Треугольное число

Первые шесть треугольных чисел

А количество треугольных или треугольник число отсчетов объектов , расположенные в равностороннем треугольнике (таким образом треугольные числа представляют собой тип фигурного числа , других примеров являются квадратными числами и чисел куб ). П е треугольного числа является числом точек в треугольной договоренности с п точек на одной стороне, и равен сумму п натуральных чисел от 1 до п . Последовательность треугольных чисел (последовательность A000217 в OEIS ), начиная с 0-го треугольного числа , равна

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666 ...

Формула [ править ]

Получение треугольных чисел из выровненного влево треугольника Паскаля

Треугольные числа задаются следующими явными формулами:

${\displaystyle T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2},}$

где - биномиальный коэффициент . Он представляет собой количество различных пар, которые могут быть выбраны из n + 1 объектов, и читается вслух как « n плюс один выбирают два».${\displaystyle \textstyle {n+1 \choose 2}}$

Первое уравнение можно проиллюстрировать с помощью наглядного доказательства . ^[1] Для каждого треугольного числа представьте себе "полуквадратное" расположение объектов, соответствующее треугольному числу, как на рисунке ниже. При копировании этой компоновки и ее повороте для создания прямоугольной фигуры количество объектов удваивается, образуя прямоугольник с размерами , который также является количеством объектов в прямоугольнике. Очевидно, что сам по себе треугольное число всегда ровно половина от числа объектов в такой фигуре, или: . Следующий пример :${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle n\times (n+1)}$${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}$${\displaystyle T_{4}}$

${\displaystyle 2T_{4}=4(4+1)=20}$(зеленый плюс желтый) означает, что (зеленый).${\displaystyle T_{4}={\frac {4(4+1)}{2}}=10}$

Первое уравнение также можно установить с помощью математической индукции . ^[2] Поскольку равно единице, устанавливается базисный случай. Из определения следует, что , принимая индуктивную гипотезу для , добавление к обеим частям немедленно дает${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{n}=n+T_{n-1}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle T_{n}=n+T_{n-1}={\frac {2n}{2}}+{\frac {(n-1)n}{2}}={\frac {(2+n-1)n}{2}}={\frac {(n+1)n}{2}}.}$

Другими словами, поскольку утверждение (то есть первое уравнение или сама индуктивная гипотеза) истинно, когда и поскольку истинность подразумевает, что это также верно, то первое уравнение истинно для всех натуральных чисел. Приведенный выше аргумент можно легко изменить, чтобы начать с нуля и включить его.${\displaystyle P(n)}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle P(n)}$${\displaystyle P(n+1)}$

Говорят, что немецкий математик и ученый Карл Фридрих Гаусс обнаружил эту взаимосвязь в ранней юности, умноживп/2пары чисел в сумме по значениям каждой пары n + 1 . ^[3] Однако, несмотря на правдивость этой истории, Гаусс не был первым, кто открыл эту формулу, и некоторые считают, что ее происхождение восходит к пифагорейцам V века до нашей эры. ^[4] Эти две формулы были описаны ирландским монахом Дикуилом примерно в 816 году в его « Computus» . ^[5]

Треугольное число T _n решает проблему рукопожатия, заключающуюся в подсчете количества рукопожатий, если каждый человек в комнате с n + 1 людьми пожимает руку каждому человеку один раз. Другими словами, решение проблемы рукопожатия для n человек - T _{n −1} . ^[6] Функция T является аддитивным аналогом факториальной функции, которая представляет собой произведение целых чисел от 1 до  n .

Количество отрезков между ближайшими парами точек в треугольнике может быть представлено в виде количества точек или с помощью рекуррентного соотношения :

${\displaystyle L_{n}=3T_{n-1}=3{n \choose 2};~~~L_{n}=L_{n-1}+3(n-1),~L_{1}=0.}$

В пределе соотношение между двумя числами, точками и отрезками линии равно

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n}}{L_{n}}}={\frac {1}{3}}.}$

Отношения к другим фигуральным числам [ править ]

Треугольные числа имеют самые разные отношения с другими фигуральными числами.

