Базис (линейная алгебра)

Один и тот же вектор может быть представлен двумя разными основаниями (фиолетовая и красная стрелки).

В математике , А множество B векторов в векторном пространстве V называется базисом , если каждый элемент из V может быть записан единственным образом в виде конечной линейной комбинации элементов B . Коэффициенты этой линейной комбинации называются компонентами или координатами вектора по отношению к B . Элементы базиса называются базисными векторами .

Эквивалентно, множество B является базисом , если ее элементы являются линейно независимыми , и каждый элемент из V является линейной комбинацией элементов B . ^[1] Другими словами, базис - это линейно независимое остовное множество .

Векторное пространство может иметь несколько оснований; однако все базы имеют одинаковое количество элементов, называемое размерностью векторного пространства.

Эта статья посвящена в основном конечномерным векторным пространствам. Однако многие принципы справедливы и для бесконечномерных векторных пространств.

Определение [ править ]

Базис Б из векторного пространства V над полем F (например, действительных чисел R или комплексные числа C ) является линейно независимой подмножество из V , что пролеты V . Это означает, что подмножество B в V является базисом, если оно удовлетворяет двум следующим условиям:

• линейная независимость собственности:

  для каждого конечного подмножества из B , если для некоторых в F , то ; и${\ Displaystyle \ {v_ {1}, \ dotsc, v_ {m} \}}$${\ displaystyle c_ {1} v_ {1} + \ cdots + c_ {m} v_ {m} = 0}$${\ displaystyle c_ {1}, \ dotsc, c_ {m}}$${\ displaystyle c_ {1} = \ cdots = c_ {m} = 0}$

• охватывающее свойство:

  для каждого вектора V в V , можно выбрать в F и в B таким образом, что .${\ displaystyle a_ {1}, \ dotsc, a_ {n}}$${\ displaystyle v_ {1}, \ dotsc, v_ {n}}$${\ displaystyle v = a_ {1} v_ {1} + \ cdots + a_ {n} v_ {n}}$

В скалярах называются координатами вектора V относительно базиса B , а также по первому свойству они однозначно определяются.${\ displaystyle a_ {i}}$

Векторное пространство, имеющее конечный базис, называется конечномерным . В этом случае конечное подмножество может быть взято за само B для проверки линейной независимости в приведенном выше определении.

Часто бывает удобно или даже необходимо иметь упорядочение по базисным векторам, например, при обсуждении ориентации или когда кто-то рассматривает скалярные коэффициенты вектора по отношению к базису без явной ссылки на базисные элементы. В этом случае порядок необходим для привязки каждого коэффициента к соответствующему базисному элементу. Такое упорядочение может быть выполнено путем нумерации базовых элементов. Чтобы подчеркнуть, что порядок был выбран, говорят об упорядоченной основе , которая, следовательно, является не просто неструктурированным набором , а последовательностью , индексированным семейством или подобным; см. § Упорядоченные базы и координаты ниже.

Примеры [ править ]

• Множество R 2 из упорядоченных пар из действительных чисел является векторным пространством для покомпонентного дополнения к

${\ displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),}$

и скалярное умножение

${\ displaystyle \ lambda (a, b) = (\ lambda a, \ lambda b),}$

где любое действительное число. Простая основа этого векторного пространство, называется стандартный базис состоит из двух векторов х ₁ = (1,0) и х ₂ = (0,1) , так как , любой вектор V = ( , б ) из R ² может быть однозначно записанным как${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle v = ae_ {1} + be_ {2}.}$

Любая другая пара линейно независимые векторы R ² , такие как (1, 1) и (-1, 2) , формы и основа из R ² .

