Рациональная функция

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Сентябрь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , A рациональная функции является любой функцией , которая может быть определена с помощью рациональной дроби , которая является алгебраической фракцией , такой , что как числитель и знаменатель полиномы . В коэффициенты полиномов не должны быть рациональными числами ; они могут быть приняты в любом поле К . В этом случае говорят о рациональной функции и рациональной дроби над К . Значения переменных могут быть приняты в любом поле L , содержащего K . Тогда доменфункции является множество значений переменных , для которых знаменатель не равен нулю , а кообласть является л .

Множество рациональных функций над полем K является полем, то поле дробей в кольце из полиномиальных функций над K .

Определения [ править ]

Функция называется рациональной тогда и только тогда, когда ее можно записать в виде${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {P (x)} {Q (x)}}}$

где и являются полиномиальными функциями от и не нулевой функции . Домен в это совокупность всех значений , для которых знаменатель не равен нулю.${\ Displaystyle P \,}$${\ Displaystyle Q \,}$${\ Displaystyle х \,}$${\ Displaystyle Q \,}$${\ displaystyle f \,}$${\ Displaystyle х \,}$${\ Displaystyle Q (х) \,}$

Однако, если и имеют непостоянный полиномиальный наибольший общий делитель , то установка и производит рациональную функцию${\ displaystyle \ textstyle P}$${\ displaystyle \ textstyle Q}$ ${\ displaystyle \ textstyle R}$${\ displaystyle \ textstyle P = P_ {1} R}$${\ displaystyle \ textstyle Q = Q_ {1} R}$

${\ displaystyle f_ {1} (x) = {\ frac {P_ {1} (x)} {Q_ {1} (x)}},}$

который может иметь большую область, чем , и равен в области. Это обычное использование для идентификации и , то есть для расширения "по непрерывности" области до области Действительно, можно определить рациональную дробь как эквивалентность класс дробей многочленов, где две дроби и считаются эквивалентными, если . В этом случае эквивалентно .${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (x).}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f_ {1} (х)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f_ {1} (x).}$${\ displaystyle {\ frac {A (x)} {B (x)}}}$${\ displaystyle {\ frac {C (x)} {D (x)}}}$${\ Displaystyle А (х) D (х) = В (х) С (х)}$${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$${\displaystyle {\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}}$

Правильная рациональная функция является рациональной функцией , в которой степень из не больше , чем степень и оба вещественные многочлены . ^[1]${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle Q(x)}$

Степень [ править ]

Существует несколько неэквивалентных определений степени рациональной функции.

Чаще всего степень рациональной функции - это максимум из степеней составляющих ее многочленов P и Q , когда дробь сокращается до младших членов . Если степень f равна d , то уравнение

${\displaystyle f(z)=w\,}$

имеет d различных решений по z, за исключением определенных значений w , называемых критическими значениями , когда два или более решений совпадают или когда какое-то решение отклоняется на бесконечности (то есть, когда степень уравнения уменьшается после очистки знаменателя ).

В случае комплексных коэффициентов рациональная функция со степенью один является преобразованием Мёбиуса .

Степень графика рациональной функции не степени , как определено выше: это максимум степени числителя и один плюс степень знаменателя.

В некоторых контекстах, например в асимптотическом анализе , степень рациональной функции - это разность между степенями числителя и знаменателя.

В сетевом синтезе и сетевом анализе рациональную функцию второй степени (то есть отношение двух многочленов степени не выше двух) часто называют биквадратичной функцией . ^[2]

Примеры [ править ]

Примеры рациональных функций

Рациональная функция степени 2, с графиком степени 3:${\displaystyle y={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}}$

Рациональная функция

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}$

не определен в

${\displaystyle x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}.}$

Это асимптотика при${\displaystyle {\tfrac {x}{2}}}$${\displaystyle x\to \infty .}$

Рациональная функция

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}}$

определен для всех действительных чисел , но не для всех комплексных чисел , поскольку, если бы x был квадратным корнем из (т.е. мнимой единицей или ее отрицательной величиной), то формальная оценка привела бы к делению на ноль:${\displaystyle -1}$

${\displaystyle f(i)={\frac {i^{2}+2}{i^{2}+1}}={\frac {-1+2}{-1+1}}={\frac {1}{0}},}$

который не определен.

Функция постоянная , такие как ф ( х ) = π является рациональной функцией , так как константы являются полиномами. Сама функция является рациональной, даже если значение из ф ( х ) является иррациональным для всех х .

Каждая полиномиальная функция является рациональной функцией с функцией A, которая не может быть записана в этой форме, например, не является рациональной функцией. Прилагательное «иррациональное» обычно не используется для обозначения функций.${\displaystyle f(x)=P(x)}$${\displaystyle Q(x)=1.}$${\displaystyle f(x)=\sin(x),}$

Рациональная функция равна 1 для всех x, кроме 0, где есть устранимая особенность . Сумма, произведение или частное (за исключением деления на нулевой многочлен) двух рациональных функций сами по себе являются рациональной функцией. Однако процесс приведения к стандартной форме может непреднамеренно привести к удалению таких особенностей, если не будут приняты меры. Использование определения рациональных функций как классов эквивалентности позволяет обойти это, поскольку x / x эквивалентно 1/1.${\displaystyle f(x)={\tfrac {x}{x}}}$

Серия Тейлор [ править ]

Коэффициенты ряда Тейлора любой рациональной функции удовлетворяют линейному рекуррентному соотношению , которое можно найти, приравняв рациональную функцию к ряду Тейлора с неопределенными коэффициентами и собрав одинаковые члены после очистки знаменателя.

