Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математической области теории порядка , элемент из частично упорядоченного множества с наименьшим элементом 0 не является атомом , если 0 < и нет х , таких , что 0 < х < .

Эквивалентно, можно определить атом как элемент, который является минимальным среди ненулевых элементов, или, альтернативно, элемент, который покрывает наименьший элемент 0 .

Атомарные порядки [ править ]

Фиг.2. : Решетки делителей 4, с упорядочением « является делителем из », атомная, с 2 является единственным атомом и coatom. Это не атомистично, поскольку 4 не может быть получено как наименьшее общее кратное атомов.
Рис.1. : Мощности набор из множества { х , у , г } с упорядочением « является подмножеством из » является атомистическим частично упорядоченным множеством: каждый набор элементов может быть получен как объединения всех одноэлементных множеств под ним.

Обозначим <: отношение покрытия в частично упорядоченном множестве.

Частично упорядоченное множество с наименьшим элементом 0 является атомарный , если каждый элемент Ь  >  0 имеет атом А под ним, то есть, есть некоторые таким образом, что б  ≥   :>  0 . Каждый конечный частично упорядоченный набор с 0 является атомарным, но набор неотрицательных действительных чисел (упорядоченных обычным образом) не является атомарным (и фактически не имеет атомов).

Частично упорядоченный набор является относительно атомарным (или сильно атомарным ), если для всех a  <  b существует такой элемент c , что a  <:  c  ≤  b или, что то же самое, если каждый интервал [ a ,  b ] атомарен. Каждый относительно атомарный частично упорядоченный набор с наименьшим элементом является атомарным. Каждый конечный ч.у. относительно атомарен.

Частично упорядоченное множество с наименьшим элементом 0 называется атомистическим, если каждый элемент является наименьшей верхней границей набора атомов. Линейный порядок с тремя элементами не является атомистическим (см. Рис. 2).

Атомы в частично упорядоченных множествах являются абстрактными обобщениями синглетонов в теории множеств (см. Рис. 1). Атомарность (свойство быть атомарным) обеспечивает абстрактное обобщение в контексте теории порядка способности выбирать элемент из непустого набора.

Coatoms [ править ]

Термины коатом , коатомик и коатомизм имеют двойное определение. Таким образом, в частично упорядоченном множестве с наибольшим элементом 1 говорят, что

  • coatom является элемент покрыт 1 ,
  • набор является коатомным, если каждый b  <  1 имеет коатом c над ним, и
  • набор является коатомистическим, если каждый элемент является точной нижней границей набора коатомов.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]