Расширение поля

В математике , в частности , в алгебре , А расширение поля является пара полей таких , что операции Е являются те из F ограничены в Е . В этом случае F является расширение поля из Е и Е является подполе из F . ^[1]^[2]^[3] Так , например, в соответствии с обычными понятиями дополнения и умножения , что комплексные числа являются продолжением полем из действительных чисел ${\ displaystyle E \ substeq F,}$ ; действительные числа являются подполем комплексных чисел.

Расширения полей являются фундаментальными в алгебраической теории чисел и в изучении корней многочленов с помощью теории Галуа и широко используются в алгебраической геометрии .

Подполе [ править ]

Подполе из поля L является подмножеством К из L , что это поле по отношению к операции на местах , унаследованных от L . Эквивалентно, подполе есть подмножество, содержащее 1, и закрыт относительно операций сложения, вычитания, умножения, и принимая обратную ненулевого элемента K .

Поскольку $1 - 1 = 0$ , последнее определение подразумевает, что K и L имеют один и тот же нулевой элемент.

Например, поле рациональных чисел - это подполе действительных чисел , которое само является подполем комплексных чисел. В более общем смысле, поле рациональных чисел является (или изоморфно ) подполем любого поля характеристики 0.

Характеристика из подпола такой же , как с характеристикой большего поля.

Поле расширения [ править ]

Если K подполе L , то L представляет собой поле расширения или просто расширение из K , и эта пара полей является расширение поля . Такое расширение поля обозначается L / K (читается как « L над K »).

Если L является расширением F , который в свою очередь является расширением К , то Р называется собой промежуточное поле (или промежуточное расширение или подрасширение ) из L / K .

Учитывая расширение поля L / K , тем больше поле L является K - векторное пространство . Размерность этого векторного пространства называется степенью расширения и обозначается [ L : K ].

Степень расширения равна 1 тогда и только тогда, когда два поля равны. В этом случае расширение является тривиальным расширением . Расширения степени 2 и 3 называются квадратичными расширениями и кубическими расширениями соответственно. Конечное расширение является расширением , которое имеет конечную степень.

Для двух расширений L / K и M / L расширение M / K конечно тогда и только тогда, когда оба L / K и M / L конечны. В этом случае

{\ Displaystyle [M: K] = [M: L] \ cdot [L: K].}

Принимая во внимание расширение поля L / K и подмножество S из L , существует наименьшее подполе L , который содержит K и S . Это пересечение всех подполей L , содержащих K и S , и обозначается K ( S ). Говорят , что К ( S ) является поле генерируется с помощью S над K , и что S является порождающим множеством из K ( S ) надK . Когда конечно, одна записи вместо и один говорит , что K ( S ) конечно порожден над K . Если S состоит из одного элемента s , расширение K ( s ) / K называется простым расширением ^[4]^[5], а s называется примитивным элементом расширения. ^[6] ${\ Displaystyle S = \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \}}$ ${\ Displaystyle К (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ Displaystyle К (\ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \}),}$

Расширение поля вида К ( S ) часто называют результатом примыкания от S до K . ^[7]^[8]

В характеристике 0 каждое конечное расширение является простым расширением. Это теорема о примитивных элементах , которая не верна для полей с ненулевой характеристикой.

Если простое расширение К ( ы ) / К не является конечным числом, поле К ( ы ) изоморфна области рациональных дробей в с более чем K .

Предостережения [ править ]

Обозначение L / K является чисто формальным и не подразумевает образование фактор-кольца или фактор-группы или любого другого вида деления. Вместо этого косая черта обозначает слово «сверх». В некоторой литературе обозначение L : K используется.

Часто бывает желательно говорить о расширениях полей в ситуациях, когда малое поле фактически не содержится в большом, а естественным образом встроено. С этой целью можно абстрактно определить расширение поля как инъективный кольцевой гомоморфизм между двумя полями.Любой ненулевой гомоморфизм колец между полями инъективен, поскольку поля не обладают нетривиальными собственными идеалами, поэтому расширения полей - это в точности морфизмы в категории полей .

