Конечно порожденный модуль

В математике , А конечно порожденный модуль представляет собой модуль , который имеет конечное порождающее множество . Конечнопорожденной модуль над кольцом R также может быть названа конечным R - модуль , конечна над R , ^[1] или модуль конечного типа .

Связанные концепции включают конечно порожденные модули , конечно представленные модули , конечно связанные модули и когерентные модули, все из которых определены ниже. Над нётеровым кольцом понятия конечно порожденных, конечно представимых и когерентных модулей совпадают.

Конечно порожденный модуль над полем - это просто конечномерное векторное пространство , а конечно порожденный модуль над целыми числами - это просто конечно порожденная абелева группа .

Определение [ править ]

Левый R - модуль M конечно порожден , если существуют ₁ , ₂ , ..., _п в М такое , что для любого х в М , то существуют г ₁ , г ₂ , ..., г _п в R где x = r ₁ a ₁ + r ₂ a ₂ + ... + r _n a _n .

Множество { ₁ , ₂ , ..., _п } называется в качестве порождающего множества из М в этом случае. Конечное генераторная установка не должно быть основой, так как это не должно быть линейно независимы над R . Верно то, что M конечно порождено тогда и только тогда, когда существует сюръективное R -линейное отображение :

${\ displaystyle R ^ {n} \ к M}$

для некоторого n ( M - фактор свободного модуля конечного ранга.)

Если набор S порождает модуль, который является конечно порожденным, то существует конечный порождающий набор, который включен в S , поскольку только конечное число элементов в S необходимо для выражения любого конечного порождающего множества, и эти конечное число элементов образуют порождающий набор . Однако может случиться так, что S не содержит никакого конечного порождающего множества минимальной мощности . Например, {1} и набор простых чисел являются порождающими наборами, рассматриваемыми как -модуль, но порождающий набор, сформированный из простых чисел, имеет по крайней мере два элемента.${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

В случае , когда модуль М является векторным пространством над полем R , а генераторный агрегат линейно независим , п является хорошо определенно , и упоминается как измерение из М ( четко определенные средства , что любой линейно независимая генерация набора n элементов: это теорема о размерности векторных пространств ).

Любой модуль - это объединение направленного множества своих конечно порожденных подмодулей.

Модуль М конечно порожден тогда и только тогда , когда любой возрастающая цепь М _я подмодули с накидным М стабилизирует: то есть, есть некоторый я такое , что М _я = М . Этот факт с леммой Цорна означает, что каждый ненулевой конечно порожденный модуль допускает максимальные подмодули . Если любая возрастающая цепочка подмодулей стабилизируется (т. Е. Любой подмодуль конечно порожден), то модуль M называется нётеровым модулем .

Примеры [ править ]

• Если модуль создается одним элементом, он называется циклическим модулем .
• Пусть R - область целостности, а K - ее поле частных. Тогда каждый конечно порожденный R подмодуль I из K является дробный идеал : то есть, существует некоторый ненулевой г в R такое , что Р.И. содержится в R . Действительно, можно взять г на произведение знаменателей генераторов I . Если R нетерово, то таким образом возникает любой дробный идеал.
• Конечно порожденные модули над кольцом целых Z совпадают с конечно порожденными абелевыми группами . Они полностью классифицируются структурной теоремой , принимая Z в качестве области главных идеалов.
• Конечно порожденные (скажем, левые) модули над телом - это в точности конечномерные векторные пространства (над телом).

Некоторые факты [ править ]

Каждый гомоморфный образ конечно порожденного модуля конечно порожден. Вообще говоря, подмодули конечно порожденных модулей не обязательно должны быть конечно порожденными. В качестве примера, рассмотрим кольцо R  =  Z [ X ₁ , Х ₂ , ...] всех многочленов в счетно многих переменных. Сам R является конечно порожденным R -модулем (с порождающим множеством {1}). Рассмотрим подмодуль K, состоящий из всех этих многочленов с нулевым постоянным членом. Поскольку каждый многочлен содержит только конечное число членов с ненулевыми коэффициентами, R-модуль K не конечно порожден.