Проще говоря, сумма двух следующих друг за другом треугольных чисел представляет собой квадратное число, сумма которого является квадратом разницы между ними (и, таким образом, разность двух является квадратным корнем из суммы). Алгебраически,

${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}.}$

Этот факт можно продемонстрировать графически, расположив треугольники в противоположных направлениях для создания квадрата:

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

Существует бесконечно много треугольных чисел, которые также являются квадратными числами; например, 1, 36, 1225. Некоторые из них могут быть получены с помощью простой рекурсивной формулы:

${\displaystyle S_{n+1}=4S_{n}\left(8S_{n}+1\right)}$ с ${\displaystyle S_{1}=1.}$

Все квадратные треугольные числа находятся из рекурсии

${\displaystyle S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2}$с и${\displaystyle S_{0}=0}$${\displaystyle S_{1}=1.}$

Квадрат, длина стороны которого равна треугольному числу, можно разделить на квадраты и полуквадраты, площади которых складываются с кубиками. Это показывает, что квадрат n- го треугольного числа равен сумме первых n кубических чисел.

Кроме того, квадрат n- го треугольного числа совпадает с суммой кубиков целых чисел от 1 до n . Это также можно выразить как

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.}$

Сумма первых n треугольных чисел является n- м тетраэдрическим числом :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.}$

В более общем смысле, разница между n- м m- угольным числом и n- м ( m + 1) -угольным числом является ( n - 1) -м треугольным числом. Например, шестое семиугольное число (81) минус шестое шестиугольное число (66) равно пятому треугольному числу 15. Каждое другое треугольное число является шестиугольным числом. Зная треугольные числа, можно считать любое центрированное многоугольное число ; п - го по центру K -gonal число получается по формуле

${\displaystyle Ck_{n}=kT_{n-1}+1}$

где T - треугольное число.

Положительная разность двух треугольных чисел - это число трапеции .

Другие свойства [ править ]

Треугольные числа соответствуют случаю первой степени формулы Фаульхабера .

Чередующиеся треугольные числа (1, 6, 15, 28, ...) также являются шестиугольными числами.

Каждое четное совершенное число является треугольным (также как и шестиугольным), определяемым формулой

${\displaystyle M_{p}2^{p-1}={\frac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=T_{M_{p}}}$

где M _p - простое число Мерсенна . Совершенные нечетные числа неизвестны; следовательно, все известные совершенные числа треугольные.

Например, третье треугольное число - (3 × 2 =) 6, седьмое - (7 × 4 =) 28, 31-е - (31 × 16 =) 496 и 127-е - (127 × 64 =) 8128.

В базе 10 , то цифровой корень из числа от нуля треугольного всегда равен 1, 3, 6 или 9. Следовательно, каждое треугольное число либо делится на три или имеет остаток 1 при делении на 9:

0 = 9 × 0

1 = 9 × 0 + 1

3 = 9 × 0 + 3

6 = 9 × 0 + 6

10 = 9 × 1 + 1

15 = 9 × 1 + 6

21 = 9 × 2 + 3

28 = 9 × 3 + 1

36 = 9 × 4

45 = 9 × 5

55 = 9 × 6 + 1

66 = 9 × 7 + 3

78 = 9 × 8 + 6

91 = 9 × 10 + 1

…

У треугольных чисел, которые не делятся на 3, есть более специфическое свойство; то есть, они имеют остаток 1 или 10 при делении на 27. Те, которые равны 10 по модулю 27, также равны 10 по модулю 81.

Шаблон цифрового корня для треугольных чисел, повторяющихся каждые девять членов, как показано выше, - «1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9».

Однако обратное приведенному выше утверждению не всегда верно. Например, цифровой корень 12, не являющийся треугольным числом, равен 3 и делится на три.

Если x - треугольное число, то ax + b также является треугольным числом, если a - нечетный квадрат и b =а - 1/8. Обратите внимание, что b всегда будет треугольным числом, потому что 8 T _n + 1 = (2 n + 1) ² , что дает все нечетные квадраты, обнаруживаются путем умножения треугольного числа на 8 и добавления 1, а процесс для b задан a - нечетный квадрат - это операция, обратная этой операции. Первые несколько пар этой формы (не считая 1 x + 0 ): 9 x + 1 , 25 x + 3 , 49 x + 6 , 81 x + 10 , 121 x+ 15 , 169 x + 21 ,… и т. Д. Если x равно T _n , эти формулы дают T _{3 n + 1} , T _{5 n + 2} , T _{7 n + 3} , T _{9 n + 4} и так далее.