• В более общем смысле, если F является полем , набор из n наборов элементов F является векторным пространством для аналогичным образом определенного сложения и скалярного умножения. Позволять${\ displaystyle F ^ {n}}$

${\ Displaystyle е_ {я} = (0, \ ldots, 0,1,0, \ ldots, 0)}$

быть п -кратным со всеми компонентами , равные 0, за исключением того , я го, который равен 1. Тогда является основой , которая называется стандартным базисом из${\ displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {n}}$${\ displaystyle F ^ {n},}$${\displaystyle F^{n}.}$

• Если Р является полем, то кольцо многочленов Р [ Х ] из многочленов в одном неопределимых имеет базис B , называется мономиальный базис , состоящий из всех одночленов :

${\displaystyle B=\{1,X,X^{2},\ldots \}.}$

Любой набор многочленов такой, что существует ровно один многочлен каждой степени, также является базисом. Такой набор полиномов называется полиномиальной последовательностью . Примеры (среди многих) таких полиномиальных последовательностей являются Bernstein базисных полиномов и полиномов Чебышева .

Свойства [ править ]

Многие свойства конечных базисов являются результатом леммы об обмене Стейница , которая гласит, что для любого векторного пространства V , учитывая конечное остовное множество S и линейно независимое множество L из n элементов V , можно заменить n правильно выбранных элементов S элементы L , чтобы получить охватывающее множество , содержащее L , имеющие других его элементы в S , и имеющий одинаковое число элементов , как S .

Большинство свойств, проистекающих из леммы об обмене Стейница, остаются верными, когда нет конечного остовного множества, но их доказательства в бесконечном случае обычно требуют аксиомы выбора или ее более слабой формы, такой как лемма об ультрафильтре .

Если V - векторное пространство над полем F , то:

• Если L - линейно независимое подмножество остовного множества S ⊆ V , то существует базис B такой, что

${\displaystyle L\subseteq B\subseteq S.}$

• V имеет основу (это предыдущее свойство, где L - пустое множество , а S = V ).
• Все основы V имеют одинаковую мощность , которая называется размерность в V . Это теорема о размерности .
• Производящее множество S является основой V тогда и только тогда , когда она минимальна, то есть не собственное подмножество из S не является также порождающим множеством V .
• Линейно независимое множество L является базисом тогда и только тогда, когда оно максимальное, то есть не является собственным подмножеством какого-либо линейно независимого множества.

Если V - векторное пространство размерности n , то:

• Подмножество V с n элементами является базисом тогда и только тогда, когда оно линейно независимое.
• Подмножество V с п элементов является базисом тогда и только тогда , когда оно охватывает множество V .

Координаты [ редактировать ]

Пусть V - векторное пространство конечной размерности n над полем F и

${\displaystyle B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}}$

базис V . По определению базиса каждое v в V может быть записано уникальным образом как

${\displaystyle v=\lambda _{1}b_{1}+\cdots +\lambda _{n}b_{n},}$

где коэффициенты скаляры (то есть, элементы F ), которые называются координатами из V над B . Однако, если говорить о наборе коэффициентов, теряется соответствие между коэффициентами и базисными элементами, и несколько векторов могут иметь один и тот же набор коэффициентов. Например, и имеют одинаковый набор коэффициентов {2, 3} , а разные. Поэтому часто бывает удобно работать с упорядоченной базой ; обычно это делается путем индексации базовых элементов по первым натуральным числам. Тогда координаты вектора образуют${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$${\displaystyle 3b_{1}+2b_{2}}$${\displaystyle 2b_{1}+3b_{2}}$последовательность индексируется аналогично, а вектор полностью характеризуется последовательностью координат. Упорядоченная основа также называется фреймом , это слово обычно используется в различных контекстах для обозначения последовательности данных, позволяющих определять координаты.

Пусть, как обычно, множество из п -кортежей элементов F . Этот набор представляет собой F- векторное пространство с покомпонентным определением сложения и скалярного умножения. Карта ${\displaystyle F^{n}}$

${\displaystyle \varphi :(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\mapsto \lambda _{1}b_{1}+\cdots +\lambda _{n}b_{n}}$

это линейный изоморфизм из векторного пространства на V . Другими словами, это координатное пространство из V , а п -кратного является координатный вектор из V .${\displaystyle F^{n}}$${\displaystyle F^{n}}$${\displaystyle \varphi ^{-1}(v)}$

