Полином Лорана

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Полином Лорана»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июль 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математике , многочлен Лорана (названный в честь Пьера Альфонс Лоран ) в одной переменной над полем является линейной комбинацией положительных и отрицательных степеней переменной с коэффициентами . Многочлены Лорана от X образуют кольцо, обозначаемое [ X , X ⁻¹ ]. ^[1] Они отличаются от обычных многочленов.${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$в том смысле, что они могут иметь отрицательную степень. Построение многочленов Лорана может быть повторено, что приведет к кольцу многочленов Лорана от нескольких переменных. Многочлены Лорана имеют особое значение при изучении комплексных переменных .

Определение [ править ]

Лоран многочлен с коэффициентами в поле является выражением вида${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$

${\ displaystyle p = \ sum _ {k} p_ {k} X ^ {k}, \ quad p_ {k} \ in \ mathbb {F}}$

где X - формальная переменная, индекс суммирования k является целым числом (не обязательно положительным), и только конечное число коэффициентов p _k отличны от нуля. Два полинома Лорана равны, если их коэффициенты равны. Такие выражения можно складывать, умножать и возвращать к той же форме, сокращая аналогичные термины. Формулы для сложения и умножения точно такие же, как и для обычных многочленов, с той лишь разницей, что могут присутствовать как положительные, так и отрицательные степени X :

${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i} a_ {i} X ^ {i} \ right) + \ left (\ sum _ {i} b_ {i} X ^ {i} \ right) = \ sum _ {i} (a_ {i} + b_ {i}) X ^ {i}}$

и

${\displaystyle \left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k}\left(\sum _{i,j:i+j=k}a_{i}b_{j}\right)X^{k}.}$

Поскольку только конечное число коэффициентов a _i и b _j не равны нулю, все суммы фактически содержат только конечное число членов и, следовательно, представляют собой многочлены Лорана.

Свойства [ править ]

• Многочлен Лорана над C можно рассматривать как ряд Лорана, в котором только конечное число коэффициентов отличны от нуля.
• Кольцо многочленов Лорана R [ X , X ⁻¹ ] является расширением кольца многочленов R [ X ], полученного «обращением X ». Более строго, это локализация на кольце многочленов в мультипликативного множества , состоящего из неотрицательных степеней X . Многие свойства кольца многочленов Лорана следуют из общих свойств локализации.
• Кольцо многочленов Лорана является подкольцом рациональных функций .
• Кольцо многочленов Лорана над полем нётерово (но не артиново ).
• Если R - область целостности, единицы кольца многочленов Лорана R [ X , X ⁻¹ ] имеют вид uX ^k , где u - единица R, а k - целое число. В частности, если К является полем , то единицы K [ X , X ^-1 ] имеют вид аХ ^K , где является ненулевым элементом K .
• Лоран кольцо многочленов Р [ Х , Х ^-1 ] изоморфен кольцо группы из группы Z из целых чисел над R . В более общем смысле кольцо многочленов Лорана от n переменных изоморфно групповому кольцу свободной абелевой группы ранга n . Отсюда следует, что кольцо многочленов Лорана можно снабдить структурой коммутативной кокоммутативной алгебры Хопфа .

См. Также [ править ]

• Многочлен Джонса

Ссылки [ править ]

• Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4 , MR 1878556