В области математики, известной как теория порядка , полумодулярная решетка - это решетка , удовлетворяющая следующему условию:
- Полумодулярный закон
- a ∧ b <: a влечет b <: a ∨ b .
Обозначение a <: b означает, что b покрывает a , то есть a < b и нет такого элемента c , что a < c < b .
Атомистический (следовательно , алгебраический ) полумодулярный ограниченная решетка называется матроид решетка , поскольку такие решетки эквивалентны (простые) матроиды . Атомистическая полумодулярная ограниченная решетка конечной длины называется геометрической решеткой и соответствует матроиду конечного ранга. [1]
Полумодулярные решетки также известны как полумодулярные сверху решетки; двойное понятие является то , что из нижней полумодулярной решетки . Конечная решетка модулярна тогда и только тогда, когда она одновременно верхняя и нижняя полумодулярная.
Конечная решетка или, в более общем смысле, решетка, удовлетворяющая условию возрастающей цепи или условию убывающей цепи, является полумодулярной тогда и только тогда, когда она является M-симметричной . Некоторые авторы называют M-симметричные решетки полумодулярными решетками. [2]
Состояние Биркгофа [ править ]
Решетку иногда называют слабо полумодулярной, если она удовлетворяет следующему условию Гаррета Биркгофа :
- Состояние Биркгофа
- Если a ∧ b <: a и a ∧ b <: b ,
- тогда a <: a ∨ b и b <: a ∨ b .
Всякая полумодулярная решетка слабо полумодулярна. Обратное верно для решеток конечной длины и, в более общем смысле, для непрерывных сверху (встречается с распределением по соединениям цепочек) относительно атомных решеток.
Состояние Мак Лейна [ править ]
Следующие два условия эквивалентны друг другу для всех решеток. Их нашел Сондерс Мак Лейн , который искал условие, эквивалентное полумодулярности для конечных решеток, но не связанное с отношением покрытия.
- Состояние Мак Лейна 1
- Для любых a, b, c таких, что b ∧ c < a < c < b ∨ a ,
- существует элемент d такой, что b ∧ c < d ≤ b и a = ( a ∨ d ) ∧ c .
- Состояние Мак Лейна 2
- Для любых a, b, c таких, что b ∧ c < a < c < b ∨ c ,
- существует элемент d такой, что b ∧ c < d ≤ b и a = ( a ∨ d ) ∧ c .
Каждая решетка, удовлетворяющая условию Мак Лейна, полумодулярна. Обратное верно для решеток конечной длины и, в более общем смысле, для относительно атомных решеток. Более того, любая непрерывная сверху решетка, удовлетворяющая условию Мак Лейна, является M-симметричной.
Заметки [ править ]
Ссылки [ править ]
- Фофанова, Т. С. (2001) [1994], "Полумодульная решетка" , Энциклопедия математики , EMS Press. (Статья посвящена M-симметричным решеткам.)
- Стерн, Манфред (1999), Полумодульные решетки , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-46105-4.
Внешние ссылки [ править ]
- «Полумодульная решетка» . PlanetMath .
- Последовательность OEIS A229202 (количество немеченых полумодулярных решеток с n элементами)
См. Также [ править ]
- Антиматроид
