Бинарная операция

Бинарная операция - это вычисление, которое объединяет аргументы

x

и

y

для

{\ displaystyle \ circ}

{\ displaystyle x \ circ y}

В математике , A бинарная операция или двоично - операция представляет собой вычисление , которое сочетает в себе два элемента (называемые операнды ) , чтобы произвести другой элемент. Более формально, бинарная операция является операцией по арности два.

Более конкретно, бинарная операция над набором - это операция, в которой два домена и кодомен являются одним и тем же набором. Примеры включают знакомые арифметические операции из сложения , вычитания , умножения . Другие примеры легко найти в различных областях математики, таких как сложение векторов , умножение матриц и групповое сопряжение .

Операция арности два, которая включает несколько наборов, иногда также называется бинарной операцией . Например, скалярное умножение в векторных пространствах принимает скаляр и вектор для получения вектора, и скалярное произведение принимает два вектора для получения скаляра. Такие бинарные операции можно назвать просто бинарными функциями .

Бинарные операции являются краеугольным камнем большинства алгебраических структур , изучаемых в алгебре , в частности, в полугруппах , моноидах , группах , кольцах , полях и векторных пространствах .

Терминология [ править ]

Точнее, бинарная операция на множестве S - это отображение элементов декартового произведения $S \times S$ в S : ^[1]^[2]^[3]

{\ displaystyle \, е \ двоеточие S \ times S \ rightarrow S.}

Поскольку результат выполнения операции над парой элементов S снова является элементом S , операция называется закрытой (или внутренней ) бинарной операцией над S (или иногда выражается как имеющая свойство замыкания ). ^[4]

Если f не функция , а частичная функция , то f называется частичной бинарной операцией . Например, деление действительных чисел - это частичная бинарная операция, потому что нельзя делить на ноль : a / 0 не определено для каждого действительного числа a . В обеих универсальной алгебре и модели теории , бинарные операции должны быть определены на всех $S \times S$ .

Иногда, особенно в информатике , термин двоичная операция используется для обозначения любой двоичной функции .

Свойства и примеры [ править ]

Типичными примерами бинарных операций являются сложение (+) и умножение (×) чисел и матриц, а также композиция функций на одном наборе. Например,

На множестве действительных чисел R , $F ( , б) = + Ь$ является бинарной операцией , так как сумма двух действительных чисел является действительным числом.
На множестве натуральных чисел N , $f (a, b) = a + b$ - это двоичная операция, поскольку сумма двух натуральных чисел является натуральным числом. Это другая бинарная операция, чем предыдущая, поскольку наборы разные.
На множестве M (2, R ) матриц $2 \times 2$ с действительными элементами $f (A, B) = A + B$ является бинарной операцией, поскольку сумма двух таких матриц является матрицей $2 \times 2$ .
На множестве M (2, R ) матриц $2 \times 2$ с действительными элементами $f (A, B) = AB$ является бинарной операцией, поскольку произведение двух таких матриц представляет собой матрицу $2 \times 2$ .
Для заданного множества С , пусть S множество всех функций $часов : С \to С$ . Определим $f : S \times S \to S$ как $f (h 1, h 2) (c) = (h 1 \circ h 2) (c) = h 1 (h 2 (c))$ для всех $c \in C$ , композиция две функции h ₁и ч ₂ в S . Тогда f является бинарной операцией, поскольку композиция этих двух функций снова является функцией на множестве C (то есть членом S ).

Многие бинарные операции, представляющие интерес как для алгебры, так и для формальной логики, коммутативны , удовлетворяя $f (a, b) = f (b, a)$ для всех элементов a и b в S , или ассоциативны , удовлетворяя $f (f (a, b), c) = f (a, f (b, c))$ для всех a , b ис в S . Многие также имеют элементы идентичности и обратные элементы .

Первые три приведенных выше примера коммутативны, а все приведенные выше примеры ассоциативны.

На множестве действительных чисел R , вычитание , то есть $F ( , б) = а - Ь$ , является бинарной операцией , которая не является коммутативной , так как, в общем, $-$ $б$ $\neq$ $б$ $-$ . Он также не ассоциативен, поскольку, вообще говоря, $a$ $- ($ $b$ $-$ $c$ $) \neq ($ $a$ $-$ $b$ $) -$ $c$ ; например, $1 - (2-3) = 2,$ но $(1-2) - 3 = -4$ .

На множестве натуральных чисел N , бинарная операция возведения в степень , $F ( , б) = а б$ , не является коммутативным , так как, $в б \neq б$ (ср Уравнение X = Y ), а также не ассоциативно , так как $F (f (a, b), c) \neq f (a, f (b, c))$ . Например, при $a = 2$ , $b = 3$ и $c = 2$ , $f (2 3, 2) = f (8,2) = 8 2 = 64$ , но $f (2,3 2) = f (2,9) = 2 9 = 512$ . Изменяя набор N на набор целых чисел Z , эта двоичная операция становится частичной двоичной операцией, поскольку теперь она не определена, если $a = 0$ и b - любое отрицательное целое число. Для любого набора эта операция имеет правильную идентичность (которая равна 1), поскольку $f (a, 1) = a$ для всех a в наборе, что не является тождеством (двустороннее тождество), поскольку $f (1, b) \neq b$ в общем случае.

Деление (/), частичная бинарная операция над множеством действительных или рациональных чисел, не является коммутативной или ассоциативной. Тетрация (↑↑), как бинарная операция над натуральными числами, не является коммутативной или ассоциативной и не имеет элемента идентичности.