В общем случае модуль называется нётеровым, если каждый подмодуль конечно порожден. Конечно порожденный модуль над нётеровым кольцом является нётеровым модулем (и действительно, это свойство характеризует нётеровы кольца): модуль над нётеровым кольцом конечно порождён тогда и только тогда, когда он является нётеровым модулем. Это похоже на теорему Гильберта о базисе , но не совсем точную , которая утверждает, что кольцо многочленов R [ X ] над нётеровым кольцом R нётерово. Из обоих фактов следует, что конечно порожденная коммутативная алгебра над нётеровым кольцом снова является нётеровым кольцом.

В более общем смысле алгебра (например, кольцо), которая является конечно порожденным модулем, является конечно порожденной алгеброй . Наоборот, если конечно порожденная алгебра является целой (над кольцом коэффициентов), то это конечно порожденный модуль. (Подробнее см. Интегральный элемент .)

Пусть 0 → M ′ → M → M ′ ′ → 0 - точная последовательность модулей. Тогда M конечно порождено, если M ′ , M ′ ′ конечно порождены. Есть некоторые частичные обращения к этому. Если M конечно порождено и M '' конечно определено (что сильнее конечно порождено; см. Ниже), то M ′ конечно порождено. Кроме того, M нётерово (соответственно артиново) тогда и только тогда, когда M ′ , M ′ ′ нётеровы (соответственно артиновы).

Пусть B - кольцо и A - его подкольцо, такое что B - строго плоский правый A -модуль. Тогда левый A- модуль F конечно порожден (соответственно конечно представим) тогда и только тогда, когда B -модуль B ⊗ _A F конечно порожден (соответственно конечно представим). ^[2]

Конечно порожденные модули над коммутативным кольцом [ править ]

Для конечно порожденных модулей над коммутативным кольцом R , леммы Накаяма является фундаментальным. Иногда лемма позволяет доказать явления конечномерных векторных пространств для конечно порожденных модулей. Например, если F  : М → М является сюръективен R -endomorphism конечно порожденным модулем М , тем F также инъективна , и , следовательно , является автоморфизмом из М . ^[3] Это просто говорит о том, что M - хопфов модуль . Аналогично артинов модуль Mявляется coHopfian : любой инъективный эндоморфизм е также сюръективная Эндоморфизм. ^[4]

Любой R -модуль является индуктивным пределом конечно порожденных R -подмодулей. Это полезно для ослабления предположения до конечного случая (например, характеризации плоскостности с помощью функтора Tor ).

Пример связи между конечным порождением и целыми элементами можно найти в коммутативных алгебрах. Сказать, что коммутативная алгебра A является конечно порожденным кольцом над R, означает, что существует набор элементов G = { x ₁ , ..., x _n } кольца A такой, что наименьшее подкольцо A, содержащее G и R, является A сам. Поскольку кольцевое произведение может использоваться для объединения элементов, генерируются не только R- линейные комбинации элементов G. Например,кольцо многочленов R [ x ] конечно порождается {1, x } как кольцо, но не как модуль . Если A - коммутативная алгебра (с единицей) над R , то следующие два утверждения эквивалентны: ^[5]

• A - конечно порожденный R- модуль.
• Является как конечным числом образующих кольца над R и целое расширение из R .

Общий ранг [ править ]

Пусть М конечно порожденный модуль над областью целостности А с полем частных K . Тогда размерность называется общим рангом из M над A . Это число совпадает с числом максимально А -линейно независимыми векторов в М или , что эквивалентно в ранге максимального свободного подмодуля М . (ср. ранг абелевой группы .) Поскольку , - периодический модуль . Когда A нетерово, по общей свободе существует элемент f (в зависимости от${\ displaystyle \ operatorname {dim} _ {K} (M \ otimes _ {A} K)}$${\ Displaystyle (M / F) _ {(0)} = M _ {(0)} / F _ {(0)} = 0}$${\ Displaystyle M / F}$M ) такой, что является свободным -модулем. Тогда ранг этого свободного модуля общий ранг M .${\ Displaystyle М [е ^ {- 1}]}$${\ Displaystyle А [е ^ {- 1}]}$

