ФОЛЬГА метод

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Поиск источников: «Метод FOIL» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( апрель 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Визуальное представление правила FOIL. Каждая цветная линия представляет два члена, которые необходимо умножить.

В элементарной алгебре , ФОЛЬГИ являются Мнемоникой для стандартного метода умножения два биномов ^[1] -hence способ может быть передан в качестве метода FOIL . Слово FOIL является аббревиатурой от четырех терминов продукта:

F рвые ( «первый» члены каждого бином перемножаются)
O uter ("внешние" члены умножаются, то есть первый член первого бинома и второй член второго)
Я nner (термины «внутри» умножается-второй член первого биномиального и первого члена второго)
L ast ("последние" члены каждого бинома умножаются)

Общая форма

(a+b)(c+d)=\underbrace {ac} _{\text{first}}+\underbrace {ad} _{\text{outside}}+\underbrace {bc} _{\text{inside}}+\underbrace {bd} _{\text{last}}.

Обратите внимание, что $a$ является одновременно «первым» и «внешним» термином; $b$ - это одновременно и «последний», и «внутренний» термин, и так далее. Порядок четырех членов в сумме не важен и может не совпадать с порядком букв в слове FOIL.

История [ править ]

Метод FOIL - это частный случай более общего метода умножения алгебраических выражений с использованием закона распределения . Слово FOIL изначально предназначалось исключительно как мнемоника для старшеклассников, изучающих алгебру. Этот термин появляется в тексте Уильяма Беца 1929 года « Алгебра сегодня» , где он заявляет: ^[2]

... первые термины, внешние термины, внутренние термины, последние термины. (Вышеупомянутое правило также можно запомнить по слову FOIL, подсказанному первыми буквами слов first, external, inner, last.)

Уильям Бетц был активным участником движения за реформу математики в Соединенных Штатах в то время, написал много текстов на темы элементарной математики и «посвятил свою жизнь улучшению математического образования». ^[3]

Многие студенты и преподаватели в Соединенных Штатах сейчас используют слово «FOIL» как глагол, означающий «развернуть произведение двух биномов». ^[4]

Примеры [ править ]

Этот метод чаще всего используется для умножения линейных двучленов. Например,

{\begin{aligned}(x+3)(x+5)&=x\cdot x+x\cdot 5+3\cdot x+3\cdot 5\\&=x^{2}+5x+3x+15\\&=x^{2}+8x+15.\end{aligned}}

Если какой-либо бином включает вычитание , соответствующие члены должны быть инвертированы. Например,

{\begin{aligned}(2x-3)(3x-4)&=(2x)(3x)+(2x)(-4)+(-3)(3x)+(-3)(-4)\\&=6x^{2}-8x-9x+12\\&=6x^{2}-17x+12.\end{aligned}}

Распределительный закон [ править ]

Метод FOIL эквивалентен двухэтапному процессу, включающему закон распределения : ^[5]

{\begin{aligned}(a+b)(c+d)&=a(c+d)+b(c+d)\\&=ac+ad+bc+bd.\end{aligned}}

На первом этапе ( $c + d$ ) распределяется по сложению в первом биноме. На втором этапе используется закон распределения для упрощения каждого из двух терминов. Обратите внимание, что этот процесс включает в себя всего три приложения свойства распределения. В отличие от метода FOIL, метод с использованием дистрибутива может быть легко применен к продуктам с большим количеством терминов, таких как трехчлены и выше.

Reverse FOIL [ править ]

Правило FOIL преобразует произведение двух биномов в сумму четырех (или меньше, если затем объединяются одинаковые члены ) одночленов . ^[6] Обратный процесс называется факторингом или факторизацией . В частности, если прочесть приведенное выше доказательство в обратном порядке, оно иллюстрирует метод, называемый факторингом по группировке .

Таблица как альтернатива FOIL [ править ]

Инструмент визуальной памяти может заменить мнемонику FOIL для пары многочленов любым количеством членов. Составьте таблицу с членами первого многочлена на левом краю и членами второго на верхнем краю, затем заполните таблицу продуктами . Таблица, эквивалентная правилу FOIL, выглядит так:

{\begin{array}{c|cc}\times &c&d\\\hline a&ac&ad\\b&bc&bd\end{array}}

В случае, если это многочлены, $(ax + b) (cx + d)$ , члены данной степени находятся путем сложения вдоль антидиагоналей

{\begin{array}{c|cc}\times &cx&d\\\hline ax&acx^{2}&adx\\b&bcx&bd\end{array}}

так $(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.$

Чтобы умножить $(a + b + c) (w + x + y + z)$ , таблица будет следующей:

{\begin{array}{c|cccc}\times &w&x&y&z\\\hline a&aw&ax&ay&az\\b&bw&bx&by&bz\\c&cw&cx&cy&cz\end{array}}

