Писать

В теории узлов существует несколько конкурирующих понятий количества корч , или Wr . В каком-то смысле это чисто свойство ориентированной диаграммы связей и принимает целочисленные значения. В другом смысле, это величина, которая описывает степень «свертывания» математического узла (или любой замкнутой простой кривой ) в трехмерном пространстве и принимает в качестве значений действительные числа . В обоих случаях изгиб является геометрической величиной, что означает, что при деформации кривой (или диаграммы) таким образом, чтобы не изменить ее топологию, можно все же изменить ее изгиб. ^[1]

Написание диаграмм ссылок [ править ]

В теории узлов изгиб - это свойство ориентированной диаграммы связей . Корча - это общее количество положительных пересечений минус общее количество отрицательных пересечений.

Направление связи назначается в точке в каждом компоненте, и это направление отслеживается на всем протяжении каждого компонента. Если при движении по компоненту связи и пересечению пересечения нижняя нить идет справа налево, пересечение положительно; если нижняя нить идет слева направо, пересечение отрицательное. Один из способов запомнить это - использовать вариант правила правой руки .

Положительное пересечение		Отрицательное пересечение

Для узловой диаграммы использование правила правой руки с любой ориентацией дает тот же результат, поэтому корча хорошо определена на неориентированных узловых диаграммах.

Движение Рейдемейстера типа I изменяет корч на 1

На извилистость узла не влияют два из трех движений Рейдемейстера : движения Типа II и Типа III не влияют на извилистость. Райдемейстер ход типа I, однако, увеличивает или уменьшает корчиться на 1. Это означает , что корчится сучка не изотопический инвариант самого узла - только схема. Посредством серии ходов типа I можно задать изгиб диаграммы для данного узла как любое целое число.

Написание замкнутой кривой [ править ]

Writhe также является свойством узла, представленного в виде кривой в трехмерном пространстве. Строго говоря, узел - это такая кривая, математически определяемая как вложение круга в трехмерное евклидово пространство R ³ . Рассматривая кривую с разных точек обзора, можно получить разные проекции и нарисовать соответствующие диаграммы узлов . Его Wr (в смысле пространственной кривой) равно среднему значению интегральной корки, полученной из проекций со всех точек обзора. ^[2] Следовательно, корч в этой ситуации может принимать любое действительное число в качестве возможного значения. ^[1]

Мы можем вычислить Wr с помощью интеграла . Позвольте быть гладкой, простой, замкнутой кривой и пусть и быть точками на . Тогда корча равна интегралу Гаусса${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle Wr={\frac {1}{4\pi }}\int _{C}\int _{C}d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2}\cdot {\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{\left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right|^{3}}}}$.

Численное приближение интеграла Гаусса для изгиба кривой в пространстве [ править ]

Поскольку изгиб кривой в пространстве определяется как двойной интеграл , мы можем приблизить его значение численно, сначала представив нашу кривую как конечную цепочку отрезков линии. Процедура, которая была впервые предложена Левиттом ^[3] для описания сворачивания белка, а затем использована для суперспиральной ДНК Клениным и Ланговски ^[4], заключается в вычислении${\displaystyle N}$

${\displaystyle Wr=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\Omega _{ij}}{4\pi }}=2\sum _{i=2}^{N}\sum _{j<i}{\frac {\Omega _{ij}}{4\pi }}}$

где - точное вычисление двойного интеграла по отрезкам и ; обратите внимание, что и . ^[4]${\displaystyle \Omega _{ij}/{4\pi }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \Omega _{ij}=\Omega _{ji}}$${\displaystyle \Omega _{i,i+1}=\Omega _{ii}=0}$

Чтобы оценить данные сегменты, пронумерованные и , пронумеруйте конечные точки двух сегментов 1, 2, 3 и 4. Позвольте быть вектором, который начинается в конечной точке и заканчивается в конечной точке . Определите следующие количества: ^[4]${\displaystyle \Omega _{ij}/{4\pi }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle r_{pq}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle n_{1}={\frac {r_{13}\times r_{14}}{\left|r_{13}\times r_{14}\right|}},\;n_{2}={\frac {r_{14}\times r_{24}}{\left|r_{14}\times r_{24}\right|}},\;n_{3}={\frac {r_{24}\times r_{23}}{\left|r_{24}\times r_{23}\right|}},\;n_{4}={\frac {r_{23}\times r_{13}}{\left|r_{23}\times r_{13}\right|}}}$

Затем вычисляем ^[4]

${\displaystyle \Omega ^{*}=\arcsin \left(n_{1}\cdot n_{2}\right)+\arcsin \left(n_{2}\cdot n_{3}\right)+\arcsin \left(n_{3}\cdot n_{4}\right)+\arcsin \left(n_{4}\cdot n_{1}\right).}$

Наконец, мы компенсируем возможную разницу знаков и делим на, чтобы получить ^[4]${\displaystyle 4\pi }$

${\displaystyle {\frac {\Omega }{4\pi }}={\frac {\Omega ^{*}}{4\pi }}{\text{sign}}\left(\left(r_{34}\times r_{12}\right)\cdot r_{13}\right).}$

Кроме того, другие методы расчета корчи могут быть полностью описаны математически и алгоритмически. ^[4]

Приложения в топологии ДНК [ править ]

ДНК будет скручиваться, если вы ее скручиваете, как резиновый шланг или веревку, и именно поэтому биоматематики используют количество изгибов, чтобы описать степень деформации фрагмента ДНК в результате этого скручивающего напряжения. В общем, это явление образования спиралей из-за корки называется суперспирализацией ДНК и является довольно обычным явлением, и на самом деле у большинства организмов ДНК имеет отрицательную суперспирализацию. ^[1]

Любой эластичный стержень, а не только ДНК, снимает скручивающее напряжение путем скручивания, при этом стержень одновременно раскручивается и сгибается. Ф. Брок Фуллер математически показывает ^[5], как «упругая энергия из-за местного скручивания стержня может быть уменьшена, если центральная кривая стержня образует катушки, увеличивающие его число изгибов».

См. Также [ править ]

• Суперспирализация ДНК
• Ссылочный номер
• Теория ленты
• Твист (математика)
• Номер обмотки

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Адамс, Колин (2004), Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3678-1