В дальнейшем мы будем подавлять инъективный гомоморфизм и предполагать, что имеем дело с актуальными подполями.

Примеры [ править ]

Поле комплексных чисел является полем расширения поля действительных чисел и, в свою очередь, является полем расширения поля рациональных чисел. Очевидно, тогда оно также является расширением поля. У нас есть потому , что это основа, поэтому расширение конечно. Это простое расширение, потому что ( мощность континуума ), поэтому это расширение бесконечно. ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R},}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q} .$ $\mathbb {C} /\mathbb {Q}$ $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$ $\{1,i\}$ $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ $\mathbb {C} =\mathbb {R} (i).$ $[\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]={\mathfrak {c}}$

Поле

\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\left.\left\{a+b{\sqrt {2}}\right|a,b\in \mathbb {Q} \right\},

является полем расширения, очевидно, также и простого расширения. Степень 2, потому что может служить основой. $\mathbb {Q} ,$ $\{1,{\sqrt {2}}\}$

Поле

{\begin{aligned}\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})&=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})({\sqrt {3}})\\&=\left.\left\{a+b{\sqrt {3}}\right|a,b\in \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\right\}\\&=\left.\left\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\right|a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\},\end{aligned}}

является расширение поля как и степени 2 и 4 соответственно. Это также простое расширение, поскольку можно показать, что $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ $\mathbb {Q} ,$

{\begin{aligned}\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})&=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})\\&=\left.\left\{a+b({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})+c({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}+d({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{3}\right|a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\}.\end{aligned}}

Конечные расширения также называются полями алгебраических чисел и важны в теории чисел . Другое поле расширения рациональных чисел, которое также важно в теории чисел, хотя и не является конечным расширением, - это поле p-адических чисел для простого числа p . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q} _{p}$

Оно является общим для построения поля расширения данного поля K как фактор - кольца из кольца многочленов K [ X ], чтобы «создать» корень для заданного полинома F ( X ). Предположим, например, что K не содержит никакого элемента x с x ² = −1. Тогда многочлен является неприводимым в K [ X ], следовательно, идеал , порожденный этим многочленом является максимальным , и является расширением поля K $X^{2}+1$ $L=K[X]/(X^{2}+1)$ который действительно содержит элемент, квадрат которого равен −1 (а именно, класс вычетов X ).

Повторяя приведенную выше конструкцию, можно построить поле расщепления любого многочлена из K [ X ]. Это поле расширения L из K , в котором заданный полином распадается в произведение линейных множителей.

Если p - любое простое число, а n - натуральное число, у нас есть конечное поле GF ( p ⁿ ) с p ⁿ элементами; это поле расширения конечного поля с p элементами. $\operatorname {GF} (p)=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$

Для поля K можно рассмотреть поле K ( X ) всех рациональных функций от переменной X с коэффициентами из K ; элементы K ( X ) являются дробями двух многочленов над K , и действительно, K ( X ) является полем частных кольца многочленов K [ X ]. Это поле рациональных функций является расширение поля K . Это расширение бесконечно.

Учитывая риманов поверхность М , множество всех мероморфных функций , определенных на М представляет собой поле, обозначенное Этим расширение трансцендентного поле , если мы идентифицируем каждое комплексное число с соответствующей постоянной функцией , определенной на М . В более общем плане , дается алгебраическое многообразие V над некоторым полем К , затем поле функции из V , состоящее из рациональных функций , определенных на V и обозначим через K ( V ), представляет собой расширение поля K . $\mathbb {C} (M).$ $\mathbb {C}$

Алгебраическое расширение [ править ]

Элемент х из поля расширения L / K алгебраический над K , если оно является корнем из ненулевого многочлена с коэффициентами из K . Например, является алгебраическим над рациональными числами, потому что это корень Если элемент x из L является алгебраическим над K , монический многочлен низшей степени, имеющий x в качестве корня, называется минимальным многочленом от x . Этот минимальный многочлен неприводит над K . ${\sqrt {2}}$ $x^{2}-2.$

