Многочлен Джонса

В математической области теории узлов , то полином Джонс является многочлен узел обнаружено Vaughan Jones в 1984 году ^{[1] [2]} В частности, он является инвариантом ориентированного узла или ссылки , которая сопоставляет каждый ориентированный узел или связать Laurent многочлен от переменной с целыми коэффициентами. ^[3]${\ displaystyle t ^ {1/2}}$

Определение скобкой [ править ]

Тип I ход Рейдемейстера

Предположим, у нас есть ориентированное звено , представленное в виде узловой диаграммы . Мы определим полином Джонса, с использованием Louis Kauffman «s брекет многочлен , который мы обозначим через . Здесь скобочный многочлен - это многочлен Лорана от переменной с целыми коэффициентами.${\ displaystyle L}$${\ Displaystyle V (L)}$${\ Displaystyle \ langle ~ \ rangle}$${\ displaystyle A}$

Сначала мы определяем вспомогательный многочлен (также известный как нормализованный скобочный многочлен)

${\ Displaystyle X (L) = (- A ^ {3}) ^ {- w (L)} \ langle L \ rangle,}$

где обозначает райзинг из в данной диаграмме. Изгиб диаграммы - это количество положительных пересечений ( на рисунке ниже) минус количество отрицательных пересечений ( ). Корча не является инвариантом узла.${\ Displaystyle ш (L)}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L _ {+}}$${\ displaystyle L _ {-}}$

${\ Displaystyle X (L)}$является инвариантом узла, так как он инвариантен относительно изменений диаграммы тремя движениями Рейдемейстера . Инвариантность относительно движений Рейдемейстера типа II и III следует из инвариантности скобки относительно этих движений. Известно, что скобочный многочлен изменяется умножением на при движении Рейдемейстера типа I. Определение полинома приведенного выше предназначено для нейтрализации этого изменения, так как райзинг изменяется соответствующим образом или при движении типа I.${\ displaystyle L}$${\ displaystyle -A ^ {\ pm 3}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle +1}$${\ displaystyle -1}$

Теперь сделать замену в чтобы получить полином Джонса . В результате получается полином Лорана с целыми коэффициентами в переменной .${\ displaystyle A = t ^ {- 1/4}}$${\ Displaystyle X (L)}$${\ Displaystyle V (L)}$${\ displaystyle t ^ {1/2}}$

Многочлен Джонса для клубков [ править ]

Эта конструкция полинома Джонса для связок является простым обобщением скобки Кауфмана зацепления. Конструкция была разработана Владимиром Тураевым и опубликована в 1990 году ^[4].

Позвольте быть неотрицательным целым числом и обозначить множество всех изотопических типов диаграмм клубка с концами, не имеющими точек пересечения и замкнутых компонент (сглаживания). Конструкция делает Тураев использование предыдущей конструкции для кронштейна Kauffman и ассоциированных с каждой -End ориентированной клубок элемент свободного -модуля , где является кольцом из многочленов Лорана с целыми коэффициентами в переменном .${\ displaystyle k}$${\ displaystyle S_ {k}}$${\ displaystyle 2k}$${\ displaystyle 2k}$${\ Displaystyle \ mathrm {R}}$${\ Displaystyle \ mathrm {R} [S_ {k}]}$${\ Displaystyle \ mathrm {R}}$${\ displaystyle t ^ {1/2}}$

Определение по изображению кос [ править ]

Первоначальная формулировка полинома Джонса пришла из его изучения операторных алгебр. В подходе Джонса это произошло в результате своего рода «следа» конкретного представления кос в алгебре, который первоначально возник при изучении определенных моделей, например модели Поттса , в статистической механике .