Прообраз путем из является п -кратного все компоненты которого равны 0, за исключением того , я е т 1. образуют упорядоченный базис , который называется его стандартным базисом или канонический базис . Упорядоченный базис B - это образ канонического базиса${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle F^{n},}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle F^{n}.}$

Это следует из того, что предшествует , что каждый упорядоченный базис является изображением линейного изоморфизмом канонической основы и что каждый линейный изоморфизм на V может быть определен как изоморфизм , который отображает канонический базис на заданной упорядоченной основе V . Другими словами , это эквивалентно определить упорядоченный базис V , или линейный изоморфизм на V .${\displaystyle F^{n},}$${\displaystyle F^{n}}$${\displaystyle F^{n}}$${\displaystyle F^{n}}$

Смена основы [ править ]

Пусть V векторное пространство размерности п над полем F . Принимая во внимание два (заказанные) основания и из V , часто бывает полезно , чтобы выразить координаты вектора х по отношению к в терминах координат относительно Это может быть сделано путем изменения-в-основе формулы , которая описана ниже , . Индексы «старый» и «новый» были выбраны потому, что принято называть и как старый базис и новый базис соответственно. Полезно описывать старые координаты в терминах новых, потому что, как правило, есть выражения${\displaystyle B_{\mathrm {old} }=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$${\displaystyle B_{\mathrm {new} }=(w_{1},\ldots ,w_{n})}$${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$${\displaystyle B_{\mathrm {new} }.}$${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$${\displaystyle B_{\mathrm {new} }}$включая старые координаты, и если кто-то хочет получить эквивалентные выражения в терминах новых координат; это достигается заменой старых координат их выражениями в терминах новых координат.

Обычно новые базисные векторы задаются их координатами по старому базису, то есть

${\displaystyle w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}.}$

Если и - координаты вектора x по старому и новому базису соответственно, формула замены базиса имеет вид ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})}$

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},}$

для i = 1, ..., n .

Эту формулу можно кратко записать в матричной записи. Пусть A - матрица значений и${\displaystyle a_{i,j},}$

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\quad }$ и ${\displaystyle \quad Y={\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}}$

быть векторами-столбцами координат v в старом и новом базисе соответственно, тогда формула для изменения координат

${\displaystyle X=AY.}$

Формулу можно доказать, рассматривая разложение вектора x на два базиса: один имеет

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i},}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\right)v_{i}.\end{aligned}}}$

Результаты формулы переключающие из-основы , то из единственности разложения вектора по базису, то здесь , что является${\displaystyle B_{\mathrm {old} };}$

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},}$

для i = 1, ..., n .

Связанные понятия [ править ]

Бесплатный модуль [ править ]

Если заменить поле, встречающееся в определении векторного пространства, кольцом , получится определение модуля . Для модулей линейная независимость и остовные множества определены точно так же, как и для векторных пространств, хотя « порождающий набор » используется чаще, чем «остовный набор».

Как и в случае векторных пространств, базис модуля - это линейно независимое подмножество, которое также является порождающим множеством. Основное отличие теории векторных пространств состоит в том, что не каждый модуль имеет основу. Модуль, имеющий основу, называется свободным модулем . Свободные модули играют фундаментальную роль в теории модулей, поскольку они могут использоваться для описания структуры несвободных модулей с помощью свободных разрешений .

Модуль над целыми числами - это то же самое, что и абелева группа . Таким образом, свободный модуль над целыми числами также является свободной абелевой группой. Свободные абелевы группы обладают специфическими свойствами, которые не разделяются модулями над другими кольцами. В частности, каждая подгруппа свободной абелевой группы является свободной абелевой группой, и, если G является подгруппой конечно порожденной свободной абелевой группы H (т. Е. Абелевой группой с конечным базисом), существует базис группы H и целое число 0 ≤ k ≤ n такое, что является базисом G для некоторых ненулевых целых чисел. Подробности см. в разделе « Свободная абелева группа» § Подгруппы .${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$${\displaystyle a_{1}e_{1},\ldots ,a_{k}e_{k}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}.}$

Анализ [ править ]

