В математике , точнее в теории колец , максимальный идеал - это идеал, который является максимальным (относительно включения множества ) среди всех собственных идеалов. [1] [2] Другими словами, I - максимальный идеал кольца R, если между I и R нет других идеалов .
Максимальные идеалы имеют важное значение , так как факторгруппы колец максимальными идеалами являются простыми кольцами , а в частном случае унитальных коммутативных колец они также поля .
В некоммутативной теории колец максимальный правый идеал определяется аналогично как максимальный элемент в ч.у.м. собственных правых идеалов, и аналогично максимальный левый идеал определяется как максимальный элемент ч.у.м. собственных левых идеалов. Поскольку односторонний максимальный идеал не обязательно двусторонний, фактор R / не обязательно является кольцо, но это простой модуль над R . Если R имеет единственный максимальный правый идеал, то R называется локальным кольцом , а максимальный правый идеал также является единственным максимальным левым и единственным максимальным двусторонним идеалом кольца и фактически является радикалом Джекобсона J ( R ).
Кольцо может иметь уникальный максимальный двусторонний идеал и при этом не иметь уникальных максимальных односторонних идеалов: например, в кольце квадратных матриц 2 на 2 над полем нулевой идеал является максимальным двусторонним идеалом. , но есть много максимальных правых идеалов.
Определение
Существуют и другие эквивалентные способы выражения определения максимальных односторонних и максимальных двусторонних идеалов. Учитывая кольцо R и собственный идеал I в R (то есть я ≠ R ), I является максимальным идеалом R , если любой из следующих эквивалентных условий:
- Там не существует никакой другой собственный идеал J из R , так что I ⊊ J .
- Для любого идеала J с I ⊆ J , либо J = I или J = R .
- Фактор-кольцо R / I - простое кольцо.
Есть аналогичный список для односторонних идеалов, для которых будут приведены только правые версии. Для правого идеала A кольца R следующие условия эквивалентны тому, что A является максимальным правым идеалом кольца R :
- Там не существует никакого другого надлежащего правоидеальный B в R , так что ⊊ B .
- Для любого правого идеала B с A ⊆ B , либо B = A или B = R .
- Фактормодуль R / A является простым правым R -модулем.
Максимальные правые / левые / двусторонние идеалы являются двойным понятием , что и минимальных идеалов .
Примеры
- Если F - поле, то единственный максимальный идеал - это {0}.
- В кольце Z целых чисел максимальные идеалы - это главные идеалы, порожденные простым числом.
- В более общем смысле, все ненулевые простые идеалы максимальны в области главных идеалов .
- Идеал является максимальным идеалом в кольце . Как правило, максимальные идеалы имеют форму где простое число и является многочленом от который является неприводимым по модулю .
- Каждый первичный идеал является максимальным идеалом в булевом кольце, т. Е. Кольцом, состоящим только из идемпотентных элементов. На самом деле каждый первичный идеал максимален в коммутативном кольце всякий раз, когда существует целое число такой, что для любой .
- Максимальные идеалы кольца многочленов главные идеалы, порожденные для некоторых .
- В более общем смысле, максимальные идеалы кольца многочленов K [ x 1 , ..., x n ] над алгебраически замкнутым полем K - это идеалы вида ( x 1 - a 1 , ..., x n - a n ) . Этот результат известен как слабый Nullstellensatz .
Характеристики
- Важный идеал кольца, называемый радикалом Джекобсона, можно определить с помощью максимальных правых (или максимальных левых) идеалов.
- Если R - коммутативное кольцо с единицей с идеалом m , то k = R / m - поле тогда и только тогда, когда m - максимальный идеал. В этом случае R / m называется полем вычетов . Этот факт может потерпеть неудачу в неунитарных кольцах. Например, является максимальным идеалом в , но это не поле.
- Если L - максимальный левый идеал, то R / L - простой левый R -модуль. Наоборот, в кольцах с единицей возникает любой простой левый R -модуль. Между прочим это показывает , что коллекция представителей простого левого R -модулями на самом деле множество , так как он может быть поставлен в соответствие с частью множества максимальных левых идеалов R .
- Теорема Крулля (1929): Каждое ненулевое кольцо с единицей имеет максимальный идеал. Результат также верен, если «идеальный» заменить на «правый идеал» или «левый идеал». В более общем смысле верно, что каждый ненулевой конечно порожденный модуль имеет максимальный подмодуль. Предположим, что I - идеал, не являющийся R (соответственно, A - правый идеал, не являющийся R ). Тогда R / I - кольцо с единицей (соответственно, R / A - конечно порожденный модуль), и поэтому приведенные выше теоремы можно применить к фактору, чтобы заключить, что существует максимальный идеал (соответственно максимальный правый идеал)кольца R содержащий I (соответственно A ).
- Теорема Крулля может быть неверной для колец без единицы. Радикальное кольцо , то есть кольцо , в котором Jacobson радикал представляет собой полное кольцо, не имеет простых модулей и , следовательно , не имеет максимальное права или левые идеалов. Смотрите обычные идеалы, чтобы узнать о возможных способах обойти эту проблему.
- В коммутативном кольце с единицей каждый максимальный идеал является первичным идеалом . Обратное не всегда верно: например, в любой неполевой области целостности нулевой идеал является простым идеалом, который не является максимальным. Коммутативные кольца, в которых простые идеалы максимальны, известны как нульмерные кольца , где в качестве размерности используется размерность Крулля .
- Максимальный идеал некоммутативного кольца может не быть простым в коммутативном смысле. Например, пусть быть кольцом для всех матрицы над . Это кольцо имеет максимальный идеал для любого прайма , но это не главный идеал, так как а также (для ) не в , но . Однако максимальные идеалы некоммутативных колец являются главными в обобщенном смысле ниже.
Обобщение
Для R - модуля A , A максимальный подмодуль М из А является подмодулем М ≠ , удовлетворяющий тем свойством , что для любого другого подмодуль N , M ⊆ N ⊆ означает N = M или N = A . Эквивалентно, M является максимальным подмодулем тогда и только тогда, когда фактор-модуль A / M является простым модулем . Максимальные правые идеалы кольца R в точности максимальные подмодули модуля R R .
В отличие от колец с единицей ненулевой модуль не обязательно имеет максимальные подмодули. Однако, как отмечалось выше, конечно порожденные ненулевые модули имеют максимальные подмодули, а также проективные модули имеют максимальные подмодули.
Как и в случае с кольцами, можно определить радикал модуля с помощью максимальных подмодулей. Кроме того, максимальные идеалы могут быть обобщены путем определения максимального суб-бимодулем M из более бимодуля B , чтобы быть надлежащим суб-бимодуль M , которая содержится ни в каком другом надлежащего суб-бимодуля М . Максимальные идеалы R тогда именно максимальные суб-бимодули бимодуле R R R .
Рекомендации
- ^ Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 0-471-43334-9.
- ^ Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для выпускников по математике . Springer . ISBN 0-387-95385-X.
- Андерсон, Фрэнк У .; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для выпускников по математике, 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. X + 376, doi : 10.1007 / 978-1-4612- 4418-9 , ISBN 0-387-97845-3, Руководство по ремонту 1245487
- Лам, Т.Ю. (2001), Первый курс некоммутативных колец , Тексты для выпускников по математике, 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xx + 385, DOI : 10.1007 / 978-1-4419-8616 -0 , ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439