Элемент s из L алгебраичен над K тогда и только тогда, когда простое расширение K ( s ) / K является конечным расширением. В этом случае степень расширения равна степени минимального многочлена, а базис К - векторное пространство K ( ы ) состоит из где d является степень минимального полинома. $1,s,s^{2},\ldots ,s^{d-1},$

Множество элементов L , которые являются алгебраическим над K образуют подрасширение, который называется алгебраическое замыкание из K в L . Это следует из предыдущей характеризации: если s и t алгебраические, расширения K ( s ) / K и K ( s ) ( t ) / K ( s ) конечны. Таким образом, K ( s , t ) / K также конечно, как и его подрасширения K( s ± t ) / K , K ( st ) / K и K (1 / s ) / K (если s ≠ 0 ). Отсюда следует, что s ± t , st и 1 / s алгебраические.

Алгебраическое расширение L / K является расширением таким образом, что каждый элемент из L является алгебраическим над K . Эквивалентно, алгебраическое расширение - это расширение, которое порождается алгебраическими элементами. Например, является алгебраическим расширением , поскольку и являются алгебраическими над $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ $\mathbb {Q}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {3}}$ $\mathbb {Q} .$

Простое расширение является алгебраическим тогда и только тогда, когда оно конечно. Отсюда следует, что расширение является алгебраическим тогда и только тогда, когда оно является объединением своих конечных подрасширений, и что каждое конечное расширение является алгебраическим.

Каждое поле K имеет алгебраическое замыкание, которое с точностью до изоморфизма является наибольшим полем расширения K, которое является алгебраическим над K , а также наименьшим полем расширения, таким, что каждый многочлен с коэффициентами из K имеет в нем корень. Например, это алгебраическое замыкание, но не алгебраическое замыкание, поскольку оно не является алгебраическим над (например, $π$ не является алгебраическим над ). $\mathbb {C}$ $\mathbb {R} ,$ $\mathbb {Q} ,$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Трансцендентальное расширение [ править ]

Принимая во внимание расширения поля L / K , подмножество S из L называется алгебраически независим над K , если не нетривиальное полиномиальное соотношение с коэффициентами в K не существует среди элементов S . По величине мощности алгебраически независимого множество называется степенью трансцендентности из L / K . Всегда можно найти множество S , алгебраически независимое над K , такое, что L / K ( S ) является алгебраическим. Такое множество Sназывается базис трансцендентности из L / K . Все базы трансцендентности имеют одинаковую мощность, равную степени трансцендентности расширения. Расширение L / K называется чисто трансцендентным тогда и только тогда, когда существует базис трансцендентности S в L / K такой, что L = K ( S ). Такое расширение обладает тем свойством, что все элементы L, кроме элементов K , трансцендентны над K, но, однако, есть расширения с этим свойством, которые не являются чисто трансцендентными - класс таких расширений имеет вид L / K, где и L, и K алгебраически замкнуты. Кроме того, если L / K чисто трансцендентно, а S является базисом трансцендентности расширения, из этого не обязательно следует, что L = K ( S ). Например, рассмотрим расширение, в котором x трансцендентен над Множеством алгебраически независимо, поскольку x трансцендентен. Очевидно, что расширение $\mathbb {Q} (x,{\sqrt {x}})/\mathbb {Q} ,$ $\mathbb {Q} .$ $\{x\}$ $\mathbb {Q} (x,{\sqrt {x}})/\mathbb {Q} (x)$ является алгебраическим, следовательно, является базисом трансцендентности. Он не генерирует весь расширение , потому что не существует полиномиального выражение для . Но легко видеть, что порождает основа трансцендентности, поэтому это расширение действительно чисто трансцендентно.) $\{x\}$ $x$ ${\sqrt {x}}$ $\{{\sqrt {x}}\}$ $\mathbb {Q} (x,{\sqrt {x}}),$

Нормальные, разделимые расширения и расширения Галуа [ править ]

Алгебраическое расширение L / K называется нормальным , если каждый неприводимый многочлен в K [ X ] , который имеет корень в L полностью факторы в линейные множители над L . Каждое алгебраическое расширение F / K допускает нормальное замыкание L , которое является полем расширений F такое, что L / K является нормальным и которое минимально с этим свойством.

