Состояние восходящей цепи

В математике , то условие восходящей цепи ( ACC ) и нисходящее состояние цепи ( DCC ) являются конечность свойство удовлетворяют некоторые алгебраические структуры , наиболее важно идеалами в некоторых коммутативных кольцах . ^[1]^[2]^[3] Эти условия сыграли важную роль в развитии структурной теории коммутативных колец в работах Дэвида Гильберта , Эмми Нётер и Эмиля Артина . Сами условия можно сформулировать в абстрактной форме, чтобы они имели смысл для любогочастично заказанный комплект . Эта точка зрения полезна в абстрактной алгебраической теории размерности Габриэля и Рентшлера.

Определение [ править ]

Частично упорядоченное множество (ч.у.м.) Р называется удовлетворяет условие восходящей цепи (ACC) , если нет бесконечной строго не возрастающей последовательности

{\ Displaystyle а_ {1} <а_ {2} <а_ {3} <\ cdots}

элементов P существует. ^[4] Аналогично, ^{[примечание 1]} каждая слабо возрастающая последовательность

{\ displaystyle a_ {1} \ leq a_ {2} \ leq a_ {3} \ leq \ cdots,}

элементов P в конечном итоге стабилизируется, что означает, что существует натуральное число n такое, что

{\ displaystyle a_ {n} = a_ {n + 1} = a_ {n + 2} = \ cdots.}

Аналогичным образом , Р называется удовлетворяют условию минимальности (DCC) , если не существует бесконечная убывающая цепочка элементов P . ^[4] Аналогично, каждая слабо убывающая последовательность

{\ displaystyle a_ {1} \ geq a_ {2} \ geq a_ {3} \ geq \ cdots}

элементов P в конечном итоге стабилизируется.

Комментарии [ редактировать ]

Если предположить , что аксиомой зависимого выбора , условие минимальности на (возможно , бесконечный) посета P эквивалентно P быть обоснованным : каждое непустое подмножество Р имеет минимальный элемент (также называемый минимальное условие или минимальное условие ). Упорядоченное множество , хорошо обоснованный является вполне упорядоченным множеством .
Точно так же условие возрастающей цепочки эквивалентно тому, что P является обратимым хорошо обоснованным (опять же, предполагая зависимый выбор): каждое непустое подмножество P имеет максимальный элемент ( условие максимума или условие максимума ).
Каждый конечный уп удовлетворяет условиям как восходящей, так и нисходящей цепочки, и, таким образом, является хорошо обоснованным и обратное хорошо обоснованным.

Пример [ править ]

Рассмотрим кольцо

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} = \ {\ точки, -3, -2, -1,0,1,2,3, \ точки \}}

целых чисел. Каждый идеал состоит из всех кратных некоторого числа . Например, идеальный ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle n}$

I=\{\dots ,-18,-12,-6,0,6,12,18,\dots \}

состоит из всех кратных . Позволять $6$

J=\{\dots ,-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots \}

быть идеалом, состоящим из всех кратных . Идеал содержится внутри идеала , поскольку каждое кратное также является кратным . В свою очередь, идеал содержится в идеале , поскольку каждое кратное кратно . Однако на данный момент нет большего идеала; мы достигли максимума . $2$ $I$ $J$ $6$ $2$ $J$ $\mathbb {Z}$ $2$ $1$ $\mathbb {Z}$

В общем, если есть идеалы такого, что содержится в , содержится в и т. Д., То есть такие, для которых все . То есть через какой-то момент все идеалы становятся равны друг другу. Следовательно, идеалы удовлетворяют условию возрастающей цепи, где идеалы упорядочены по включению множества. Следовательно , нетерово кольцо . $I_{1},I_{2},I_{3},\dots$ $\mathbb {Z}$ $I_{1}$ $I_{2}$ $I_{2}$ $I_{3}$ $n$ $I_{n}=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdots$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

^ Доказательство: во-первых, очевидно, что строго возрастающая последовательность не может стабилизироваться. И наоборот, предположим, что существует восходящая последовательность, которая не стабилизируется; тогда очевидно, что он содержит строго возрастающую (обязательно бесконечную) подпоследовательность. Обратите внимание, что доказательство не использует в полной мере выбранную аксиому. ^{[ требуется разъяснение ]}

^ Хазевинкель, Губарени & Кириченко (2004), стр.6, Prop. 1.1.4.
^ Fraleigh & Katz (1967), стр. 366, лемма 7.1
^ Якобсон (2009), стр. 142 и 147
^ ^a ^b Hazewinkel, Michiel. Энциклопедия математики . Kluwer. п. 580. ISBN 1-55608-010-7.

Ссылки [ править ]

Атья, MF , и IG MacDonald, Введение в коммутативную алгебру , Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9
Михиль Хазевинкель , Надежда Губарени, В.В. Кириченко. Алгебры, кольца и модули . Kluwer Academic Publishers , 2004. ISBN 1-4020-2690-0.
Джон Б. Фрали, Виктор Дж. Кац. Первый курс абстрактной алгебры . Издательство Эддисон-Уэсли. 5 изд., 1967. ISBN 0-201-53467-3
Натан Джейкобсон . Базовая алгебра И. Довер, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1

Внешние ссылки [ править ]

«Является ли эквивалентность условия восходящей цепи и условия максимума аксиоме зависимого выбора?» .

[5] Доказательство: во-первых, очевидно, что строго возрастающая последовательность не может стабилизироваться. И наоборот, предположим, что существует восходящая последовательность, которая не стабилизируется; тогда очевидно, что он содержит строго возрастающую (обязательно бесконечную) подпоследовательность. Обратите внимание, что доказательство не использует в полной мере выбранную аксиому. ^{[ требуется разъяснение ]}

[1] Хазевинкель, Губарени & Кириченко (2004), стр.6, Prop. 1.1.4.

[2] Fraleigh & Katz (1967), стр. 366, лемма 7.1

[3] Якобсон (2009), стр. 142 и 147

[Hazewinkel-4] Hazewinkel, Michiel. Энциклопедия математики . Kluwer. п. 580. ISBN 1-55608-010-7.

[1]