Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта статья о математическом объекте. Для использования в других целях, см узел (значения) .
Таблица всех простых узлов с семью или менее пересечениями (не включая зеркальные изображения).
Узел наверху становится узлом- трилистником , соединяя концы.
Треугольник связан с узлом-трилистником.
7 4 узел звеньев кренделя

В математике , А узел является вложением из топологической окружности S 1 в 3-мерном евклидовом пространстве , R 3 (также известный как E 3 ), рассматриваемых с точностью до непрерывных деформаций ( изотопии ).

Ключевое различие между стандартными математическими и традиционными понятиями узла состоит в том, что математические узлы замкнуты - математический узел не имеет концов, которые можно завязать или развязать. Физические свойства, такие как трение и толщина, также не применяются, хотя существуют математические определения узла, которые учитывают такие свойства. Термин узел также применяется к вложениям S j  в S n , особенно в случае j = n - 2 . Раздел математики, изучающий узлы, известен как теория узлов и имеет много простых отношений с теорией графов .

Формальное определение [ править ]

Узел представляет собой вложение из круга ( S 1 ) в трехмерном евклидовом пространстве ( R 3 ). [1] или 3-сфера , S 3 , так как 3-сфера является компактным . [2] [Примечание 1] Два узла считаются эквивалентными, если между ними существует окружающая изотопия . [3]

Проекция [ править ]

Узел в R 3 (или, альтернативно, в 3-сфере ,  S 3 ) может быть спроецирован на плоскость  R 2 (соответственно, на сферу  S 2 ). Эта проекция почти всегда регулярна , что означает, что она инъективна везде, за исключением конечного числа точек пересечения, которые являются проекциями только двух точек узла, и эти точки не коллинеарны . В этом случае, выбрав сторону проекции, можно полностью закодировать изотопиюкласс узла по его регулярной проекции путем записи простой информации о пере / занижении на этих пересечениях. С точки зрения теории графов, регулярная проекция узла или диаграммы узла, таким образом, является четырехвалентным плоским графом с пере / недо декорированными вершинами. Локальные модификации этого графа, позволяющие перейти от одной диаграммы к любой другой диаграмме того же узла (с точностью до объемлющей изотопии плоскости), называются движениями Рейдемейстера .

  • Рейдемейстер, ход 1

  • Рейдемейстер, ход 2

  • Рейдемейстер, ход 3

Типы узлов [ править ]

Узел можно развязать, если разорвать петлю.

Простейший узел, называемый безузлом или тривиальным узлом, представляет собой круглый круг, вложенный в R 3 . [4] В обычном смысле слова развязка вообще не «завязана узлом». Простейшими нетривиальными узлами являются узел-трилистник ( 3 1 в таблице), узел «восьмерка» ( 4 1 ) и узел с лапчаткой ( 5 1 ). [5]

Несколько узлов, связанных или запутанных вместе, называются звеньями . Узлы - это звенья с одним компонентом.

Приручение против диких узлов [ править ]

Дикий узел.

Многоугольной узел является узлом , чьи изображения в R 3 представляет собой объединение из конечного множества из линейных сегментов . [6] ручной узел любой узел эквивалентен многоугольный узел. [6] [Примечание 2] Неприрученные сучки называются дикими , [7] и могут иметь патологическое поведение. [7] В теории узлов и теории трехмерных многообразий прилагательное «ручной» часто опускается. Гладкие сучки, например, всегда ручные.

Узел в рамке [ править ]

Обрамление узла является расширением ручного узла до вложения полнотория D 2 × S 1 в S 3 .

Обрамление из узла является зацепление образа ленты I × S 1 с узлом. Узел в обрамлении можно рассматривать как встроенную ленту, а обрамление - это (подписанное) количество витков. [8] Это определение обобщается до аналогичного для оснащенных ссылок . Оснащенные зацепления называются эквивалентными, если их продолжения на полнотории объемлющие изотопные.

