Идеальное кольцо

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Март 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В области абстрактной алгебры, известной как теория колец , совершенное слева кольцо - это тип кольца, в котором все левые модули имеют проективные покрытия . Правый случай определяется аналогично, и условие не является симметричным слева направо; то есть существуют кольца, идеально подходящие с одной стороны, но не с другой. Идеальные кольца были введены в ( Bass 1960 ).

Полусовершенное кольцо представляет собой кольцо , над которыми каждый конечно порожденный левый модуль имеет проективное покрытие. Это свойство симметрично слева и справа.

Идеальное кольцо [ править ]

Определения [ править ]

Следующие эквивалентные определения совершенного слева кольца R можно найти в ( Anderson, Fuller & 1992, p.315 ) :

Каждый левый R- модуль имеет проективное покрытие.
R / J ( R ) полупросто, а J ( R ) T-нильпотентно слева (то есть для каждой бесконечной последовательности элементов J ( R ) существует n такое, что произведение первых n членов равняется нулю), где J ( R ) является радикал Джекобсона из R .
( Теорема Басса P ) R удовлетворяет условию убывающей цепи для главных правых идеалов. (Здесь нет ошибки; это условие на правые главные идеалы эквивалентно совершенству слева кольца .)
Каждый плоский левый R -модуль проективен .
R / J ( R ) полупрост, и каждый ненулевой левый R- модуль содержит максимальный подмодуль .
R не содержит бесконечного ортогонального набора идемпотентов , и каждый ненулевой правый модуль R содержит минимальный подмодуль.

Примеры [ править ]

Правые или левые артиновы кольца и полупримарные кольца, как известно, совершенны справа и слева.
Ниже приведен пример (из-за Баса) местного кольца, которое является правильным, но не идеальным слева. Пусть F быть полем, и рассмотрим некоторое кольцо бесконечных матриц над F .

Возьмем множество бесконечных матриц с элементами, индексированными × ℕ, и у которых есть только конечное число ненулевых элементов, все они выше диагонали, и обозначим это множество через . Также возьмите матрицу со всеми единицами по диагонали и сформируйте набор

{\ displaystyle J}

{\ Displaystyle I \,}

{\ Displaystyle R = \ {е \ cdot I + j \ mid f \ in F, j \ in J \} \,}

Можно показать , что R представляет собой кольцо с единицей, которой радикал Джекобсона является J . Кроме того, R / J является полем, так что R локально, а R совершенен справа, но не совершенен слева. ( Лам и 2001, стр. 345-346 )

Свойства [ править ]

Для левого совершенного кольца R :

Из эквивалентностей выше, каждый левый R- модуль имеет максимальный подмодуль и проективное покрытие, а плоские левые R- модули совпадают с проективными левыми модулями.
Аналог критерия Бэра справедлив для проективных модулей. ^{[ необходима цитата ]}

Полусовершенное кольцо [ править ]

Определение [ править ]

Пусть R кольцо. Тогда R полусовершенно, если выполнено одно из следующих эквивалентных условий:

R / J ( R ) является полупрост и идемпотентами поднимать по модулю J ( R ), где J ( R ) является радикал Джекобсона из R .
R имеет полный ортогональный набор идемпотентов e ₁ , ..., e _n, причем каждое e _i R e _i является локальным кольцом .
Каждый простой левый (правый) R -модуль имеет проективное покрытие .
Каждый конечно порожденный левый (правый) R -модуль имеет проективное покрытие.
Категория конечно порожденных проективных -модулей - это категория Крулля-Шмидта . $R$

Примеры [ править ]

Примеры полусовершенных колец включают:

Слева (справа) идеальные кольца.
Местные кольца .
Теорема Капланского о проективных модулях
Слева (справа) артиновы кольца .
Конечномерные k -алгебры .

Свойства [ править ]

Поскольку кольцо R полусовершенно тогда и только тогда, когда каждый простой левый R -модуль имеет проективное покрытие, каждое кольцо Морита, эквивалентное полусовершенному кольцу, также является полусовершенным.

Ссылки [ править ]

Андерсон, Фрэнк В. Фуллер; Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Springer, стр. 312–322, ISBN 0-387-97845-3
Бас, Хайман (1960), "Finitistic размерности и гомологической обобщение полу-первичных колец", Труды Американского математического общества , 95 (3): 466-488, DOI : 10,2307 / 1993568 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1993568 , Руководство по ремонту 0157984
Лам, Т.Ю. (2001), Первый курс некоммутативных колец , Тексты для выпускников по математике, 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xx + 385, DOI : 10.1007 / 978-1-4419-8616 -0 , ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439