Например,

${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}-x+2}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

Умножая на знаменатель и распределяя,

${\displaystyle 1=(x^{2}-x+2)\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$

${\displaystyle 1=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+2}-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+1}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

После корректировки индексов сумм, чтобы получить те же степени x , мы получаем

${\displaystyle 1=\sum _{k=2}^{\infty }a_{k-2}x^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }a_{k-1}x^{k}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

Объединение похожих терминов дает

${\displaystyle 1=2a_{0}+(2a_{1}-a_{0})x+\sum _{k=2}^{\infty }(a_{k-2}-a_{k-1}+2a_{k})x^{k}.}$

Поскольку это верно для всех x в радиусе сходимости исходного ряда Тейлора, мы можем вычислить следующим образом. Поскольку постоянный член слева должен равняться постоянному члену справа, следует, что

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2}}.}$

Тогда, поскольку слева нет степеней x , все коэффициенты справа должны быть равны нулю, из чего следует, что

${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k-1}-a_{k-2})\quad for\ k\geq 2.}$

И наоборот, любая последовательность, удовлетворяющая линейному повторению, определяет рациональную функцию при использовании в качестве коэффициентов ряда Тейлора. Это полезно при решении таких повторений, поскольку, используя разложение на частичную дробь, мы можем записать любую правильную рациональную функцию как сумму множителей вида 1 / (ax + b) и разложить их как геометрический ряд , дав явную формулу для уравнения Тейлора коэффициенты; это метод производящих функций .

Абстрактная алгебра и геометрические понятия [ править ]

В абстрактной алгебре понятие полинома расширено, чтобы включить формальные выражения, в которых коэффициенты полинома могут быть взяты из любого поля . В этой установке данного поля F , а некоторые неопределенные Х , А рациональное выражение является любым элементом поля частных в кольце многочленов F [ X ]. Любое рациональное выражение может быть записано как отношение двух многочленов P / Q с Q ≠ 0, хотя это представление не уникально. P / Q эквивалентно R/ S для полиномов P , Q , R и S , когда PS = QR . Однако, поскольку F [ X ] является уникальной областью факторизации , существует уникальное представление для любого рационального выражения P / Q с полиномами P и Q самой низкой степени и Q, выбранным как монический . Это похоже на то, как дробь целых чисел всегда может быть записана однозначно в наименьших числах, исключая общие множители.

Поле рациональных выражений обозначается F ( X ). Это поле называется генерируются (как поле) над F пути (а трансцендентное элемента ) X , потому что F ( X ) не содержит какой - либо надлежащий подполе , содержащий как F и элемент X .

Сложные рациональные функции [ править ]

В комплексном анализе рациональная функция

${\displaystyle f(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}}$

представляет собой отношение двух многочленов с комплексными коэффициентами, где Q не является нулевым многочленом, а P и Q не имеют общего множителя (это позволяет избежать неопределенного значения 0/0 для f ).

Область определения f - это набор таких комплексных чисел, что и его диапазон - это набор комплексных чисел w, таких что${\displaystyle Q(z)\neq 0,}$${\displaystyle P(z)\neq wQ(z).}$

Каждую рациональную функцию можно естественным образом продолжить до функции, область определения и область значений которой - вся сфера Римана ( комплексная проективная прямая ).

Рациональные функции являются репрезентативными примерами мероморфных функций .

Понятие рациональной функции на алгебраическом многообразии [ править ]

Как и многочлены , рациональные выражения могут быть обобщены на n неопределенных X ₁ , ..., X _n , взяв поле дробей F [ X ₁ , ..., X _n ], которое обозначается F ( X ₁ , ..., X _n ).

Расширенная версия абстрактной идеи рациональной функции используется в алгебраической геометрии. Там поле функций алгебраического многообразия V образуются как поле фракций координатного кольца из V (более точно сказал о Зариском плотном аффинном открытом множестве V ). Его элементы f рассматриваются как регулярные функции в смысле алгебраической геометрии на непустых открытых множествах U , а также могут рассматриваться как морфизмы проективной прямой .

Приложения [ править ]

Эти объекты впервые встречаются в школьной алгебре . В более продвинутой математике они играют важную роль в теории колец , особенно в построении расширений полей . Они также предоставляют пример неархимедового поля (см. Свойство Архимеда ).

Рациональные функции используются в численном анализе для интерполяции и приближения функций, например, аппроксимации Паде, введенные Анри Паде . Приближения в терминах рациональных функций хорошо подходят для систем компьютерной алгебры и другого численного программного обеспечения . Как и многочлены, их можно вычислить напрямую, и в то же время они выражают более разнообразное поведение, чем многочлены.

Рациональные функции используются для аппроксимации или моделирования более сложных уравнений в науке и технике, включая поля и силы в физике, спектроскопию в аналитической химии, кинетику ферментов в биохимии, электронные схемы, аэродинамику, концентрации лекарств in vivo, волновые функции для атомов и молекул, оптику и фотография для улучшения разрешения изображения, а также акустики и звука ^{[ необходима ссылка ]} .

В обработке сигналов , то преобразование Лапласа (для непрерывных систем) или г-преобразование (для дискретного времени систем) от импульсного отклика обычно используемых линейных стационарных систем (фильтры) с бесконечной импульсной характеристикой являются рациональными функциями над комплексными числами .

См. Также [ править ]

• Поле дробей
• Разложение на частичную дробь
• Частичные доли в интеграции
• Функциональное поле алгебраического многообразия
• Алгебраические дроби  - обобщение рациональных функций, позволяющее извлекать целые корни

Ссылки [ править ]

• "Рациональная функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, Б. П. (2007), «Раздел 3.4. Интерполяция и экстраполяция рациональных функций» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

Внешние ссылки [ править ]

• Динамическая визуализация рациональных функций с помощью JSXGraph