Пусть дана ссылка L. Теорема Александра утверждает , что закрытие след коса, скажем , с п прядями. Теперь определим представление группы кос на n нитях, B _n , в алгебру Темперли – Либа с коэффициентами в и . Стандартный генератор кос отправляется туда , где находятся стандартные генераторы алгебры Темперли – Либа. Легко проверить, что это определяет представление.${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle \ operatorname {TL} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} [A, A ^ {- 1}]}$${\ displaystyle \ delta = -A ^ {2} -A ^ {- 2}}$${\ displaystyle \ sigma _ {я}}$${\ Displaystyle A \ cdot e_ {i} + A ^ {- 1} \ cdot 1}$${\ displaystyle 1, e_ {1}, \ dots, e_ {n-1}}$

Возьмите слово косы, полученное ранее, и вычислите, где находится след Маркова . Это дает , где - скобочный многочлен. В этом можно убедиться, рассматривая, как это делал Луи Кауфман , алгебру Темперли – Либа как особую алгебру диаграмм.${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle L}$${\displaystyle \delta ^{n-1}\operatorname {tr} \rho (\sigma )}$${\displaystyle \operatorname {tr} }$${\displaystyle \langle L\rangle }$${\displaystyle \langle }$ ${\displaystyle \rangle }$

Преимущество этого подхода состоит в том, что можно выбирать похожие представления в другие алгебры, такие как представления R- матрицы, что приводит к «обобщенным инвариантам Джонса».

Свойства [ править ]

Многочлен Джонса характеризуется значением 1 на любой диаграмме узла и удовлетворяет следующему соотношению мотков :

${\displaystyle (t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})\,}$

где , и - три диаграммы ориентированных связей, которые идентичны, за исключением одной небольшой области, где они отличаются пересекающимися изменениями или сглаживанием, показанными на рисунке ниже:${\displaystyle L_{+}}$${\displaystyle L_{-}}$${\displaystyle L_{0}}$

Определение полинома Джонса скобкой позволяет легко показать, что для узла полином Джонса его зеркального отображения задается заменой на in . Таким образом, амфихиральный узел , узел, эквивалентный его зеркальному отображению, имеет палиндромные элементы в своем полиноме Джонса. См. Статью о соотношении мотков для примера вычисления с использованием этих отношений.${\displaystyle K}$${\displaystyle t^{-1}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle V(K)}$

Еще одно замечательное свойство этого инварианта утверждает, что многочлен Джонса знакопеременного зацепления является знакопеременным многочленом. Это свойство было доказано Морвен Тистлтуэйт ^[5] в 1987 году. Другое доказательство этого последнего свойства принадлежит Эрнандо Бургос-Сото , который также расширил это свойство на связки ^[6] .

Цветной многочлен Джонса [ править ]

Для положительного целого числа N многочлен Джонса, окрашенный в N цветов, может быть определен как многочлен Джонса для N кабелей узла, как показано на правом рисунке. Это связанно с -мерным неприводимым представлением о . Метка N означает раскраску. Как и обычный многочлен Джонса, он может быть определен соотношением Скейна и является многочленом Лорана от одной переменной t . N -colored полином Джонса обладает следующими свойствами:${\displaystyle V_{N}(L,t)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle (N+1)}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle V_{N}(L,t)}$

• ${\displaystyle V_{X\oplus Y}(L,t)=V_{X}(L,t)+V_{Y}(L,t)}$где два пространства представления.${\displaystyle X,Y}$
• ${\displaystyle V_{X\otimes Y}(L,t)}$равняется многочлену Джонса двух кабелей L с двумя компонентами, обозначенными и . Таким образом, N -цветный многочлен Джонса равен исходному многочлену Джонса от N кабелей .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle L}$
• Оригинальный полином Джонса выступает как частный случай: .${\displaystyle V(L,t)=V_{1}(L,t)}$

Связь с другими теориями [ править ]

Связь с теорией Черна – Саймонса [ править ]

Как впервые показано Виттен , Джонс многочлен данного узла может быть получена при рассмотрении теории Черны-Саймонсе на три сферы с калибровочной группой , и вычисления значения вакуумного из в петле Вильсона , связанный с , а фундаментальное представление оф .${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle W_{F}(\gamma )}$${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$

Связь с инвариантами квантовых узлов [ править ]

Подставляя переменную полинома Джонса и расширяя ее в ряд по h, каждый из коэффициентов превращается в инвариант Васильева узла . С целью унификации инвариантов Васильева (или инвариантов конечного типа) Максим Концевич построил интеграл Концевича . Значение интеграла Концевича, который представляет собой бесконечную сумму 1,3-значных хордовых диаграмм , названных хордовыми диаграммами Якоби, воспроизводит полином Джонса вместе с системой весов, изученной Дрором Бар-Натаном .${\displaystyle e^{h}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

Ссылка на гипотезу об объеме [ править ]

Путем численных исследований некоторых гиперболических узлов Ринат Кашаев обнаружил, что подстановка корня n-й степени из единицы в параметр цветного многочлена Джонса, соответствующего n -мерному представлению, и ограничение его по мере роста n до бесконечности дает предельное значение гиперболический объем от узла комплемента . (См. Гипотезу объема .)