В контексте бесконечномерных векторных пространств над действительными или комплексными числами термин базис Гамеля (названный в честь Георга Хамеля ) или алгебраический базис может использоваться для обозначения базиса, как определено в этой статье. Это делается для того, чтобы отличать другие понятия «базис», которые существуют, когда бесконечномерные векторные пространства наделены дополнительной структурой. Наиболее важные альтернативы ортогональные базисы на гильбертовых пространствах , Шаудер базе и Маркушевич базах на линейных нормированных пространствах . В случае действительных чисел R, рассматриваемых как векторное пространство над полем Qрациональных чисел, базисы Гамеля неисчислимы и имеют, в частности, мощность континуума, которая является кардинальным числом, где - наименьший бесконечный кардинал, кардинал целых чисел.${\displaystyle 2^{\aleph _{0}},}$${\displaystyle \aleph _{0}}$

Общей чертой других понятий является то, что они позволяют брать бесконечные линейные комбинации базисных векторов для генерации пространства. Это, конечно, требует, чтобы в этих пространствах содержательно определялись бесконечные суммы, как в случае топологических векторных пространств - большого класса векторных пространств, включая, например, гильбертовы пространства , банаховы пространства или пространства Фреше .

Предпочтение других типов базисов для бесконечномерных пространств оправдано тем фактом, что базис Гамеля становится «слишком большим» в банаховых пространствах: если X - бесконечномерное нормированное векторное пространство, которое является полным (т. Е. X - банахово пространство ), то любой базис Гамеля в X обязательно несчетен . Это следствие теоремы Бэра о категории . Полнота, а также бесконечная размерность являются ключевыми предположениями в предыдущем утверждении. В самом деле, конечномерные пространства по определению имеют конечные базы, а существуют бесконечномерные ( неполные ) нормированные пространства, которые имеют счетные базисы Гамеля. Учитывать ${\displaystyle c_{00}}$, пространство последовательностей действительных чисел, которые имеют только конечное число ненулевых элементов, с нормой Его стандартный базис , состоящий из последовательностей, имеющих только один ненулевой элемент, равный 1, является счетным базисом Гамеля.${\displaystyle x=(x_{n})}$${\displaystyle \|x\|=\sup _{n}|x_{n}|.}$

Пример [ править ]

В исследовании рядов Фурье , Узнает , что функции {1} ∪ {sin ( NX ), соз ( NX ): п = 1, 2, 3, ...} являются "ортогональным базисом" из (реальных или комплексное) векторное пространство всех (действительных или комплексных) функций на интервале [0, 2π], которые интегрируются с квадратом на этом интервале, т. е. функций f, удовлетворяющих

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left|f(x)\right|^{2}\,dx<\infty .}$

Функции {1} ∪ {sin ( nx ), cos ( nx ): n = 1, 2, 3, ...} линейно независимы, и каждая функция f , интегрируемая с квадратом на [0, 2π], является их "бесконечная линейная комбинация" в том смысле, что

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{0}^{2\pi }{\biggl |}a_{0}+\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx){\bigr )}-f(x){\biggr |}^{2}\,dx=0}$

для подходящих (действительных или комплексных) коэффициентов a _k , b _k . Но многие ^[2] интегрируемые с квадратом функции не могут быть представлены как конечные линейные комбинации этих базисных функций, которые, следовательно , не составляют базиса Гамеля. Каждый базис Гамеля в этом пространстве намного больше, чем просто счетно бесконечный набор функций. Базисы Гамеля пространств такого типа обычно бесполезны, тогда как ортонормированные базисы этих пространств важны в анализе Фурье .