Сумма записей таблицы является произведением полиномов. Таким образом

{\begin{aligned}(a+b+c)(w+x+y+z)&=(aw+ax+ay+az)\\&+(bw+bx+by+bz)\\&+(cw+cx+cy+cz).\end{aligned}}

Аналогично, чтобы умножить $(ax 2 + bx + c) (dx 3 + ex 2 + fx + g)$ , нужно записать ту же таблицу

{\begin{array}{c|cccc}\times &d&e&f&g\\\hline a&ad&ae&af&ag\\b&bd&be&bf&bg\\c&cd&ce&cf&cg\end{array}}

и суммы по антидиагоналям:

{\begin{aligned}(ax^{2}&+bx+c)(dx^{3}+ex^{2}+fx+g)\\&=adx^{5}+(ae+bd)x^{4}+(af+be+cd)x^{3}+(ag+bf+ce)x^{2}+(bg+cf)x+cg.\end{aligned}}

Обобщения [ править ]

Правило FOIL не может быть напрямую применено к расширению произведений с более чем двумя множиваемыми или множимым с более чем двумя слагаемыми. Однако применение ассоциативного закона и рекурсивного фольгирования позволяет расширять такие продукты. Например,

{\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=((a+b)+(c+d))((x+y)+(z+w))\\&=(a+b)(x+y)+(a+b)(z+w)\\&+(c+d)(x+y)+(c+d)(z+w)\\&=ax+ay+bx+by+az+aw+bz+bw\\&+cx+cy+dx+dy+cz+cw+dz+dw.\end{aligned}}

Альтернативные методы, основанные на распределении, не используют правило FOIL, но их легче запомнить и применить. Например,

{\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=(a+(b+c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+(c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +(c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +c(x+y+z+w)+d(x+y+z+w)\\&=ax+ay+az+aw+bx+by+bz+bw\\&\qquad +cx+cy+cz+cw+dx+dy+dz+dw.\end{aligned}}

См. Также [ править ]

Биномиальная теорема
Факторизация

Ссылки [ править ]

^ «Упрощение с использованием уроков по методу фольги» . Проверено 10 мая 2018 .
Перейти ↑ Betz, William (1929), Algebra for Today (vol. 1) , Ginn and Company, p. 291.
^ WDR (ноябрь 1937), «Обзор алгебры на сегодняшний день: первый год», Учитель математики , Национальный совет по преподаванию математики, 30 (7): 348.
^ МакКри, Эмма (2019-05-01). Сделать каждый урок математики на счету: шесть принципов в поддержку отличного преподавания математики (серия «Сделать каждый урок на счету») . Crown House Publishing Ltd. ISBN 978-1-78583-421-9.
^ Khare, Апурва; Лачовская, Анна (2015). Красиво, просто, точно, безумно: математика в реальном мире . Издательство Йельского университета. п. 3. ISBN 978-0-300-19089-2. Иногда это называют методом «FOIL» - по сути, это просто закон распределения, применяемый дважды..
^ Киркланд, Карла С .; Кливленд, Чан (29 января 2020 г.). Praxis Core для чайников с онлайн-тестами . Джон Вили и сыновья. п. 78. ISBN 978-1-119-62047-1. ... reverse FOIL может направить вас в противоположном направлении от одного выражения к двухчленным выражениям, умноженным друг на друга. Это форма факторинга.

Дальнейшее чтение [ править ]

Стидж, Рэй; Бейли, Керри (1997). Очерк теории и проблем промежуточной алгебры Шаума . Обзорная серия Шаума. Нью-Йорк: Макгроу – Хилл. ISBN 978-0-07-060839-9.

[1] «Упрощение с использованием уроков по методу фольги» . Проверено 10 мая 2018 .

[2] Перейти ↑ Betz, William (1929), Algebra for Today (vol. 1) , Ginn and Company, p. 291.

[3] WDR (ноябрь 1937), «Обзор алгебры на сегодняшний день: первый год», Учитель математики , Национальный совет по преподаванию математики, 30 (7): 348.

[4] МакКри, Эмма (2019-05-01). Сделать каждый урок математики на счету: шесть принципов в поддержку отличного преподавания математики (серия «Сделать каждый урок на счету») . Crown House Publishing Ltd. ISBN 978-1-78583-421-9.

[5] Khare, Апурва; Лачовская, Анна (2015). Красиво, просто, точно, безумно: математика в реальном мире . Издательство Йельского университета. п. 3. ISBN 978-0-300-19089-2. Иногда это называют методом «FOIL» - по сути, это просто закон распределения, применяемый дважды..

[6] Киркланд, Карла С .; Кливленд, Чан (29 января 2020 г.). Praxis Core для чайников с онлайн-тестами . Джон Вили и сыновья. п. 78. ISBN 978-1-119-62047-1. ... reverse FOIL может направить вас в противоположном направлении от одного выражения к двухчленным выражениям, умноженным друг на друга. Это форма факторинга.

[1]