В сне Freshman в этом имя иногда дается к ошибочному уравнению ( х + у ) п = х п + у п , где п представляет собой действительное число (обычно положительное целое число больше 1). Начинающие студенты обычно совершают эту ошибку при вычислении степени суммы действительных чисел, ошибочно полагая, что степени распределяются по суммам. [1] [2] Когда n = 2, легко понять, почему это неверно: ( x + y ) 2 можно правильно вычислить как x 2 + 2xy + y 2 с использованием распределенности (широко известного как метод FOIL ). Для больших положительных целых значений n правильный результат дает биномиальная теорема .
Название «мечта первокурсников в» иногда относится к теореме , которая говорит , что для простого числа р , если х и у являются членами коммутативного кольца из характерного р , то ( х + у ) р = х р + у р . В этом более экзотическом типе арифметики «ошибка» фактически дает правильный результат, поскольку p делит все биномиальные коэффициенты, кроме первого и последнего, в результате чего все промежуточные члены равны нулю.
Тождество действительно верно в контексте тропической геометрии , где умножение заменяется сложением, а сложение заменяется минимумом . [3]
Примеры
- , но .
- обычно не равно . Например,, что не равно 3 + 4 = 7 . В этом примере ошибка фиксируется с показателем n =1/2.
Основная характеристика
При р является простым числом , а х и у являются членами коммутативного кольца из характерного р , то ( х + у ) р = х р + у р . Это можно увидеть, исследуя простые множители биномиальных коэффициентов: n- й биномиальный коэффициент равен
Числителем является р факториала , которая делится на р . Однако, когда 0 < n < p , оба n ! и ( п - п )! взаимно просты с p, так как все множители меньше p и p простое число. Поскольку биномиальный коэффициент всегда является целым числом, n- й биномиальный коэффициент делится на p и, следовательно, равен 0 в кольце. У нас остались нулевой и p- й коэффициенты, которые равны 1, что дает искомое уравнение.
Таким образом, в характеристике p мечта первокурсника - действительная личность. Этот результат демонстрирует, что возведение в степень с помощью p приводит к эндоморфизму , известному как эндоморфизм Фробениуса кольца.
Требование, чтобы характеристика p была простым числом, является центральным условием истинности мечты первокурсника. Связанная теорема утверждает, что если p простое, то ( x + 1) p ≡ x p + 1 в кольце многочленов . Эта теорема является ключевым фактом в современной проверке простоты. [4]
История и альтернативные имена
История возникновения термина «мечта первокурсника» несколько неясна. В 1940 году по статье модульных полей , Маклейн цитирует Стивен Клини замечание о том , что знание ( в + б ) 2 = 2 + Ь 2 в поле характеристики 2 будет продажных студентов первокурсников по алгебре . Это может быть первая связь между «первокурсником» и биномиальным расширением в полях положительной характеристики. [5] С тех пор авторы школьных учебников по алгебре обратили внимание на распространенную ошибку. Первое фактическое подтверждение фразы «мечта первокурсника», по-видимому, содержится в учебнике алгебры для выпускников Хангерфорда (1974), где он цитирует МакБрайена. [6] Альтернативные термины включают « возведение в степень новичка », использованное в Fraleigh (1998). [7] Сам термин «мечта первокурсника» в нематематическом контексте используется с 19 века. [8]
Поскольку расширение ( x + y ) n правильно дается биномиальной теоремой , мечта первокурсника также известна как « биномиальная теорема ребенка » [4] или « биномиальная теорема школьника ».
Смотрите также
Рекомендации
- ↑ Хулио Р. Бастида, Расширения полей и теория Галуа , издательство Addison-Wesley Publishing Company, 1984, стр.8.
- ^ Fraleigh, Джон Б., A Первый курс в общей алгебре , Addison-Wesley Publishing Company, 1993, P.453, ISBN 0-201-53467-3 .
- ^ Difusión DM (23 февраля 2018 г.), Introduction to Tropical Algebraic Geometry (1 из 5) , получено 11 июня 2019 г.
- ^ a b А. Гранвиль, Легко определить, является ли данное целое число простым , Bull. AMS, том 42, номер 1 (сентябрь 2004 г.), страницы 3–38.
- ^ Колин Р. Флетчер, Обзор избранных статей по алгебре, под редакцией Сьюзен Монтгомери , Элизабет В. Ральстон и других. Стр. XV, 537. 1977. ISBN 0-88385-203-9 (Математическая ассоциация Америки) , The Mathematical Gazette , Vol. 62, No. 421 (октябрь 1978 г.), The Mathematical Association. п. 221.
- ↑ Томас У. Хангерфорд, Алгебра, Springer, 1974, стр. 121; также в Абстрактной алгебре: Введение , 2-е издание. Брукс Коул, 12 июля 1996 г., стр. 366.
- ^ Джон Б. Fraleigh, A Первый курс в абстрактной алгебре , шестое издание, Addison-Wesley, 1998. стр. 262 и 438.
- ^ Книги Google 1800–1900 ищите "мечту первокурсника" : сборник Бентли, том 26, с. 176 , 1849 г.