Геометрия [ править ]

Геометрические понятия аффинного пространства , проективного пространства , выпуклого множества и конуса связаны с понятиями основание . ^[3] аффинное базис для п - мерного аффинного пространства точек в общем линейном положении . Проективное базис является точек в общем положении, в проективном пространстве размерности п . Выпуклая основа из многогранника есть множество вершин его выпуклой оболочки . Конуса основание ^[4] состоит из одной точки по краю многоугольного конуса. См. Также базис Гильберта (линейное программирование) .${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n+2}$

Случайная основа [ править ]

Для распределения вероятностей в R ⁿ с функцией плотности вероятности , такого как эквираспределение в n -мерном шаре относительно меры Лебега, можно показать, что n случайно и независимо выбранных векторов сформируют базис с вероятностью единица , которая равна в связи с тем, что n линейно зависимых векторов x ₁ , ..., x _n в R ⁿ должны удовлетворять уравнению det [ x ₁ , ..., x _n ] = 0(нулевой определитель матрицы со столбцами x _i ), а множество нулей нетривиального многочлена имеет нулевую меру. Это наблюдение привело к разработке методов аппроксимации случайных оснований. ^{[5] [6]}

Численно проверить линейную зависимость или точную ортогональность сложно. Поэтому используется понятие ε-ортогональности. Для пространств с внутренним произведением , х есть ε-ортогональна у , если (то есть, косинус угла между х и у меньше е).${\displaystyle |\langle x,y\rangle |/(\|x\|\|y\|)<\epsilon }$

В больших размерностях два независимых случайных вектора с высокой вероятностью почти ортогональны, а количество независимых случайных векторов, которые все с заданной высокой вероятностью попарно почти ортогональны, растет экспоненциально с увеличением размерности. Точнее, рассмотрим равнораспределение в n- мерном шаре. Выберите N независимых случайных векторов из шара (они независимы и одинаково распределены ). Пусть θ - небольшое положительное число. Тогда для

${\displaystyle N\leq e^{\frac {\epsilon ^{2}n}{4}}[-\ln(1-\theta )]^{\frac {1}{2}}}$

(Уравнение 1)

Все N случайных векторов попарно ε-ортогональны с вероятностью 1 - θ . ^[6] Это N растет экспоненциально с размерностью n и для достаточно больших n . Это свойство случайных оснований является проявлением так называемого феномена концентрации меры . ^[7]${\displaystyle N\gg n}$

На рисунке (справа) показано распределение длин N попарно почти ортогональных цепочек векторов, которые независимо случайным образом выбираются из n- мерного куба [-1, 1] ⁿ как функция размерности n . Сначала в кубе случайным образом выбирается точка. Вторая точка выбирается случайным образом в том же кубе. Если угол между векторами находился в пределах π / 2 ± 0,037π / 2, то вектор сохранялся. На следующем этапе в том же гиперкубе генерируется новый вектор, и оцениваются его углы с ранее сгенерированными векторами. Если эти углы находятся в пределах π / 2 ± 0,037π / 2тогда вектор сохраняется. Процесс повторяется до тех пор, пока цепочка почти ортогональности не разорвется, и не будет зафиксировано количество таких попарно почти ортогональных векторов (длина цепочки). Для каждого n численно построено 20 попарно почти ортогональных цепочек для каждого измерения. Представлено распределение длин этих цепочек.

Доказательство того, что каждое векторное пространство имеет основу [ править ]

Пусть V любое векторное пространство над некоторым полем F . Пусть Х множество всех линейно независимых подмножеств V .

Множество X не пусто , так как пустое множество является независимым подмножество V , и это частично упорядоченное по включению, который обозначается, как обычно, с помощью ⊆ .

Пусть Y - подмножество X , которое полностью упорядочено ⊆ , и пусть L _Y - объединение всех элементов Y (которые сами являются некоторыми подмножествами V ).

Поскольку ( Y , ⊆) полностью упорядочено, каждое конечное подмножество L _Y является подмножеством элемента Y , который является линейно независимым подмножеством V , и, следовательно, L _Y линейно независим. Таким образом , L _Y представляет собой элемент X . Поэтому L _Y представляет собой верхнюю границу для Y в ( X , ⊆): это элемент X , который содержит каждый элемент Y .

Поскольку X непусто и каждое полностью упорядоченное подмножество ( X , ⊆) имеет верхнюю границу в X , лемма Цорна утверждает, что X имеет максимальный элемент. Другими словами, существует некоторый элемент L _max из X, удовлетворяющий условию, что если L _max ⊆ L для некоторого элемента L из X , то L = L _max .

