и ( 2,4,7)]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 41 : 443–468. DOI : 10.1007 / BF01443421 . S2CID 120022176 . С п. 466: "Hierdurch ist, wie man sofort überblickt, eine homomorphe *) Beziehung der Gruppe Γ ₍₆₃₎ auf die Gruppe der mod. N incongruenten Substitutionen mit rationalen ganzen Coefficienten der Determinante 1 beginründet." (Таким образом, как сразу видно, гомоморфное отношение группы Γ ₍₆₃₎ основано на группе инконгруэнтных подстановок по модулю n с целыми рациональными коэффициентами определителя 1.) Из сноски на стр. 466: "*) Im Anschluss an einen von Hrn. Klein bei seinen neueren Vorlesungen eingeführten Brauch schreibe ich an Stelle der bisherigen Bezeichnung" meroedrischer Isomorphismus "die sinngemässere" Гомоморфизм ". (Следуя использованию, которое было введено г-ном Кляйном во время его недавних лекций, я пишу вместо прежнего обозначения «мероэдрический изоморфизм» более логичный «гомоморфизм».)

[Birkhoff.1967-4] Биркгоф, Гаррет (1967) [1940], теория решеток, Публикации коллоквиума Американского математического общества, 25 (3-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1025-5, Руководство по ремонту 0598630

[Burris.Sankappanavar.2012-5] Стэнли Н. Беррис; HP Sankappanavar (2012). Курс универсальной алгебры (PDF) . ISBN 978-0-9880552-0-9.

[workmath-6] Mac Lane, Сондерс (1971). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике . 5 . Springer-Verlag . Упражнение 4 из раздела I.5. ISBN 0-387-90036-5. Zbl 0232.18001 .

[7] Linderholm, CE (1970). Групповой эпиморфизм сюръективен. The American Mathematical Monthly , 77 (2), 176-177.

[8] Дэскэлеску, Сорин; Нэстэсеску, Константин; Райану, Щербан (2001). Алгебра Хопфа: Введение . Чистая и прикладная математика. 235 . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Марсель Деккер. п. 363. ISBN. 0824704819. Zbl 0962.16026 .

[9] Раздел 17.4, в Gunther Schmidt , 2010. Relational Mathematics . Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-76268-7

[10] Сеймур Гинзбург , Алгебраические и теоретико-автоматные свойства формальных языков , Северная Голландия, 1975, ISBN 0-7204-2506-9 ,

[11] Т. Харью, Дж. Кархумёки, Морфизмы в Справочнике формальных языков , Том I, под редакцией Г. Розенберга, А. Саломаа, Springer, 1997, ISBN 3-540-61486-9 .

[1]