В абстрактной алгебре , разделе математики , простое кольцо - это ненулевое кольцо , у которого нет двустороннего идеала, кроме нулевого идеала и самого себя. В частности, коммутативное кольцо является простым кольцом тогда и только тогда, когда оно является полем .
Центр простого кольца обязательно поле. Отсюда следует, что простое кольцо является ассоциативной алгеброй над этим полем. Итак, простая алгебра и простое кольцо - синонимы.
Некоторые ссылки (например, Lang (2002) или Bourbaki (2012)) требуют дополнительно, чтобы простое кольцо было левым или правым артиновым (или, что эквивалентно, полупростым ). В такой терминологии ненулевое кольцо без нетривиальных двусторонних идеалов называется квазипростым .
Кольца, простые как кольца, но не являющиеся простым модулем над собой, действительно существуют: полное матричное кольцо над полем не имеет никаких нетривиальных идеалов (поскольку любой идеал в M n ( R ) имеет вид M n ( I ) с I идеал R ), но имеет нетривиальные левые идеалы (например, наборы матриц, которые имеют некоторые фиксированные нулевые столбцы).
Согласно теореме Артина – Веддерберна каждое простое кольцо, которое является артиновым слева или справа, является матричным кольцом над телом . В частности, единственными простыми кольцами, которые являются конечномерным векторным пространством над действительными числами, являются кольца матриц над действительными числами, комплексными числами или кватернионами .
Примером простого кольца, не являющегося кольцом матриц над телом, является алгебра Вейля .
Характеристика [ править ]
Кольцо является простой алгеброй , если она не содержит нетривиальные двусторонние идеалов .
Непосредственным примером простых алгебр являются алгебры с делением , где каждый ненулевой элемент имеет мультипликативную обратную, например, вещественную алгебру кватернионов . Кроме того, можно показать, что алгебра матриц размера n × n с элементами телесного кольца проста. Фактически, это характеризует все конечномерные простые алгебры с точностью до изоморфизма , т. Е. Любая простая алгебра, конечномерная над своим центром, изоморфна матричной алгебре над некоторым телом. Это было доказано в 1907 году Джозефом Веддербурном в его докторской диссертации « О гиперкомплексных числах» , опубликованной вТруды Лондонского математического общества . В диссертации Веддерберна классифицируются простые и полупростые алгебры . Простые алгебры являются строительными блоками полупростых алгебр: любая конечномерная полупростая алгебра является декартовым произведением в смысле алгебр простых алгебр.
Позднее результат Веддерберна был обобщен на полупростые кольца в теореме Артина – Веддерберна .
Примеры [ править ]
- Центральная простая алгебра (иногда называемая Брауэра алгеброй) является простой конечномерной алгеброй над полем F , чей центр является F .
Пусть R - поле действительных чисел, C - поле комплексных чисел, а H - кватернионы .
- Каждый конечномерен простая алгебра над R изоморфна кольцу матриц над R , C , или H . Каждая центральная простая алгебра над R изоморфно кольцу матриц над R или H . Эти результаты следуют из теоремы Фробениуса .
- Каждая конечная простая алгебра над C является центральной простой алгеброй, и изоморфно кольцо матриц над C .
- Всякая конечномерная центральная простая алгебра над конечным полем изоморфна кольцу матриц над этим полем.
- Для коммутативного кольца следующие четыре свойства эквивалентны: быть полупростым кольцом ; быть артистичными и редуцированными ; будучи уменьшена нетерово кольцо из Крулля 0; и будучи изоморфным конечному прямому произведению полей.
Теорема Веддерберна [ править ]
Теорема Веддерберна характеризует простые кольца с единицей и минимальным левым идеалом. (Левое артиново условие является обобщением второго предположения.) А именно, оно говорит, что каждое такое кольцо является с точностью до изоморфизма кольцом матриц размера n × n над телом.
Пусть D будет разделение кольца и М н ( Д ) кольцо матриц с элементами из D . Нетрудно показать, что каждый левый идеал в M n ( D ) принимает следующий вид:
- { M ∈ M n ( D ) | в п 1 , ..., п К -й столбцам М имеют нулевые записи},
для некоторого фиксированного { n 1 , ..., n k } ⊆ {1, ..., n }. Итак, минимальный идеал в M n ( D ) имеет вид
- { M ∈ M n ( D ) | все, кроме k -го столбца, не содержат записей},
для данного k . Другими словами, если I - минимальный левый идеал, то I = M n ( D ) e , где e - идемпотентная матрица с 1 в элементе ( k , k ) и нулем в другом месте. Кроме того, D изоморфен e M n ( D ) e . Левый идеал I можно рассматривать как правый модуль над e M n ( D ) e , а кольцо M n( D ) , очевидно, изоморфна алгебре гомоморфизмов на этом модуле.
Приведенный выше пример подсказывает следующую лемму:
Лемма. Представляет собой кольцо с единицей 1 и идемпотент е , где AeA = . Пусть I - левый идеал Ae , рассматриваемый как правый модуль над eAe . Тогда A изоморфна алгебре гомоморфизмов на I , обозначаемой Hom ( I ).
Доказательство: Определим "левое регулярное представление" Φ: → Hom ( I ) Ф ( ) т = я для т ∈ I . Φ инъективен, потому что если a ⋅ I = aAe = 0 , то aA = aAeA = 0 , откуда следует, что a = a ⋅ 1 = 0 .
Для сюръективности пусть T ∈ Hom ( I ) . Поскольку AeA = A , единицу 1 можно выразить как 1 = ∑ a i eb i . Так
- T ( m ) = T (1 ⋅ m ) = T (∑ a i eb i m ) = ∑ T ( a i eeb i m ) = ∑ T ( a i e ) eb i m = [∑ T ( a i e ) eb i ] m .
Поскольку выражение [∑ T ( a i e ) eb i ] не зависит от m , Φ сюръективно. Это доказывает лемму.
Теорема Веддерберна легко следует из леммы.
Теорема ( Веддерберн ). Если A - простое кольцо с единицей 1 и минимальным левым идеалом I , то A изоморфно кольцу матриц размера n × n над телом.
Просто нужно проверить условия леммы, т.е. найти идемпотент e такой, что I = Ae , а затем показать, что eAe - тело . Предположение A = AeA следует из простоты A.
См. Также [ править ]
- Простой (алгебра)
- Простая универсальная алгебра
Ссылки [ править ]
- А.А. Альберт , Структура алгебр , Коллоквиум, публикации 24 , Американское математическое общество , 2003, ISBN 0-8218-1024-3 . С.37.
- Бурбаки, Николас (2012), Algèbre Ch. 8 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-35315-7
- Хендерсон, DW (1965). «Краткое доказательство теоремы Веддерберна». Амер. Математика. Ежемесячно . 72 : 385–386. DOI : 10.2307 / 2313499 .
- Лам, Цит-Юэн (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4419-8616-0 , ISBN 978-0-387-95325-0, MR 1838439
- Ланг, Серж (2002), Алгебра (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0387953854
- Джейкобсон, Натан (1989), Основная алгебра II (2-е изд.), WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5