Мономиальный

В математике , одночлен , грубо говоря, многочлен , который имеет только один член . Можно встретить два определения монома:

1. Моном, также называемый степенным произведением , представляет собой произведение степеней переменных с неотрицательными целыми показателями или, другими словами, произведение переменных, возможно, с повторениями. Например, моном. Константа 1 является мономом, равным пустому произведению и x ⁰ для любой переменной x . Если рассматривается только одна переменная x , это означает, что моном является либо 1, либо степенью x ⁿ числа x , где n - положительное целое число. Если рассматривать несколько переменных, скажем,${\ displaystyle x ^ {2} yz ^ {3} = xxyzzz}$${\displaystyle x,y,z,}$тогда каждому может быть дана экспонента, так что любой моном имеет форму с неотрицательными целыми числами (обратите внимание, что любой показатель 0 делает соответствующий множитель равным 1).${\displaystyle x^{a}y^{b}z^{c}}$${\displaystyle a,b,c}$
2. Моном - это моном в первом смысле, умноженный на ненулевую константу, называемую коэффициентом монома. Моном в первом смысле является частным случаем монома во втором смысле, где коэффициент равен 1. Например, в этой интерпретации и являются одночленами (во втором примере переменные равны, а коэффициент - комплексное число ) .${\displaystyle -7x^{5}}$${\displaystyle (3-4i)x^{4}yz^{13}}$${\displaystyle x,y,z,}$

В контексте полиномов Лорана и ряд Лорана , показатели одночлена могут быть отрицательными, так и в контексте серии Пюизё , показатели могут быть рациональными числами .

Поскольку слово «одночлен», как и слово «многочлен», происходит от позднего латинского слова «binomium» (двучлен), при изменении префикса «bi» (два на латыни) одночлен теоретически следует называть «a» монономиальный ". «Мономиальное» - это обморок по гаплологии «монономиального». ^[1]

Сравнение двух определений [ править ]

При любом определении набор одночленов - это подмножество всех многочленов, замкнутое относительно умножения.

Можно найти оба варианта использования этого понятия, и во многих случаях различие просто игнорируется, см., Например, примеры первого ^[2] и второго ^[3] значения. В неформальных дискуссиях различие редко бывает важным, и наблюдается тенденция к более широкому второму значению. Однако при изучении структуры многочленов часто однозначно требуется понятие с первым значением. Это, например , случай при рассмотрении мономиальных основ из в кольце многочленов или одночлен упорядочения на этой основе. Аргументом в пользу первого значения является также то, что для обозначения этих значений не существует других очевидных понятий (термин `` произведение мощности '' используется, в частности, когда мономиальные используется с первым смыслом, но это также не делает очевидным отсутствие констант), а понятие члена многочлена однозначно совпадает со вторым смыслом одночлена.

Остальная часть этой статьи предполагает первое значение слова «мономиальный».

Мономиальный базис [ править ]

Наиболее очевидный факт о одночленах (первый смысл) в том , что любой многочленом является линейной комбинацией из них, так что они образуют базис в векторном пространстве всех многочленов называются мономиальный базис - факт постоянного неявного использования в математике.

Номер [ править ]

Количество мономов степени в переменном количестве multicombinations из элементов , выбранных среди переменных (переменный может быть выбраны более чем один раз, но порядок не имеет значения), который задается мультинабор коэффициента . Это выражение также может быть дано в виде биномиального коэффициента , в качестве полиномиального выражения ин , или с помощью растущего факториала мощности из :${\displaystyle d}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n}$ ${\textstyle \left(\!\!{\binom {n}{d}}\!\!\right)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d+1}$

${\displaystyle \left(\!\!{\binom {n}{d}}\!\!\right)={\binom {n+d-1}{d}}={\binom {d+(n-1)}{n-1}}={\frac {(d+1)\times (d+2)\times \cdots \times (d+n-1)}{1\times 2\times \cdots \times (n-1)}}={\frac {1}{(n-1)!}}(d+1)^{\overline {n-1}}.}$

Последние формы особенно полезны, когда фиксируется количество переменных, а степень варьируется. Из этих выражений видно, что при фиксированном n количество одночленов степени d является полиномиальным выражением степени со старшим коэффициентом .${\displaystyle d}$${\displaystyle n-1}$${\textstyle {\frac {1}{(n-1)!}}}$

Например, число одночленов от трех переменных ( ) степени d равно ; эти числа образуют последовательность 1, 3, 6, 10, 15, ... треугольных чисел .${\displaystyle n=3}$${\textstyle {\frac {1}{2}}(d+1)^{\overline {2}}={\frac {1}{2}}(d+1)(d+2)}$

Ряд Гильберта представляет собой компактный способ выразить число мономов данной степени: число одночленов степени в переменном коэффициенте степени от формального степенных рядов расширения${\displaystyle d}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\frac {1}{(1-t)^{n}}}.}$

Число мономов степени не выше д в п переменных . Это следует из переписки один-к-одному между одночленами степени в переменных и одночленах степени не в переменных, который состоит в замене на 1 дополнительном переменном.${\textstyle {\binom {n+d}{n}}={\binom {n+d}{d}}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n}$

Обозначение [ править ]

Обозначения для одночленов постоянно требуются в таких областях, как уравнения в частных производных . Если переменные используются формы индексируемой семьи , как , , , ..., то Мультииндекс полезно: если мы пишем ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle \alpha =(a,b,c)}$

мы можем определить

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{a}\,x_{2}^{b}\,x_{3}^{c}}$

для компактности.

Степень [ править ]

Степень монома определяется как сумма всех показателей степени переменных, включая неявные показатели степени 1 для переменных, которые появляются без показателя степени; например, в примере из предыдущего раздела степень равна . Степень 1 + 1 + 2 = 4. Степень ненулевой константы равна 0. Например, степень −7 равна 0. ${\displaystyle a+b+c}$${\displaystyle xyz^{2}}$

Степень монома иногда называют порядком, в основном в контексте ряда. Ее также называют общей степенью, когда необходимо отличить ее от степени по одной из переменных.

Мономиальная степень лежит в основе теории одномерных и многомерных многочленов. В явном виде он используется для определения степени полинома и понятия однородного полинома , а также для градуированных мономиальных порядков, используемых при формулировании и вычислении базисов Грёбнера . Неявно он используется при группировке членов ряда Тейлора по нескольким переменным .

Геометрия [ править ]

В алгебраической геометрии многообразия, определяемые мономиальными уравнениями для некоторого набора α, обладают особыми свойствами однородности. Это может быть сформулировано на языке алгебраических групп , с точкой зрения существования группы действий А.Н. алгебраического тор (эквивалентно мультипликативной группой диагональных матриц ). Эта область изучается под названием вложения торов .${\displaystyle x^{\alpha }=0}$

См. Также [ править ]

• Мономиальное представление
• Мономиальная матрица
• Однородный полином
• Однородная функция
• Многолинейная форма
• Бревенчатый график
• Сила закона

Ссылки [ править ]