Алгебраическое расширение L / K не называется разъемным , если минимальный многочлен каждого элемента L над K является разъемным , т.е., не имеет кратный корни в алгебраическом замыкании над K . Расширение Галуа - это расширение поля, которое является как нормальным, так и отделимым.

Следствие теоремы о примитивных элементах утверждает, что каждое конечное разделимое расширение имеет примитивный элемент (т.е. является простым).

Принимая во внимание любое расширение поля L / K , мы можем рассмотреть его группу автоморфизмов Aut ( L / K ), состоящее из всех полевых автоморфизмов а : L → L с альфа ( х ) = х для всех х в К . Когда расширение является расширением Галуа, эта группа автоморфизмов называется группой Галуа расширения. Расширения, у которых группа Галуа абелева , называются абелевыми расширениями .

Для данного расширения поля L / K часто интересуют промежуточные поля F (подполя L , содержащие K ). Значение расширений Галуа и групп Галуа состоит в том, что они позволяют полностью описать промежуточные поля: существует биекция между промежуточными полями и подгруппами группы Галуа, описываемая основной теоремой теории Галуа .

Обобщения [ править ]

Расширения поля можно обобщить на расширения кольца, которые состоят из кольца и одного из его подкольцев . Более близким некоммутативным аналогом являются центральные простые алгебры (CSA) - расширения кольца над полем, которые представляют собой простую алгебру (нет нетривиальных двусторонних идеалов, как и для поля), а центр кольца в точности равен поле. Например, единственным расширением конечного поля действительных чисел являются комплексные числа, в то время как кватернионы представляют собой центральную простую алгебру над действительными числами, а все CSA над действительными числами являются эквивалентами Брауэра действительным числам или кватернионам. CSA можно обобщить на алгебры Адзумая., где базовое поле заменено коммутативным локальным кольцом .

Расширение скаляров [ править ]

Учитывая расширение поля, можно « расширить скаляры » на ассоциированные алгебраические объекты. Например, учитывая реальное векторное пространство, можно получить комплексное векторное пространство с помощью комплексификации . Помимо векторных пространств, можно выполнить расширение скаляров для ассоциативных алгебр, определенных над полем, таких как полиномы или групповые алгебры и связанные с ними представления групп . Расширение скаляров многочленов часто используется неявно, просто рассматривая коэффициенты как элементы большего поля, но также может рассматриваться более формально. Расширение скаляров имеет множество приложений, как описано в разделе Расширение скаляров: приложения .

См. Также [ править ]

Теория поля
Глоссарий теории поля
Башня полей
Первичное расширение
Обычное продление

Заметки [ править ]

^ Fraleigh (1976 , стр. 293)
^ Херстейн (1964 , стр. 167)
↑ Маккой (1968 , стр.116)
^ Fraleigh (1976 , стр. 298)
^ Херстейн (1964 , стр. 193)
^ Fraleigh (1976 , стр. 363)
^ Fraleigh (1976 , стр. 319)
^ Херстейн (1964 , стр. 169)

Ссылки [ править ]

Фрали, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
Херштейн, И. Н. (1964), « Темы алгебры» , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
Ланг, Серж (2004), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (исправленное четвертое издание, исправленное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4
Маккой, Нил Х. (1968), Введение в современную алгебру, исправленное издание , Бостон: Аллин и Бэкон , LCCN 68015225

Внешние ссылки [ править ]

"Расширение поля" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Fraleigh (1976 , стр. 293)

[2] Херстейн (1964 , стр. 167)

[3] Маккой (1968 , стр.116)

[4] Fraleigh (1976 , стр. 298)

[5] Херстейн (1964 , стр. 193)

[6] Fraleigh (1976 , стр. 363)

[7] Fraleigh (1976 , стр. 319)

[8] Херстейн (1964 , стр. 169)

[1]