Осталось доказать , что L _макс является основой V . Так как L _макс принадлежит X , мы уже знаем , что L _макс является линейно независимым подмножеством V .

Если бы был некоторый вектор w из V, который не находится в промежутке L _max , то w также не был бы элементом L _max . Пусть L _w = L _max ∪ { w }. Этот набор является элементом X , то есть это линейно независимое подмножество V (поскольку w не входит в диапазон L _max , а L _max не зависит). Поскольку L _max ⊆ L _w и L _max ≠ L _w (поскольку L _w содержит вектор wкоторое не содержится в L _max ), это противоречит максимальности L _max . Таким образом , это показывает , что L _MAX пролетов V .

Следовательно , L _макс является линейно независимой и пролеты V . Таким образом, это базис V , и это доказывает, что у каждого векторного пространства есть базис.

Это доказательство опирается на лемму Цорна, которая эквивалентна выбранной аксиоме . Наоборот, было доказано, что если каждое векторное пространство имеет базис, то аксиома выбора верна. ^[8] Таким образом, два утверждения эквивалентны.

См. Также [ править ]

• Смена базы  - Смена координат для векторного пространства
• Каркас векторного пространства
• Сферический базис  - базис, используемый для выражения сферических тензоров.
• Основа матроида

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Общие ссылки [ править ]

• Бласс, Андреас (1984), «Существование базисов подразумевает аксиому выбора», Теория аксиоматических множеств , Contemporary Mathematics volume 31, Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 31–33, ISBN 978-0-8218-5026-8, Руководство по ремонту  0763890
• Браун, Уильям А. (1991), Матрицы и векторные пространства , Нью-Йорк: М. Деккер, ISBN 978-0-8247-8419-5
• Ланг, Серж (1987), Линейная алгебра , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96412-6

Исторические ссылки [ править ]

• Банах, Стефан (1922), «Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (Об операциях в абстрактных множествах и их применении к интегральным уравнениям)» (PDF) , Fundamenta Mathematicae (на французском), 3 : 133– 181, DOI : 10,4064 / фм 3-1-133-181 , ISSN  0016-2736
• Больцано, Бернард (1804), Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Соображения некоторых аспектов элементарной геометрии) (на немецком языке)
• Бурбаки, Николя (1969), Éléments d'histoire des mathématiques (Элементы истории математики) (на французском языке), Париж: Герман
• Dorier, Жан-Люк (1995), "Общая схема генезиса теории векторного пространства" , Хистория Mathematica , 22 (3): 227-261, DOI : 10,1006 / hmat.1995.1024 , МР  1347828
• Фурье, Жан Батист Жозеф (1822), Аналитическая Теория Шалера (на французском языке), Chez Firmin Didot, père et fils
• Грассманн, Герман (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (на немецком языке), оттиск: Герман Грассманн. Перевод Ллойда К. Канненберга. (2000), Теория расширений , Канненберг, LC, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2031-5
• Гамильтон, Уильям Роуэн (1853), Лекции по кватернионам , Королевская ирландская академия
• Мебиус, Август Фердинанд (1827), Der Barycentrische Calcul: ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Барицентрическое исчисление: новая утилита для аналитического обращения с геометрией) (на немецком языке), архивировано из оригинала 12 апреля 2009 г.
• Мур, Gregory H. (1995), "аксиоматизация линейной алгебры: 1875-1940гг", Historia Mathematica , 22 (3): 262-303, DOI : 10,1006 / hmat.1995.1025
• Пеано, Джузеппе (1888), Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann Preduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (на итальянском языке), Турин

Внешние ссылки [ править ]

• Обучающие видео от Khan Academy
  • Введение в базисы подпространств
  • Доказательство того, что любой базис подпространства имеет одинаковое количество элементов
• «Линейные комбинации, промежуток и базисные векторы» . Сущность линейной алгебры . 6 августа 2016 г. - через YouTube .
• «Основа» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]