Связь с гомологией Хованова [ править ]

В 2000 г. Михаил Хованов построил некий цепной комплекс для узлов и зацеплений и показал, что индуцированные из него гомологии являются инвариантом узлов (см. Гомологии Хованова ). Многочлен Джонса описывается как характеристика Эйлера для этих гомологий.

Открытые задачи [ править ]

• Существует ли нетривиальный узел с полиномом Джонса, равным полиному этого узла ? Известно, что существуют нетривиальные зацепления с полиномом Джонса, равные полиномам соответствующих отсоединений по работе Морвен Тистлтуэйт .

Задача (Продолжение многочлена Джонса на трехмерные многообразия общего вида)　

`` Исходный многочлен Джонса был определен для 1-звеньев в 3-сфере (3-шар, 3-пространство ). Можете ли вы определить полином Джонса для 1-звеньев в любом 3-многообразии? ''${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Такой подход был предложен Юзефом Х. Пшитицким под названием мотков модулей. В частности, модуль мотков скоб Кауфмана и модуль мотков HOMFLYPT. ^[7]

См. Раздел 1.1 этой статьи ^[8] для ознакомления с предысторией и историей этой проблемы. Кауфман представил решение в случае многообразия-произведения замкнутой ориентированной поверхности и отрезка, введя виртуальные 1-узлы. ^[9] В остальных случаях он открыт. Интеграл Виттена для полинома Джонса формально записывается для зацеплений в любом компактном трехмерном многообразии, но исчисление не выполняется даже на физическом уровне в любом другом случае, кроме 3-сферы (3-шар или 3-пространство ). Эта проблема также открыта на уровне физики. В случае полинома Александера эта проблема решена.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

См. Также [ править ]

• Полином ХОМФЛИ
• Полином александра

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Адамс, Колин (2000-12-06). Книга узлов . Американское математическое общество . ISBN 0-8050-7380-9.
• Джонс, Воан . "Полином Джонса" (PDF) .
• Джонс, Воан (1987). "Представления алгебры Гекке групп кос и полиномов зацепления". Анналы математики . 126 (2): 335–388. DOI : 10.2307 / 1971403 .
• Кауфман, Луи Х. (1987). «Государственные модели и многочлен Джонса» . Топология . 26 (3): 395–407. DOI : 10.1016 / 0040-9383 (87) 90009-7 . (объясняет определение полиномом в скобках и его связь с формулировкой Джонса представлением кос)
• Ликориш, У. Б. Раймонд (1997). Введение в теорию узлов . Нью-Йорк; Берлин; Гейдельберг; Барселона; Будапешт; Гонконг; Лондон; Милан; Париж; Санта-Клара; Сингапур; Токио: Спрингер. п. 175. ISBN 978-0-387-98254-0.
• Тистлтуэйт, Морвен (2001). «Связи с тривиальным многочленом Джонса». Журнал теории узлов и ее разветвлений . 10 (4): 641–643. DOI : 10,1142 / S0218216501001050 .
• Элиаху, Шалом; Кауфман, Луи Х .; Тистлтуэйт, Морвен Б. (2003). «Бесконечные семейства зацеплений с тривиальным многочленом Джонса» . Топология . 42 (1): 155–169. DOI : 10.1016 / S0040-9383 (02) 00012-5 .
• Пржитицкий, Юзеф Х. (1991). «Скейновые модули 3-многообразий». Вестник Польской академии наук . 39 (1–2): 91–100. arXiv : математика / 0611797 .

Внешние ссылки [ править ]

• "Многочлен Джонса-Конвея" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Связи с тривиальным полиномом Джонса по Моруэн Тислтуэйтом
• " Многочлен Джонса ", Атлас узлов .