Характеристика (алгебра)

В Викиуке по дискретной математике есть страница по теме: Конечные поля

В математике , то характерным из кольца R , часто обозначается символ ( R ), определяется как наименьшее число раз нужно использовать кольцо в мультипликативной идентичности (1) в виде суммы , чтобы получить аддитивный идентичность (0). Если эта сумма никогда не достигает аддитивной идентичности, говорят, что кольцо имеет нулевую характеристику.

То есть char ( R ) - это наименьшее положительное число n такое, что

${\ displaystyle \ underbrace {1+ \ cdots +1} _ {n {\ text {summands}}} = 0}$

если такое число n существует, и 0 в противном случае.

Специальное определение нулевой характеристики мотивировано эквивалентными определениями, данными в § Другие эквивалентные характеризации , где нулевую характеристику не требуется рассматривать отдельно.

Характеристика также может быть принята как показатель аддитивной группы кольца, то есть наименьшее положительное n такое, что

${\displaystyle \underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ summands}}}=0}$

для каждого элемента a кольца (опять же, если n существует; в противном случае ноль). Некоторые авторы не включают элемент мультипликативной идентичности в свои требования к кольцу (см. Мультипликативная идентичность: обязательная и необязательная ), и это определение подходит для этого соглашения; в противном случае два определения эквивалентны из-за закона распределения в кольцах.

Другие эквивалентные характеристики [ править ]

• Характеристика - это натуральное число n такое, что n Z - ядро единственного гомоморфизма колец из Z в R ; ^[1]
• Характеристикой является натуральное число п такое , что R содержит подкольцо изоморфно на фактор - кольцо Z / н Z , который является изображение указанного выше гомоморфизма.
• Когда неотрицательные целые числа {0, 1, 2, 3, ...} частично упорядочены по делимости, то 1 - наименьшее, а 0 - наибольшее. Тогда характеристика кольца - это наименьшее значение n, для которого n ⋅ 1 = 0 . Если ничего «меньше» (в этом порядке), чем 0, будет достаточно, тогда характеристика равна 0. Это подходящее частичное упорядочение, поскольку char ( A × B ) является наименьшим общим кратным для char A и char B. , и что нет гомоморфизма колец f  : A → Bсуществует , если символ B делит не обугливается A .
• Характеристика кольца R равна n в точности, если из утверждения ka = 0 для всех a ∈ R следует, что k делится на n .

Случай колец [ править ]

Если R и S являются кольцами и существует гомоморфизм колец R → S , то характеристика S делит характеристику R . Иногда это можно использовать, чтобы исключить возможность некоторых гомоморфизмов колец. Единственное кольцо с характеристикой 1 - это нулевое кольцо , которое имеет только один элемент 0 = 1 . Если нетривиальное кольцо R не имеет нетривиальных делителей нуля , то его характеристика либо равна нулю , либо проста . В частности, это относится ко всем полям , ко всем областям целостности и ко всемделительные кольца . Любое кольцо характеристики 0 бесконечно.

Кольцо Z / n Z целых чисел по модулю n имеет характеристику n . Если R является Подкольцом из S , то R и S имеют одинаковые характеристики. Например, если p простое число и q ( X ) неприводимый многочлен с коэффициентами в поле F _p , то фактор-кольцо F _p [ X ] / ( q ( X )) является полем характеристикистр . Другой пример: Поле С из комплексных чисел содержит Z , так что характеристика C = 0.

Z / п Z - алгебра является то же самое кольцо, характеристика которого делит п . Это потому, что для каждого кольца R существует кольцевой гомоморфизм Z → R , и это отображение факторизуется через Z / n Z тогда и только тогда, когда характеристика кольца R делит n . В этом случае для любого r в кольце добавление r к самому себе n раз дает nr = 0 .

Если коммутативное кольцо R имеет простую характеристику p , то мы имеем ( x + y ) ^p = x ^p + y ^p для всех элементов x и y в R - « мечта первокурсника » верна для мощности p . Отображение F ( х ) = х ^р затем определяет гомоморфизм колец R → R . Это называется гомоморфизмом Фробениуса . Если R -целостное это инъективны .

Случай полей [ редактировать ]

Как упоминалось выше, характеристика любого поля - либо 0, либо простое число. Поле ненулевой характеристики называется полем конечной характеристики или положительной характеристики или простой характеристики .

Любое поле F имеет единственное минимальное подполе , также называемое его простым полем . Это подполе изоморфно либо полю рациональных чисел Q, либо конечному полю F _p простого порядка. Тип изоморфизма простого поля и характеристики определяют друг друга. Поля нулевой характеристики обладают наиболее известными свойствами; для практических целей они напоминают подполя комплексных чисел (если только они не имеют очень большой мощности , то есть фактически, любое поле характеристики нуль и мощность не более континуума(кольцево) изоморфно подполю комплексных чисел). ^[2] В р-адических полей или любое конечное расширение них характерны нулевые поля, сильно применяемые в теории чисел, которые построены из колец характеристики р ^к , как к → ∞.

Для любого упорядоченного поля , такого как поле рациональных чисел Q или поле действительных чисел R , характеристика равна 0. Таким образом, числовые поля и поле комплексных чисел C имеют нулевую характеристику. Фактически, каждое поле нулевой характеристики является полем частных кольца Q [X] / P, где X - множество переменных, а P - множество многочленов в Q [X]. Конечное поле GF ( р ^п ) имеет характеристику р . Существуют бесконечные поля простой характеристики. Например, поле всех рациональных функций над Z/ Р Z , то алгебраическое замыкание из Z / р Z или поле формальных рядов Лорана Z / р Z ((T)). Характеристический показатель определяется аналогично, за исключением того, что оно равно 1 , если характеристика равна нулю; в противном случае он имеет то же значение, что и характеристика. ^[3]

Размер любого конечного кольца простой характеристики p равен степени p . Поскольку в этом случае он должен содержать Z / p Z, он также должен быть векторным пространством над этим полем, и из линейной алгебры мы знаем, что размеры конечных векторных пространств над конечными полями являются степенью размера поля. Это также показывает, что размер любого конечного векторного пространства является степенью простого числа. (Это векторное пространство над конечным полем, которое, как мы показали, имеет размер p ⁿ , поэтому его размер равен ( p ⁿ ) ^m = p ^nm .)

Ссылки [ править ]

• Нил Х. Маккой (1964, 1973) Теория колец , Chelsea Publishing , стр. 4.