Теперь предположим, что область целостности A порождается как алгебра над полем k конечным числом однородных элементов степеней . Пусть M оценивается как хорошо , и пусть будет ряд Пуанкаре из M . По теореме Гильберта – Серра существует многочлен F такой, что . Тогда это общий ранг M . ^[6]${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle P_{M}(t)=\sum \operatorname {dim} _{k}(M_{n})t^{n}}$${\displaystyle P_{M}(t)=F(t)\prod (1-t^{d_{i}})^{-1}}$${\displaystyle F(1)}$

Конечно порожденный модуль над областью главных идеалов не имеет кручения тогда и только тогда, когда он свободен. Это следствие структурной теоремы для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов , основная форма которой гласит, что конечно порожденный модуль над PID является прямой суммой модуля кручения и свободного модуля. Но это также можно показать непосредственно следующим образом: пусть M - конечно порожденный модуль без кручения над PID A, а F - максимальный свободный подмодуль. Пусть f находится в A такое, что . Тогда свободен, так как это подмодуль свободного модуля, а A - PID. Но сейчас${\displaystyle fM\subset F}$${\displaystyle fM}$${\displaystyle f:M\to fM}$является изоморфизмом, поскольку M не имеет кручения.

По тем же аргументам, что и выше, конечно порожденный модуль над дедекиндовской областью A (или, в более общем смысле, полунаследственным кольцом ) не имеет кручения тогда и только тогда, когда он проективен ; следовательно, конечно порожденный модуль над A является прямой суммой модуля кручения и проективного модуля. Конечно порожденный проективный модуль над нётеровой областью целостности имеет постоянный ранг, поэтому общий ранг конечно порожденного модуля над A - это ранг его проективной части.

Эквивалентные определения и конечно когенерационные модули [ править ]

Следующие условия эквивалентны конечнопорожденной M (fg):

• Для любого семейства подмодулей { N _i | я ∈ I} в М , если , то для некоторого конечного подмножества F из I .${\displaystyle \sum _{i\in I}N_{i}=M\,}$${\displaystyle \sum _{i\in F}N_{i}=M\,}$
• Для любой цепочки подмодулей { N _i | я ∈ I} в М , если , то Н _я = M для некоторого я в I .${\displaystyle \bigcup _{i\in I}N_{i}=M\,}$
• Если это эпиморфизмом , то ограничение является эпиморфизмом для некоторого конечного подмножества F из I .${\displaystyle \phi :\bigoplus _{i\in I}R\to M\,}$${\displaystyle \phi :\bigoplus _{i\in F}R\to M\,}$

Из этих условий легко видеть, что быть конечно порожденным - это свойство, сохраняемое эквивалентностью Мориты . Эти условия также удобно определить двойное понятие конечного копорожденных модуля M . Следующие условия эквивалентны конечно когенерации модуля (f.cog.):

• Для любого семейства подмодулей { N _i | я ∈ I} в М , если , то для некоторого конечного подмножества F из I .${\displaystyle \bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,}$${\displaystyle \bigcap _{i\in F}N_{i}=\{0\}\,}$
• Для любой цепочки подмодулей { N _i | я ∈ I} в М , если , то Н _я = {0} для некоторого я в I .${\displaystyle \bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,}$
• Если это -мономорфизм , где каждый представляет собой R модуль, то мономорфно для некоторого конечного подмножества F из I .${\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in I}N_{i}\,}$${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in F}N_{i}\,}$

Оба модуля fg и f.cog. модули имеют интересные отношения с нётеровыми и артиновыми модулями, а также с радикалом Джекобсона J ( M ) и цоколем soc ( M ) модуля. Следующие факты иллюстрируют двойственность между двумя условиями. Для модуля M :

• М нётеров тогда и только тогда , когда каждый подмодуль N из M является фг
• M артиново тогда и только тогда, когда каждый фактор-модуль M / N является f.cog.
• M является fg тогда и только тогда, когда J ( M ) является лишним подмодулем в M , а M / J ( M ) является fg
• M - f.cog. тогда и только тогда, когда soc ( M ) является существенным подмодулем в M , а soc ( M ) является fg
• Если M - полупростой модуль (например, soc ( N ) для любого модуля N ), он является fg тогда и только тогда, когда f.cog.
• Если M является fg и отличным от нуля, то M имеет максимальный подмодуль и любой фактор-модуль M / N является fg
• Если M - f.cog. и отлична от нуля, то М имеет минимальный подмодуль, и любой подмодуль N из M является f.cog.
• Если N и M / N равны fg, то M тоже . То же самое верно, если "fg" заменить на "f.cog".

