В абстрактной алгебре , то условие возрастающая цепочка может быть применена к ч.у.м. главного слева, справа, основного или основных двусторонних идеалов кольца , частично упорядоченное по включению . Условие восходящей цепи на главных идеалов (сокращенно ACCP ) удовлетворяется , если не существует бесконечная строго возрастающая цепочка главных идеалов данного типа (слева / справа / двусторонний) в кольце, или указанный другой способ, каждая возрастающая цепочка в конечном итоге постоянна.
Условие параллельной нисходящей цепочки также может применяться к этим позициям, однако в настоящее время нет необходимости в терминологии «DCCP», поскольку такие кольца уже называются левыми или правыми совершенными кольцами . (См. § Некоммутативные кольца ниже.)
Нётеровы кольца (например, области главных идеалов ) являются типичными примерами, но некоторые важные нётеровы кольца также удовлетворяют (ACCP), особенно области уникальной факторизации и совершенные слева или справа кольца.
Коммутативные кольца
Хорошо известно, что ненулевая неединица в нётеровой области целостности делится на неприводимые . Доказательство этого опирается только на (ACCP), но не на (ACC), поэтому в любой области целостности с (ACCP) существует неприводимая факторизация. (Другими словами, любые области целостности с (ACCP) являются атомарными . Но обратное неверно, как показано в ( Grams 1974 ).) Такая факторизация не может быть уникальной; обычный способ установить единственность факторизаций использует лемму Евклида , которая требует, чтобы множители были простыми, а не просто неприводимыми. Действительно, имеется следующая характеристика: пусть A - область целостности. Тогда следующие эквивалентны.
- А - УФД.
- A удовлетворяет (ACCP), и каждая неприводимая часть A проста.
- A - это область GCD, удовлетворяющая (ACCP).
Так называемый критерий Нагаты имеет место для интегрального домена А , удовлетворяющего (ACCP): Пусть S быть мультипликативно замкнутое подмножество из А , порожденный простых элементов. Если локализация S −1 A является UFD, то A тоже . ( Нагата 1975 , лемма 2.1) (Обратите внимание, что обратное утверждение тривиально.)
Область целостности A удовлетворяет (ACCP) тогда и только тогда, когда кольцо многочленов A [ t ] удовлетворяет . [1] Аналогичный факт неверен, если A не является областью целостности. ( Хайнцер и Ланц 1994 )
Область целостности , где каждый конечно порожденный идеал главный (то есть, область Безу ) удовлетворяет условию (ОКАЗАНИЕ) , если и только если она является областью главных идеалов . [2]
Кольцо Z + X Q [ X ] всех рациональных многочленов с целым постоянным членом является примером области целостности (фактически, области НОД), которая не удовлетворяет (ACCP), для цепочки главных идеалов
не прекращается.
Некоммутативные кольца
В некоммутативном случае возникает необходимость отличать правую ACCP от левой ACCP . В первом случае требуется только чуство идеалов формы xR, чтобы удовлетворить условию возрастающей цепи, а во втором - только чуство идеалов формы Rx .
Теорема Хаймана Басса в ( Bass 1960 ), теперь известная как «Теорема Басса P», показала, что условие убывающей цепи на главных левых идеалах кольца R эквивалентно тому, что R является совершенным справа кольцом . Д. Иона показал в ( Jonah 1970 ), что существует соединение с переключением сторон между ACCP и совершенными кольцами. Было показано, что если R совершенен справа (удовлетворяет правому DCCP), то R удовлетворяет левому ACCP, а симметрично, если R идеально слева (удовлетворяет левому DCCP), то он удовлетворяет правому ACCP. Обратное неверно, и указанные выше переключения между «левым» и «правым» не являются опечатками.
Независимо от того, выполняется ли ACCP на правой или левой стороне R , это означает, что R не имеет бесконечного множества ненулевых ортогональных идемпотентов и что R является дедекиндовым конечным кольцом . ( Лам 1999 , стр. 230–231).
Рекомендации
- ^ Гилмер, Роберт (1986), "Свойство E в коммутативных моноидных кольцах", Групповые и полугрупповые кольца (Йоханнесбург, 1985) , North-Holland Math. Stud., 126 , Амстердам: Северная Голландия, стр. 13–18, MR 0860048.
- ^ Доказательство: в области Безу ACCP эквивалентна ACC на конечно порожденных идеалах , но, как известно, это эквивалентно ACC на всех идеалах. Таким образом, это область нетерова и Безу, следовательно, область главных идеалов.
- Басс, Хайман (1960), "Конечная размерность и гомологическое обобщение полупервичных колец", Trans. Амер. Математика. Soc. , 95 : 466-488, DOI : 10,1090 / s0002-9947-1960-0157984-8 , ISSN 0002-9947 , МР 0157984
- Грамс, Энн (1974), "Атомные кольца и условие возрастающей цепи для главных идеалов", Proc. Cambridge Philos. Soc. , 75 : 321-329, DOI : 10,1017 / s0305004100048532 , МР 0340249
- Хайнцер, Уильям Дж .; Ланц, Дэвид С. (1994), "ACCP в кольцах многочленов: контрпример", Proc. Амер. Математика. Soc. , 121 (3): 975-977, DOI : 10,2307 / 2160301 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2160301 , МР 1232140
- Иона, Дэвид (1970), «Кольца с условием минимума для главных правых идеалов имеют условие максимума для главных левых идеалов», Math. З. , 113 : 106-112, DOI : 10.1007 / bf01141096 , ISSN 0025-5874 , MR 0260779
- Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, Руководство по ремонту 1653294
- Нагата, Масаёши (1975), «Некоторые типы простых расширений колец» (PDF) , Houston J. Math. , 1 (1): 131–136, ISSN 0362-1588 , MR 0382248[ постоянная мертвая ссылка ]