Обозначение [ править ]

Бинарные операции часто записываются с использованием инфиксной нотации, такой как $a * b$ , $a + b$ , $a \cdot b$ или (путем сопоставления без символа) ab, а не с использованием функциональной записи формы $f (a, b)$ . Полномочия обычно также записываются без оператора, но со вторым аргументом в виде верхнего индекса .

Бинарные операции иногда используют префиксную или (вероятно, чаще) постфиксную нотацию, причем в обоих случаях скобки не используются. Их также называют, соответственно, польской нотацией и обратной польской нотацией .

Пара и кортеж [ править ]

Бинарная операция ab зависит от упорядоченной пары ( a, b ) и, следовательно, ( ab ) c (где круглые скобки здесь означают, что сначала выполняются операции с упорядоченной парой ( a , b ), а затем обрабатываются ее результаты, используя упорядоченные пара (( ab ), c )), вообще говоря, зависит от упорядоченной пары (( a , b ), c ). Таким образом, в общем, неассоциативном случае бинарные операции могут быть представлены бинарными деревьями .

Тем не мение:

Если операция ассоциативна, ( ab ) c = a ( bc ), то значение ( ab ) c зависит только от кортежа ( a , b , c ).
Если операция коммутативная, ab = ba , то значение ( ab ) c зависит только от {{ a , b }, c }, где фигурные скобки обозначают мультимножества .
Если операция является одновременно ассоциативной и коммутативной, то значение ( ab ) c зависит только от мультимножества { a , b , c }.
Если операция ассоциативная, коммутативная и идемпотентная , aa = a , то значение ( ab ) c зависит только от множества { a , b , c }.

Бинарные операции как тернарные отношения [ править ]

Бинарная операция f на множестве S может рассматриваться как тернарное отношение на S , то есть набор троек ( a , b , f ( a, b )) в S × S × S для всех a и b в S .

Внешние бинарные операции [ править ]

Внешняя бинарная операция является двоичной функцией из K × S до S . Это отличается от бинарной операции над множеством в том смысле, что K не обязательно должно быть S ; его элементы приходят извне .

Примером внешней бинарной операции является скалярное умножение в линейной алгебре . Здесь K - поле, а S - векторное пространство над этим полем.

В качестве альтернативы внешняя бинарная операция может рассматриваться как действие ; K действует на S .

Скалярное произведение двух векторов отображение из S × S с K , где K является полем , и S представляет собой векторное пространство над K . От авторов зависит, считается ли это бинарной операцией.

См. Также [ править ]

Таблица истинности # Бинарные операции
Итерированная двоичная операция
Оператор (программирование)
Тернарная операция
Унарная операция

Примечания [ править ]

^ Ротман 1973 , стр. 1
↑ Харди и Уокер, 2002 , стр. 176, Определение 67
^ Fraleigh 1976 , стр. 10
↑ Холл-младший, 1959 , стр. 1

Ссылки [ править ]

Фрали, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли, ISBN 0-201-01984-1
Холл младший, Маршалл (1959), Теория групп , Нью-Йорк: Macmillan
Харди, Дарел У .; Уокер, Кэрол Л. (2002), Прикладная алгебра: коды, шифры и дискретные алгоритмы , Верхняя река Сэдл, Нью-Джерси: Прентис-Холл, ISBN 0-13-067464-8
Ротман, Джозеф Дж. (1973), Теория групп: Введение (2-е изд.), Бостон: Аллин и Бэкон

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Двоичная операция» . MathWorld .

[1] Ротман 1973 , стр. 1

[2] Харди и Уокер, 2002 , стр. 176, Определение 67

[3] Fraleigh 1976 , стр. 10

[4] Холл-младший, 1959 , стр. 1

[1]

vтеМатематическая логика
Общий	Формальный язык Правило формирования Формальное доказательство Формальная семантика Правильная формула Набор Элемент Учебный класс Классическая логика Аксиома Правило вывода Связь Теорема Логическое следствие Теория типов Символ Синтаксис Теория
Системы	Формальная система Дедуктивная система Аксиоматическая система Системы гильбертовского стиля Естественный вычет Последовательное исчисление
Традиционная логика	Предложение Вывод Аргумент Срок действия Силлогизм Площадь оппозиции Диаграмма Венна
Исчисление высказываний и булева логика	Логические функции Исчисление высказываний Пропозициональная формула Логические связки Таблицы истинности Многозначная логика
Логика предикатов	Первый заказ Квантификаторы Предикат Второго порядка Монадическое исчисление предикатов
Наивная теория множеств	Набор Пустой набор Элемент Перечисление Расширяемость Конечный набор Бесконечный набор Подмножество Набор мощности Счетный набор Бесчисленное множество Рекурсивный набор Домен Codomain Изображение карта Функция Связь Упорядоченная пара
Теория множеств	Основы математики Теория множеств Цермело – Френкеля Аксиома выбора Общая теория множеств Теория множеств Крипке – Платека. Теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя. Теория множеств Морса – Келли Теория множеств Тарского – Гротендика
Теория моделей	Модель Интерпретация Нестандартная модель Теория конечных моделей Ценность правды Срок действия
Теория доказательств	Формальное доказательство Дедуктивная система Формальная система Теорема Логическое следствие Правило вывода Синтаксис
Теория вычислимости	Рекурсия Рекурсивный набор Рекурсивно перечислимый набор Проблема решения Тезис Черча – Тьюринга Вычислимая функция Примитивная рекурсивная функция