Сумма обратных всех ненулевых треугольных чисел равна

${\displaystyle \!\ \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {{n^{2}+n} \over 2}}=2\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{2}+n}}=2.}$

Это можно показать, используя базовую сумму ряда телескопирования :

${\displaystyle \!\ \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n(n+1)}}=1.}$

Две другие формулы относительно треугольных чисел:

${\displaystyle T_{a+b}=T_{a}+T_{b}+ab}$

и

${\displaystyle T_{ab}=T_{a}T_{b}+T_{a-1}T_{b-1},}$

и то, и другое можно легко установить, глядя на точечные рисунки (см. выше) или с помощью простой алгебры.

В 1796 году Гаусс обнаружил, что каждое положительное целое число может быть представлено в виде суммы трех треугольных чисел (возможно, включая T ₀ = 0), записав в своем дневнике свои знаменитые слова « ! Num = Δ + Δ + Δ ». Эта теорема не означает, что треугольные числа различны (как в случае 20 = 10 + 10 + 0), и что должно существовать решение с ровно тремя ненулевыми треугольными числами. Это частный случай теоремы Ферма о многоугольных числах .

Наибольшее треугольное число формы 2 ^k - 1 равно 4095 (см. Уравнение Рамануджана – Нагелла ).

Вацлав Францишек Серпинский задал вопрос о существовании четырех различных треугольных чисел в геометрической прогрессии . Польский математик Казимеж Шимичек предположил, что это невозможно, и позже это было доказано Фангом и Ченом в 2007 году. ^{[7] [8]}

Формулы, включающие выражение целого числа как суммы треугольных чисел, связаны с тета-функциями , в частности тета-функцией Рамануджана . ^{[9] [10]}

Приложения [ править ]

Полностью подключен сеть из п вычислительных устройств требует присутствия Т _{п - 1} кабели или другие соединения; это эквивалентно проблеме рукопожатия, упомянутой выше.

В формате турнира, который использует групповой этап по круговой системе , количество матчей, которые необходимо сыграть между n командами, равно треугольному числу T _{n - 1} . Например, групповой этап с 4 командами требует 6 матчей, а групповой этап с 8 командами требует 28 матчей. Это также эквивалентно проблеме рукопожатия и неполадкам полностью подключенной сети.

Один из способов расчета амортизации актива - это метод суммы лет , который включает определение T _n , где n - продолжительность срока полезного использования актива в годах. Каждый год элемент теряет ( b - s ) ×п - у/Т _н, где b - начальная стоимость предмета (в денежных единицах), s - его окончательная ликвидационная стоимость, n - общее количество лет, в течение которых предмет может использоваться, а y - текущий год в графике амортизации. Согласно этому методу, элемент со сроком службы n = 4 года потеряет4/10 от его «потерянной» стоимости в первый год, 3/10 В секунду, 2/10 в третьем и 1/10 в четвертом, накапливая общую амортизацию в размере 10/10 (всю) потерянной стоимости.

Треугольные корни и тесты для треугольных чисел[ редактировать ]

По аналогии с квадратным корнем из x , можно определить (положительный) треугольный корень из x как число n такое, что T _n = x : ^[11]

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}}$

что непосредственно следует из квадратичной формулы . Таким образом, целое число x является треугольным тогда и только тогда, когда 8 x + 1 - квадрат. Эквивалентно, если положительный треугольный корень n из x является целым числом, то x является n- м треугольным числом. ^[11]

Альтернативное название [ править ]

Альтернативное название, предложенное Дональдом Кнутом , по аналогии с факториалами , - «термический» с обозначением n ? для n- го треугольного числа. ^[12] Однако, хотя некоторые другие источники используют это имя и обозначения, ^[13] они не используются широко.

См. Также [ править ]

• Дважды треугольное число , треугольное число, положение которого в последовательности треугольных чисел также является треугольным числом.
• Тетрактис , расположение десяти точек в треугольнике, важное в пифагореизме.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме треугольных чисел .

• «Арифметические серии» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Треугольные числа на завязке
• Существуют треугольные числа, которые также являются квадратными при разрубании узла.
• Вайсштейн, Эрик В. «Треугольное число» . MathWorld .
• Гипертетраэдрические многогранные корни Роба Хаббарда, включая обобщение на треугольные кубические корни , некоторые более высокие измерения и некоторые приближенные формулы