Схемы связи в рамке - это схемы связи, в которых каждый компонент отмечен для обозначения кадрирования целым числом, представляющим наклон относительно меридиана и предпочтительную долготу. Стандартный способ просмотра схемы ссылок без маркировки, представляющей ссылку в рамке, - использовать обрамление на доске . Это обрамление получается путем преобразования каждого компонента в ленту, лежащую на плоскости. Тип I ход Рейдемейстераявно изменяет обрамление доски (меняет количество витков ленты), но два других хода - нет. Замена типа, который я перемещаю, на измененный тип, который я перемещаю, дает результат для диаграмм связей с обрамлением доски, аналогичный теореме Рейдемейстера: диаграммы связей с обрамлением доски представляют эквивалентные обрамленные ссылки тогда и только тогда, когда они связаны последовательностью (изменено ) ходы I, II и III типов. Для данного узла можно определить бесконечно много оснащений. Предположим, что нам дан узел с фиксированным оснащением. Можно получить новое обрамление из существующего, разрезав ленту и закрутив ее вокруг узла на целое число, кратное 2π, а затем снова приклеив его в том месте, где мы разрезали. Таким образом получается новое оснащение из старого, с точностью до отношения эквивалентности для оснащенных узлов, оставляя узел неподвижным.[9] Кадрирование в этом смысле связано с количеством поворотов, которые векторное поле выполняет вокруг узла. Знание того, сколько раз векторное поле закручено вокруг узла, позволяет определить векторное поле с точностью до диффеоморфизма, а класс эквивалентности оснащения полностью определяется этим целым числом, называемым целым числом оснащения

Узел дополнение [ править ]

Узел, дополнение которого имеет нетривиальное JSJ-разложение.

Для данного узла в 3-сфере дополнением к узлу являются все точки 3-сферы, не содержащиеся в узле. Основная теорема Гордона и Люке утверждает, что не более двух узлов имеют гомеоморфные дополнения (исходный узел и его зеркальное отражение). По сути, это превращает изучение узлов в изучение их дополнений и, в свою очередь, в теорию трехмерных многообразий . [10]

Разложение JSJ [ править ]

Основная статья: разложение JSJ

Разложение JSJ и теорема гиперболизации Тёрстона сводит изучение узлов в 3-сфере к изучению различных геометрических многообразий с помощью склейки или спутниковых операций . В изображенном узле JSJ-разложение разбивает дополнение на объединение трех многообразий: двух дополнений в виде трилистника и дополнения к кольцам Борромео . Дополнение к трилистнику имеет геометрию H 2 × R , а дополнение к кольцам Борромео имеет геометрию H 3 .

Гармонические узлы [ править ]

Параметрические представления узлов называются гармоническими узлами. Аарон Траутвейн в своей докторской диссертации составил параметрические представления для всех узлов, включая узлы с числом пересечения 8. [11] [12]

Приложения к теории графов [ править ]

Таблица всех простых узлов с семью пересечениями, представленная в виде узловых диаграмм с их средним графом .

Медиальный график [ править ]

Основная статья: Медиальный график
Планарный граф со знаком, связанный с узловой диаграммой.
Левая направляющая
Правый гид

Другое удобное представление диаграмм узлов [13] [14] было введено Питером Тэтом в 1877 году. [15] [16]

Любая узловая диаграмма определяет плоский граф , вершины которого являются перекрестками, а ребра - путями между последовательными перекрестками. Ровно одна грань этого плоского графа неограничена; каждый из остальных гомеоморфен двумерному диску . Раскрасьте эти грани в черный или белый цвет, чтобы неограниченная грань была черной, а любые две грани, которые имеют общую границу, имели противоположные цвета. Из теоремы о кривой Жордана следует, что существует ровно одна такая раскраска.

Мы строим новый плоский граф, вершинами которого являются белые грани, а ребра соответствуют перекресткам. Мы можем пометить каждое ребро в этом графе как левое или правое ребро, в зависимости от того, какой поток кажется пересекающим другой, когда мы рассматриваем соответствующее пересечение с одной из конечных точек ребра. Левый и правый края обычно обозначаются обозначением левых краев + и правых краев - или рисованием левых краев сплошными линиями и правых краев пунктирными линиями.

Исходная узловая диаграмма является средним графом этого нового плоского графа, причем тип каждого пересечения определяется знаком соответствующего ребра. Смена знака каждого ребра соответствует отражению узла в зеркале .

Встраивание без ссылок и узлов [ править ]

Основная статья: встраивание без ссылок
Семь графов в семье Петерсенов . Независимо от того, как эти графы встроены в трехмерное пространство, некоторые два цикла будут иметь ненулевое число зацеплений .

