Поле дробей

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Базовые концепты Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо продукта • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Клеммное кольцо ${\ Displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (р ^ {\ infty})}$ • Основание - круговое кольцо p ${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ • База - p целых чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -адические рациональные числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • База - p вещественных чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -адические целые числа ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • p -адические числа ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • p -адический соленоид ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

В абстрактной алгебре , то поле частных в качестве интегральной области является наименьшим поле , в котором он может быть встроен .

Элементами поля дробей области целостности являются классы эквивалентности (см. Конструкцию ниже), записанные как${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}$

с

${\ displaystyle a}$ а в и .${\ displaystyle b}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle b \ neq 0}$

Поле дробей иногда обозначают или .${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ operatorname {Frac} (R)}$${\ displaystyle \ operatorname {Quot} (R)}$

Математики называют эту конструкцию полем дробей, полем дробей , полем частных или полем частных . Все четыре используются часто. Выражение «поле частного» иногда может быть перепутано с коэффициентом кольца по идеалу, что является совершенно другим понятием.

Примеры [ править ]

• Поле частных кольца целых чисел является полем рациональных чисел , .${\ displaystyle \ mathbb {Q} = \ operatorname {Frac} (\ mathbb {Z})}$
• Позвольте быть кольцо гауссовских целых чисел . Затем поле гауссовских рациональных чисел .${\ Displaystyle R: = \ {a + b \ mathrm {i} \ mid a, b \ in \ mathbb {Z} \}}$${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)=\{c+d\mathrm {i} \mid c,d\in \mathbb {Q} \}}$
• Поле дробей поля канонически изоморфно самому полю.
• Для данного поля поле дробей кольца многочленов с одним неопределенным (которое является областью целостности) называется полем рациональных функций или полем рациональных дробей ^{[1] [2] [3]} и обозначается .${\displaystyle K}$${\displaystyle K[X]}$${\displaystyle K(X)}$

Строительство [ править ]

Позвольте быть любой области целостности .${\displaystyle R}$

Для с ,${\displaystyle n,d\in R}$${\displaystyle d\neq 0}$

фракция

${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$

обозначает класс эквивалентности пар

${\displaystyle (n,d)}$,

где эквивалентно тогда и только тогда, когда .${\displaystyle (n,d)}$${\displaystyle (m,b)}$ ${\displaystyle nb=md}$

(Определение эквивалентности смоделировано на свойстве рациональных чисел, что если и только если .)${\displaystyle {\frac {n}{d}}={\frac {m}{b}}}$${\displaystyle nb=md}$

Поле фракций определяется как множество всех таких фракций .${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$

Сумма и определяется как${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$${\displaystyle {\frac {m}{b}}}$

${\displaystyle {\frac {nb+md}{db}}}$,

а произведение и определяется как${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$${\displaystyle {\frac {m}{b}}}$

${\displaystyle {\frac {nm}{db}}}$

(проверяется, правильно ли они определены).

Вложение in отображает каждое в дробь для любого ненулевого (класс эквивалентности не зависит от выбора ). Это по образцу личности .${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\frac {en}{e}}}$${\displaystyle e\in R}$${\displaystyle e}$${\displaystyle {\frac {n}{1}}=n}$

Поле дробей характеризуется следующим универсальным свойством :${\displaystyle R}$

если - инъективный гомоморфизм колец из в поле ,${\displaystyle h:R\rightarrow F}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle F}$

тогда существует единственный продолжающийся гомоморфизм колец .${\displaystyle g:\operatorname {Frac} (R)\rightarrow F}$${\displaystyle h}$

Есть категорическая трактовка этой конструкции. Позвольте быть категорией областей целостности и инъективных отображений колец. Функтор из к категории полей , которые принимают каждую интегральную домен его поле и любой гомоморфизм индуцированного отображения на полях (которая существует по универсальному свойству) является сопряженным слева от включения функтора из категории полей в . Таким образом, категория полей (которая является полной подкатегорией) является отражающей подкатегорией из .${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

Мультипликативная идентичность не требуется для роли интегральной области; эта конструкция может быть применена к любой ненулевой коммутативной случайной группе без ненулевых делителей нуля . Вложение дается для любого ненулевого значения . ^[4]${\displaystyle R}$${\displaystyle r\mapsto {\frac {rs}{s}}}$${\displaystyle s\in R}$

Обобщения [ править ]

Локализация [ править ]

Для любого коммутативного кольца и любого мультипликативного множества в ,${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$

локализации является коммутативное кольцо , состоящее из фракций${\displaystyle S}$^{${\displaystyle -1}$}${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {r}{s}}}$

с

${\displaystyle r\in R}$ и ,${\displaystyle s\in S}$

где now эквивалентно тогда и только тогда, когда существует такое, что .${\displaystyle (r,s)}$${\displaystyle (r',s')}$${\displaystyle t\in S}$${\displaystyle t(rs'-r's)=0}$

Следует отметить два особых случая этого:

• Если - дополнение простого идеала , то также обозначается .${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$^{${\displaystyle -1}$}${\displaystyle R}$${\displaystyle R_{P}}$

Когда - область целостности, а - нулевой идеал, - поле долей .${\displaystyle R}$${\displaystyle P}$${\displaystyle R_{P}}$${\displaystyle R}$

• Если - множество ненулевых делителей в , то называется полным факторкольцом .${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$^{${\displaystyle -1}$}${\displaystyle R}$

Общий фактор - кольцо из области целостности является полем частных , но полное кольцо частного определяются для любого коммутативного кольца .

Обратите внимание, что разрешено для содержать 0, но в этом случае будет тривиальное кольцо .${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$^{${\displaystyle -1}$}${\displaystyle R}$

Полутело дробей [ править ]

Полуполь фракций одного коммутативным полукольца с не делителями нуля является самым маленьким Полуполевым , в котором он может быть встроен .

Элементами полуполя дробей коммутативного полукольца являются классы эквивалентности, записываемые как${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

с

${\displaystyle a}$ и в .${\displaystyle b}$${\displaystyle R}$

См. Также [ править ]

• Состояние руды ; это условие, которое необходимо учитывать в некоммутативном случае.
• Проективная прямая над кольцом ; альтернативная структура, не ограниченная целостными областями.

Ссылки [ править ]