Конечно-когенерационные модули должны иметь конечную однородную размерность . В этом легко убедиться, применив характеристику с помощью конечно порожденного существенного цоколя. В некоторой степени асимметрично, конечно порожденные модули не обязательно имеют конечную равномерную размерность. Например, бесконечное прямое произведение ненулевых колец является конечно порожденным (циклическим!) Модулем над самим собой, однако очевидно, что оно содержит бесконечную прямую сумму ненулевых подмодулей. Конечно порожденные модули не обязательно имеют конечную ко-равномерную размерность : любое кольцо R с единицей такое, что R / J ( R ) не является полупростым кольцом, является контрпримером.

Конечно представленные, конечно связанные и когерентные модули [ править ]

Другая формулировка такова: конечно порожденный модуль M - это модуль, для которого существует эпиморфизм

F: R ^K → M .

Предположим теперь есть эпиморфизм,

φ: F → М .

для модуля M и свободного модуля F .

• Если ядро функции φ конечно порождено, то M называется конечно связанным модулем . Поскольку M изоморфен F / ker (φ), это в основном означает, что M получается путем взятия свободного модуля и введения конечного числа отношений внутри F (генераторов ker (φ)).
• Если ядро ​​функции φ конечно порождено и F имеет конечный ранг (т. Е. F = R ^k ), то M называется конечно представимым модулем . Здесь M задается с помощью конечного числа образующих (образов k образующих F = R ^k ) и конечного числа соотношений (образующих ker (φ)). См. Также: бесплатная презентация . Конечно определенные модули можно охарактеризовать абстрактным свойством в категории R -модулей : они в точности представляют собой компактные объекты в этой категории.
• Когерентное модуль М конечно порожденный модуль, конечно порожденные подмодули являются конечно.

Над любым кольцом R когерентные модули конечно представимы, а конечно определенные модули конечно порождены и конечно связаны. Для нётерова кольца R конечно порожденное, конечно представимое и когерентное являются эквивалентными условиями на модуле.

Некоторый кроссовер происходит для проективных или плоских модулей. Конечно порожденный проективный модуль конечно определен, а конечно связанный плоский модуль проективен.

Верно также, что для кольца R следующие условия эквивалентны :

1. R - когерентное справа кольцо .
2. Модуль R _R является когерентным модулем.
3. Каждый конечно представимый правый R- модуль когерентен.

Хотя когерентность кажется более громоздким условием, чем конечно порожденные или конечно представимые, она лучше их, поскольку категория когерентных модулей является абелевой категорией , в то время как, в общем, ни конечно порожденные, ни конечно представленные модули не образуют абелеву категорию.

См. Также [ править ]

• Составной элемент
• Лемма Артина – Риса.
• Счетно сгенерированный модуль
• Конечная алгебра

Ссылки [ править ]

Учебники [ править ]

• Atiyah, MF; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., Стр. Ix + 128, MR  0242802
• Бурбаки, Николя , Коммутативная алгебра. Главы 1-7 . Перевод с французского. Перепечатка английского перевода 1989 года. Элементы математики (Берлин). Springer-Verlag, Berlin, 1998. xxiv + 625 с. ISBN 3-540-64239-0 
• Каплански, Ирвинг (1970), Коммутативные кольца , Бостон, Массачусетс: Allyn and Bacon Inc., стр. X + 180, MR  0254021
• Лам, Т.Ю. (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике № 189, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5
• Лэнг, Серж (1997), Алгебра (3-е изд.), Аддисон-Уэсли , ISBN 978-0-201-55540-0
• Мацумура, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец , Кембриджские исследования в области высшей математики, 8 , Перевод с японского М. Рейд (2-е изд.), Кембридж: Cambridge University Press, стр. Xiv + 320, ISBN 0-521-36764-6, MR  1011461
• Спрингер, Тонни А. (1977), теория инвариантов , конспект лекций по математике, 585 , Springer, doi : 10.1007 / BFb0095644 , ISBN 978-3-540-08242-2.