В двух измерениях только плоские графы могут быть вложены в евклидову плоскость без пересечений, но в трех измерениях любой неориентированный граф может быть вложен в пространство без пересечений. Тем не менее, пространственный аналог плоских графов обеспечиваются графами с linkless вложений и сучками вложениями . Linkless вложение является вложением графа с тем свойством , что любые два цикла является несвязанным ; вложение без узлов - это вложение графа, обладающее тем свойством, что любой отдельный цикл не имеет узлов . Графы, которые имеют вложения без звеньев, имеют запрещенную характеристику графов, включающую семью Петерсена., набор из семи графов, которые внутренне связаны: независимо от того, как они встроены, некоторые два цикла будут связаны друг с другом. [17] Полная характеристика графов с безузловыми вложениями неизвестна, но полный граф K 7 является одним из минимальных запрещенных графов для безузловых вложений: независимо от того, как K 7 вложен, он будет содержать цикл, образующий трилистник узел . [18]

Обобщение [ править ]

В современной математике термин узел иногда используется для описания более общего явления, связанного с вложениями. Принимая во внимание многообразие М с подмногообразия N , иногда говорят N может быть узлом в M , если существует вложение N в М , которое не является изотопно N . Традиционные узлы образуют случай, когда N = S 1 и M = R 3 или M = S 3 . [19] [20]

Теорема Шенфлиса утверждает, что окружность не образует узлов в 2-сфере: каждая топологическая окружность в 2-сфере изотопна геометрической окружности. [21] Теорема Александера утверждает, что 2-сфера не создает гладких (или PL или ручных топологически) узлов в 3-сфере. [22] В ручной топологической категории известно, что n- сфера не сужается в n + 1 -сфере для всех n . Это теорема Мортона Брауна , Барри Мазура и Марстона Морса . [23] Александр рогатой сферыявляется примером завязанной 2-сферы в 3-сфере, которая не является ручной. [24] В гладкой категории известно, что n- сфера не сужается в n + 1 -сфере, если n 3 . Случай n = 3 - давно нерешенная проблема, тесно связанная с вопросом: допускает ли 4-шар экзотическая гладкая структура ?

Андре Хефлигер доказал, что не существует гладких j -мерных узлов в S n при условии 2 n - 3 j - 3> 0 , и привел дополнительные примеры узловых сфер для всех n > j ≥ 1 таких, что 2 n - 3 j - 3 = 0 . n - j называется коразмерностью узла. Интересным аспектом работы Хефлигера является то, что изотопические классы вложений S j  в S nобразуют группу с групповой операцией, задаваемой суммой соединения, при условии, что совпадение больше двух. Хефлигер основал свою работу на теореме Стивена Смейла о h- кобордизме . Одна из теорем Смейла состоит в том, что когда мы имеем дело с узлами в когерентности больше двух, даже неэквивалентные узлы имеют диффеоморфные дополнения. Это придает предмету особый колорит, нежели теория узлов с размерностью 2. Если допустить топологические или PL-изотопии, Кристофер Зееман доказал, что сферы не связываются узлами, когда коразмерность больше 2. См. Обобщение на многообразия .

См. Также [ править ]

  • Теория узлов
  • Узел инвариантный
  • Список математических узлов и ссылок

Заметки [ править ]

  1. ^ Обратите внимание, что 3-сфера эквивалентна R 3 с единственной точкой, добавленной на бесконечности (см. Одноточечная компактификация ).
  2. ^ Узел является ручным тогда и только тогда, когда его можно представить в виде конечной замкнутой многоугольной цепи

Ссылки [ править ]

