Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В ветви абстрактной алгебры , известная как теории колец , минимальный правый идеал из кольца R является ненулевым правым идеалом , который не содержит никакого другого ненулевой правого идеала. Аналогично, минимальный левый идеал ненулевой левый идеал R , не содержащая от нуля левых идеалов R , а минимальный идеал из R представляет собой ненулевой идеал , не содержащий никакой другой ненулевой двусторонний идеал R . ( Айзекс 2009 , стр.190)

Другими словами, минимальные правые идеалы являются минимальными элементами этого посета ненулевой правые идеалы R упорядочены по включению. Читателя предупреждают, что вне этого контекста некоторые множества идеалов могут допускать нулевой идеал, и поэтому нулевой идеал потенциально может быть минимальным элементом в этом множестве. Это так для ч.у.м. первичных идеалов кольца, которое может включать нулевой идеал как минимальный первичный идеал .

Определение [ править ]

Определение минимального правого идеала N кольца R равносильно следующим условиям:

  • N не равен нулю , а если К является правым идеалом R с {0} ⊆ K ⊆ N , то либо K = {0} или К = Н .
  • N - простой правый R -модуль.

Минимальные правые идеалы являются двойным понятием для максимальных правых идеалов .

Свойства [ править ]

Многие стандартные факты о минимальных идеалах можно найти в стандартных текстах, таких как ( Anderson & Fuller 1992 ), ( Isaacs 2009 ), ( Lam 2001 ) и ( Lam 1999 ).

  • В кольце с единицей , максимальные правые идеалы всегда существуют. Напротив, минимальные правые, левые или двусторонние идеалы в кольце с единицей могут не существовать.
  • Правый цоколь кольца является важной структурой определен в терминах минимальных правых идеалов R .
  • Кольца, каждый правый идеал которых содержит минимальный правый идеал, - это в точности кольца с существенным правым цоколем.
  • Любое правое артиново кольцо или правое кольцо Каша имеет минимальный правый идеал.
  • Домены , которые не являются деление кольца не имеют минимальные правые идеалы.
  • В кольцах с единицей, минимальные правые идеалы обязательно являются главными правыми идеалами , потому что для любого ненулевых х в минимальном правом идеале N , множество кИ являются ненулевым правым идеалом R внутри N , и так кИ = Н .
  • Леммы Брауэра: Любой минимальный правый идеал N в кольце R удовлетворяет N 2 = {0} или N = Е.Р. для некоторых идемпотентной элементы е из R . ( Лам 2001 , стр.162)
  • Если N 1 и N 2 - неизоморфные минимальные правые идеалы кольца R , то произведение N 1 N 2 равно {0}.
  • Если N 1 и N 2 - различные минимальные идеалы кольца R , то N 1 N 2 = {0}.
  • Простое кольцо с минимальным правым идеалом является полупростым кольцом .
  • В полупервичном кольце существует минимальный правый идеал тогда и только тогда, когда существует минимальный левый идеал. ( Лам 2001 , стр.174)

Обобщение [ править ]

Ненулевая подмодуль N правого модуля М называется минимальный подмодуль , если он не содержит других ненулевых подмодулей М . Эквивалентно N - ненулевой подмодуль в M, который является простым модулем . Это также может быть расширена до бимодулей путем вызова ненулевой суб-бимодулем N с минимальной суб-бимодулем из M , если N не содержит других ненулевых суб-бимодули.

Если модуль M берется правый R - модуль R R , то очевидно , что минимальные подмодули именно минимальные правые идеалы R . Кроме того, минимальные левые идеалы R в точности минимальные подмодули левого модуля R R . При двусторонних идеалах, мы видим , что минимальные идеалы R в точности минимального юга бимодули бимодуле R R R .

Как и в случае с кольцами, нет гарантии, что в модуле существуют минимальные подмодули. Минимальные подмодули могут использоваться для определения цоколя модуля .

Ссылки [ править ]

  • Андерсон, Фрэнк У .; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для выпускников по математике , 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. X + 376, ISBN 0-387-97845-3, Руководство по ремонту  1245487
  • Айзекс, И. Мартин (2009) [1994], Алгебра: аспирантура , Исследования в области математики , 100 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. Xii + 516, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR  2472787
  • Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, Руководство по ремонту  1653294
  • Лам, TY (2001), Первый курс некоммутативных колец , Graduate Texts in Mathematics, 131 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. Xx + 385, ISBN 0-387-95183-0, MR  1838439

Внешние ссылки [ править ]

  • http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Minimal_ideal