Кольцо Kasch

В теории колец , подпол абстрактной алгебры , А правый Kasch кольцо является кольцо R , для которых каждого простого правого R модуль изоморфен правого идеала в R . ^[1] Аналогично определяется понятие левого кольца Каша , и эти два свойства не зависят друг от друга.

Кольца Каша названы в честь математика Фридриха Каша . Первоначально Каш назвал артиновы кольца , собственные идеалы которых имеют ненулевые аннуляторы, S-кольцами . ( Kasch 1954 ) ( Morita 1966 ) Приведенные ниже характеризации показывают, что кольца Каша обобщают S-кольца.ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFKasch1954 ( справка ) harv error: no target: CITEREFMorita1966 (help)

Определение

Эквивалентные определения будут введены только для правой версии, при том понимании, что левые аналоги также верны. Условия Каша имеют несколько эквивалентных утверждений, использующих концепцию аннигиляторов , и в этой статье используются те же обозначения, что и в статье об аннигиляторах.

В дополнение к определению, данному во введении, следующие свойства являются эквивалентными определениями для кольца R правого Каша. Они появляются в ( Lam 1999 , p. 281):

1. Для каждого простого правого R модуля S , есть модуль ненулевой гомоморфизм из М в R .
2. В максимальные правые идеалы из R являются правыми аннуляторы кольцевых элементов, то есть, каждый из которых имеет вид , где х находится в R .${\displaystyle \mathrm {r.ann} (x)\,}$
3. Для любого максимального правого идеала Т из R , .${\displaystyle \mathrm {\ell .ann} (T)\neq \{0\}}$
4. Для любого правильного правого идеала Т из R , .${\displaystyle \mathrm {\ell .ann} (T)\neq \{0\}}$
5. Для любого максимального правого идеала Т из R , .${\displaystyle \mathrm {r.ann} (\mathrm {\ell .ann} (T))=T}$
6. R не имеет плотных правых идеалов, кроме самого R.

Примеры

Приведенное ниже содержание можно найти в таких источниках, как ( Faith 1999 , p. 109) , ( Lam 1999 , §§8C, 19B), ( Nicholson & Yousif 2003 , p.51) . harv error: no target: CITEREFFaith1999 (help) harv error: no target: CITEREFNicholsonYousif2003 (help)

• Пусть R быть полупримарное кольцо с радикалом Джекобсона J . Если R коммутативно или если R / J - простое кольцо , то R - правый (и левый) Каш. В частности, коммутативными артиновыми кольцами являются правые и левые кольца Каша.
• Для телесного кольца k рассмотрим некоторое подкольцо R кольца матриц размером четыре на четыре с элементами из k . Подкольцо R состоит из матриц следующего вида:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&0&b&c\\0&a&0&d\\0&0&a&0\\0&0&0&e\end{bmatrix}}}$

Это правое и левое артиново кольцо, которое является правым Кашем, но не левым Кашем.

• Пусть S -кольцо степенных рядов от двух некоммутирующих переменных X и Y с коэффициентами из поля F . Пусть идеал A - это идеал, порожденный двумя элементами YX и Y ² . Фактор - кольцо S / является локальным кольцом , которое является правильным Kasch , но не оставила Каши.
• Предположим, что R - кольцевое прямое произведение бесконечного числа ненулевых колец, помеченных как A _k . Прямая сумма от A _к образует собственный идеал R . Легко проверить, что левый и правый аннигиляторы этого идеала равны нулю, а значит, R не является ни правым, ни левым Кашем.
• Верхнее (или нижнее) треугольное кольцо матриц два на два не является правым или левым Кашем.
• Кольцо с нулевым правым цоколем (т.е. ) не может быть правым Кашем, так как кольцо не содержит минимальных правых идеалов . Так, например, домены , не являющиеся делительными кольцами , не являются правым или левым Кашем.${\displaystyle \mathrm {soc} (R_{R})=\{0\}}$

использованная литература

• Вера, Карл (1999), Кольца и вещи и прекрасный массив ассоциативной алгебры двадцатого века , Mathematical Surveys and Monographs, 65 , Providence, RI: American Mathematical Society, pp. Xxxiv + 422, ISBN 978-0-8218-0993-8, MR  1657671
• Каш, Фридрих (1954), "Grundlagen einer Theorie der Frobeniuserweiterungen" , Math. Анна. (на немецком языке ), 127 : 453-474, DOI : 10.1007 / bf01361137 , ISSN  0025-5831 , МР  0062724

• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, Руководство по ремонту  1653294
• Морита, Киити (1966), "О S- образных кольцах в смысле Ф. Каша", Nagoya Math. J. , 27 (2): 687-695, DOI : 10,1017 / S0027763000026477 , ISSN  0027-7630 , МР  0199230
• Николсон, WK; Юсиф, MF (2003), Квазифробениусовые кольца , Кембриджские трактаты по математике, 158 , Кембридж: Cambridge University Press, стр. Xviii + 307, DOI : 10.1017 / CBO9780511546525 , ISBN 978-0-521-81593-2, MR  2003785