  1. ^ Армстронг (1983) , стр. 213.
  2. Перейти ↑ Cromwell 2004 , p. 33; Адамс, 1994 , стр. 246–250.
  3. ^ Кромвель (2004) , стр. 5.
  4. ^ Адамс (1994) , стр. 2.
  5. ^ Адамс 1994 , таблица 1.1, стр. 280; Ливингстон 1996 , Приложение A: Таблица узлов, стр. 221
  6. ^ а б Армстронг 1983 , стр. 215
  7. ^ a b Чарльз Ливингстон (1993). Теория узлов . Издательство Кембриджского университета. п. 11. ISBN 978-0-88385-027-5.
  8. ^ Кауфман, Луи Х. (1990). «Инвариант регулярной изотопии» (PDF) . Труды Американского математического общества . 318 (2): 417–471. DOI : 10.1090 / S0002-9947-1990-0958895-7 .
  9. ^ Эльхамдади, Мохамед ; Хаджидж, Мустафа ; Иштван, Кайл (2019), Узлы в рамке , arXiv : 1910.10257.
  10. ^ Adams 1994 , стр. 261-2
  11. ^ Trautwein, Аарон К. (1995). Гармонические узлы (PhD). Международные тезисы диссертаций. 56–06. Университет Айовы. п. 3234. OCLC 1194821918 . 
  12. ^ Trautwein, Аарон К. (1998). «18. Введение в гармонические узлы» . У Стасяка, Анджея; Катрич, Всеволод; Кауфман, Луи Х. (ред.). Идеальные узлы . World Scientific. С. 353–363. ISBN 978-981-02-3530-7.
  13. ^ Адамс, Колин С. (2004). «§2.4 Узлы и плоские графы» . Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов . Американское математическое общество. С. 51–55. ISBN 978-0-8218-3678-1.
  14. ^ Учебное пособие по Entrelacs.net
  15. ^ Тейт, Питер Г. (1876–1877). «На узлах I» . Труды Королевского общества Эдинбурга . 28 : 145–190. DOI : 10.1017 / S0080456800090633 . Пересмотрено 11 мая 1877 г.
  16. ^ Тейт, Питер Г. (1876–1877). «По ссылкам (аннотация)» . Труды Королевского общества Эдинбурга . 9 (98): 321–332. DOI : 10.1017 / S0370164600032363 .
  17. ^ Робертсон, Нил ; Сеймур, Пол ; Томас, Робин (1993), «Обзор беззвучных вложений», в Робертсоне, Нил ; Сеймур, Пол (ред.), Теория структуры графов: Proc. Совместная летняя исследовательская конференция AMS – IMS – SIAM по второстепенным графам (PDF) , Современная математика, 147 , Американское математическое общество, стр. 125–136 .
  18. ^ Рамирес Альфонсин, JL (1999), "Пространственные графы и ориентированные матроиды: трилистник", Дискретная и Вычислительная геометрия , 22 (1): 149-158, DOI : 10.1007 / PL00009446.
  19. ^ Картер, Дж. Скотт; Сайто, Масахико (1998). Узловые поверхности и их диаграммы . Математические обзоры и монографии. 55 . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0593-2. Руководство по ремонту  1487374 .
  20. ^ Камада, Сейичи (2017). Поверхностные узлы в 4-м пространстве . Монографии Спрингера по математике. Springer. DOI : 10.1007 / 978-981-10-4091-7 . ISBN 978-981-10-4090-0. Руководство по ремонту  3588325 .
  21. ^ Хокинг, Джон G .; Янг, Гейл С. (1988). Топология (2-е изд.). Dover Publications. п. 175. ISBN 0-486-65676-4. Руководство по ремонту  1016814 .
  22. ^ Калегари, Дэнни (2007). Слоения и геометрия трехмерных многообразий . Оксфордские математические монографии. Издательство Оксфордского университета. п. 161. ISBN. 978-0-19-857008-0. Руководство по ремонту  2327361 .
  23. ^ Мазур, Барри (1959). «О вложениях сфер» . Бюллетень Американского математического общества . 65 (2): 59–65. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1959-10274-3 . Руководство по ремонту 0117693 .  Браун, Мортон (1960). «Доказательство обобщенной теоремы Шенфлиса» . Бюллетень Американского математического общества . 66 (2): 74–76. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1960-10400-4 . Руководство по ремонту  0117695 . Морс, Марстон (1960). «Уменьшение проблемы расширения Шенфлиса» . Бюллетень Американского математического общества . 66 (2): 113–115. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1960-10420-X . Руководство по ремонту  0117694 .
  24. ^ Александр, JW (1924). «Пример просто соединенной поверхности, ограничивающей не просто соединенную область» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . Национальная академия наук. 10 (1): 8–10. Полномочный код : 1924PNAS ... 10 .... 8A . DOI : 10.1073 / pnas.10.1.8 . ISSN 0027-8424 . JSTOR 84202 . PMC 1085500 . PMID 16576780 .    
  • Адамс, Колин С. (1994). Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов . WH Freeman. ISBN 978-0-7167-2393-6.
  • Армстронг, Массачусетс (1983) [1979]. Базовая топология . Тексты для бакалавриата по математике . Springer. ISBN 0-387-90839-0.
  • Кромвель, Питер Р. (2004). Узлы и ссылки . Издательство Кембриджского университета. DOI : 10.1017 / CBO9780511809767 . ISBN 0-521-83947-5. Руководство по ремонту  2107964 .
  • Фармер, Дэвид В .; Стэнфорд, Теодор Б. (1995). Узлы и поверхности: руководство по открытию математики . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-7265-9.
  • Ливингстон, Чарльз (1993). Теория узлов . Учебники математической ассоциации Америки. 24 . Математическая ассоциация Америки. ISBN 9780883850008.

Внешние ссылки [ править ]

  • " Main_Page ", Атлас узлов .
  • Проект Manifold Atlas