В алгебре , то Артина- Wedderburn теорема является классификация теорема для полупростых колец и полупростых алгебр . Теорема утверждает , что (артины) [1] полупростое кольцо R изоморфно продукт из конечного числа п я матрица с размерностью п я матричные кольцами над телами D I , для некоторых целых п I , оба из которых однозначно определяются до перестановке индекса i . В частности, любой простой левый или правыйАртиново кольцо изоморфно N матрицу с размерностью п матричного кольца над разделением кольца D , где оба п и D однозначно определяются. [2]
Теорема
Пусть R - полупростое кольцо . Тогда R изоморфен произведение конечного числа п я матрица с размерностью п я матричные кольцами над телами D i для некоторых целых чисел n i , оба из которых определены однозначно с точностью до перестановки индекса i .
Если R - конечномерная полупростая k -алгебра, то каждое D i в приведенном выше утверждении является конечномерной алгеброй с делением над k . Центр каждого D я не должен быть к ; это может быть конечное расширение из к .
Заметим , что если R является конечным простая алгебра над телом Е , D нет необходимости содержится в E . Например, кольца матриц над комплексными числами являются конечномерными простыми алгебрами над действительными числами .
Следствие 1.
Артина- Веддерберна теорема следует , что каждое простое кольцо , что конечномерно над телом изоморфно N матрицы с размерностью п матричного кольца над разделением кольцом D , где оба п и D однозначно определяются. [2] Это оригинальный результат Джозефа Веддерберна . Эмиль Артин позже обобщил его на случай левых или правых артиновых колец . В частности, если является алгебраически замкнутым полем, то кольцо матриц, имеющее элементы из является единственной конечномерной алгеброй с делением над .
Следствие 2.
Пусть k - алгебраически замкнутое поле. Пусть R - полупростое кольцо, являющееся конечномерной k -алгеброй. Тогда R - конечное произведение где положительные целые числа, и это алгебра матрицы над k .
Последствие
Артина- Веддерберна теорема сводит задачу классификации конечномерных центральных простых алгебр над полем K к задаче классификации конечномерных центральной алгебры с делением над K .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Полупростые кольца обязательно являются артиновыми кольцами . Некоторые авторы используют термин «полупростой» для обозначения кольца, имеющего тривиальный радикал Джекобсона . Для артиновых колец эти два понятия эквивалентны, поэтому здесь включено «артиново», чтобы устранить эту двусмысленность.
- ^ a b Джон А. Бичи (1999). Вводные лекции по кольцам и модулям . Издательство Кембриджского университета. п. 156 . ISBN 978-0-521-64407-5.
- PM Cohn (2003) Основная алгебра: группы, кольца и поля , страницы 137–9.
- JHM Веддерберн (1908). «О гиперкомплексных числах» . Труды Лондонского математического общества . 6 : 77–118. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-6.1.77 .
- Артин, Э. (1927). "Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen". 5 : 251–260. Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь )