Куб (алгебра)

y = x 3

для значений

1 \leq x \leq 25

.

В арифметическом и алгебры , в кубе ряда $п$ является его третья сила , то есть, результат умножения трех экземпляров $п$ вместе. Куб числа или любого другого математического выражения обозначается верхним индексом 3, например 2 ³ = 8 или $(x + 1) 3$ .

Куб - это также число, умноженное на его квадрат :

n 3 = n \times n 2 = n \times n \times n

.

Функция куба - это функция $x \mapsto x 3$ (часто обозначаемая как $y = x 3$ ), которая отображает число в свой куб. Это странная функция , так как

(- п) 3 = - (п 3)

.

Объем из геометрического куба является куб боковой длиной, что приводит к имени. Обратная операция , которая заключается в нахождении ряда , чей куб $п$ называется экстракцией кубического корня из $п$ . Он определяет сторону куба данного объема. Оно также возведено в степень $n$ .

График функции кубы известен как кубическая парабола . Поскольку функция куба является нечетной функцией, эта кривая имеет центр симметрии в начале координат, но не имеет оси симметрии .

В целых числах [ править ]

Номер куба , или идеальный куб , или иногда просто куб , это число , которое является куб из целого числа . Идеальные кубики до 60 ³ (последовательность A000578 в OEIS ):

0 ³ =	0
1 ³ =	1	11 ³ =	1331	21 ³ =	9261	31 ³ =	29 791	41 ³ =	68 921	51 ³ =	132 651
2 ³ =	8	12 ³ =	1728	22 ³ =	10 648	32 ³ =	32 768	42 ³ =	74 088	52 ³ =	140 608
3 ³ =	27	13 ³ =	2197	23 ³ =	12 167	33 ³ =	35 937	43 ³ =	79 507	53 ³ =	148 877
4 ³ =	64	14 ³ =	2744	24 ³ =	13 824	34 ³ =	39 304	44 ³ =	85 184	54 ³ =	157 464
5 ³ =	125	15 ³ =	3375	25 ³ =	15 625	35 ³ =	42 875	45 ³ =	91 125	55 ³ =	166 375
6 ³ =	216	16 ³ =	4096	26 ³ =	17 576	36 ³ =	46 656	46 ³ =	97 336	56 ³ =	175 616
7 ³ =	343	17 ³ =	4913	27 ³ =	19 683	37 ³ =	50 653	47 ³ =	103 823	57 ³ =	185 193
8 ³ =	512	18 ³ =	5832	28 ³ =	21 952	38 ³ =	54 872	48 ³ =	110 592	58 ³ =	195 112
9 ³ =	729	19 ³ =	6859	29 ³ =	24 389	39 ³ =	59 319	49 ³ =	117 649	59 ³ =	205 379
10 ³ =	1000	20 ³ =	8000	30 ³ =	27 000	40 ³ =	64 000	50 ³ =	125 000	60 ³ =	216 000

С геометрической точки зрения положительное целое число $m$ является идеальным кубом тогда и только тогда, когда можно расположить $m$ единичных твердых кубов в более крупный твердый куб. Например, 27 маленьких кубиков можно сложить в один больший, имеющий вид кубика Рубика , поскольку 3 × 3 × 3 = 27 .

Разницу между кубиками последовательных целых чисел можно выразить следующим образом:

п 3 - (п - 1) 3 = 3 (п - 1) п + 1

.

или же

(п + 1) 3 - п 3 = 3 (п + 1) п + 1

.

Минимального идеального куба не существует, поскольку куб с отрицательным целым числом отрицателен. Например, (−4) × (−4) × (−4) = −64 .

Основание десять [ править ]

В отличие от полных квадратов , у совершенных кубов нет небольшого числа возможностей для последних двух цифр. За исключением кубов, делящихся на 5, где только 25 , 75 и 00 могут быть двумя последними цифрами, любая пара цифр с нечетной последней цифрой может быть последней цифрой идеального куба. Для четных кубов существует значительное ограничение, так как только 00 , $o$ 2 , $e$ 4 , $o$ 6 и $e$ 8 могут быть двумя последними цифрами идеального куба (где $o$ обозначает любую нечетную цифру, а $e$ для любой четной цифры). Некоторые числа куба также являются квадратными числами; например, 64 - это квадратное число (8 × 8) и кубическое число (4 × 4 × 4) . Это происходит тогда и только тогда, когда число является точной шестой степенью (в данном случае 2 ⁶ ).

Последние цифры каждой третьей степени:

0

1

8

7

4

5

6

3

2

9

Однако легко показать, что большинство чисел не являются идеальными кубами, потому что все идеальные кубы должны иметь цифровой корень 1 , 8 или 9 . То есть их значения по модулю 9 могут быть только -1, 1 и 0. Более того, цифровой корень куба любого числа можно определить по остатку, полученному при делении числа на 3:

Если число x делится на 3, его куб имеет цифровой корень 9; то есть,

{\ displaystyle {\ text {if}} \ quad x \ Equiv 0 {\ pmod {3}} \ quad {\ text {then}} \ quad x ^ {3} \ Equiv 0 {\ pmod {9}} { \ text {(фактически}} \ quad 0 {\ pmod {27}} {\ text {)}};}

Если при делении на 3 остаток равен 1, его куб имеет цифровой корень 1; то есть,

{\ displaystyle {\ text {if}} \ quad x \ Equiv 1 {\ pmod {3}} \ quad {\ text {then}} \ quad x ^ {3} \ Equiv 1 {\ pmod {9}}; }

Если при делении на 3 остаток равен 2, его куб имеет цифровой корень 8; то есть,

{\ displaystyle {\ text {if}} \ quad x \ Equiv -1 {\ pmod {3}} \ quad {\ text {then}} \ quad x ^ {3} \ Equiv -1 {\ pmod {9} }.}

Проблема Варинга для кубиков [ править ]

Каждое положительное целое число можно записать как сумму девяти (или меньше) положительных кубиков. Этот верхний предел в девять кубиков не может быть уменьшен, потому что, например, 23 не может быть записано как сумма менее девяти положительных кубиков:

23 = 2 ³ + 2 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ .

Суммы трех кубиков [ править ]

Высказано предположение , что каждое целое (положительное или отрицательное) не сравнимы с $\pm 4$ по модулю $9$ можно записать в виде суммы трех (положительных или отрицательных) кубов с бесконечным числом способов. ^[1] Так , например, . Целые числа, сравнимые с $\pm 4$ по модулю $9$ , исключаются, поскольку их нельзя записать как сумму трех кубов. ${\ Displaystyle 6 = 2 ^ {3} + (- 1) ^ {3} + (- 1) ^ {3}}$

Наименьшее такое целое число, для которого такая сумма неизвестна, - 114. В сентябре 2019 года было обнаружено, что предыдущее наименьшее такое целое число без известной суммы 3-кубов, 42, удовлетворяло этому уравнению: ^[2]^{[ необходим лучший источник ]}

{\ displaystyle 42 = (- 80538738812075974) ^ {3} + 80435758145817515 ^ {3} + 12602123297335631 ^ {3}.}

Одно решение для приведено в таблице ниже для $n$ $\leq 78$ , и $n$ не конгруэнтно $4$ или $5$ по модулю $9$ . Выбранное решение является примитивным ( $gcd ($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $) = 1$ ), не имеет формы или (поскольку они являются бесконечными семействами решений) удовлетворяет $0 \leq |$ $х$ $|$ $\leq |$ $y$ $|$ $\leq |$ $z$ $|$ , и имеет минимальные значения для $|$ $z$ $|$ и $|$ $y$ $|$ (проверено в таком порядке). ^[3] ${\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} = n}$ ${\ displaystyle c ^ {3} + (- c) ^ {3} + n ^ {3} = n ^ {3}}$ ${\ displaystyle (n + 6nc ^ {3}) ^ {3} + (n-6nc ^ {3}) ^ {3} + (- 6nc ^ {2}) ^ {3} = 2n ^ {3}}$ ^[4]^[5]

Выбираются только примитивные решения, поскольку непримитивные решения можно тривиально вывести из решений для меньшего значения $n$ . Например, для $n = 24$ решение получается из решения путем умножения всего на. Следовательно, это другое решение, которое выбирается. Аналогично, для $n$ $= 48$ исключается решение $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $) = (-2, -2, 4)$ , и это решение $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $) = (-23, -26, 31 ),$ который выбран. $2^{3}+2^{3}+2^{3}=24$ $1^{3}+1^{3}+1^{3}=3$ $8=2^{3}.$

п	Икс	у	z	п	Икс	у	z
1	9	10	−12	39	117367	134476	−159380
2	1214928	3480205	−3528875	42	12602123297335631	80435758145817515	−80538738812075974
3	1	1	1	43	2	2	3
6	−1	−1	2	44	−5	−7	8
7	0	−1	2	45	2	−3	4
8	9	15	−16	46	−2	3	3
9	0	1	2	47	6	7	−8
10	1	1	2	48	−23	−26	31 год
11	−2	−2	3	51	602	659	−796
12	7	10	−11	52	23961292454	60702901317	−61922712865
15	−1	2	2	53	−1	3	3
16	−511	−1609	1626	54	−7	−11	12
17	1	2	2	55	1	3	3
18	−1	−2	3	56	−11	−21	22
19	0	−2	3	57	1	−2	4
20	1	−2	3	60	−1	−4	5
21 год	−11	−14	16	61	0	−4	5
24	−2901096694	−15550555555	15584139827	62	2	3	3
25	−1	−1	3	63	0	−1	4
26	0	−1	3	64	−3	−5	6
27	−4	−5	6	65	0	1	4
28	0	1	3	66	1	1	4
29	1	1	3	69	2	−4	5
30	−283059965	−2218888517	2220422932	70	11	20	−21
33	−2736111468807040	−8778405442862239	8866128975287528	71	−1	2	4
34	−1	2	3	72	7	9	−10
35 год	0	2	3	73	1	2	4
36	1	2	3	74	66229832190556	283450105697727	−284650292555885
37	0	−3	4	75	4381159	435203083	−435203231
38	1	−3	4	78	26	53	−55

Последняя теорема Ферма для кубов [ править ]

Уравнение $x 3 + y 3 = z 3$ не имеет нетривиальных (т.е. $xyz \neq 0$ ) решений в целых числах. Фактически, в целых числах Эйзенштейна его нет . ^[6]

Оба эти утверждения также верны для уравнения ^[7] $x 3 + y 3 = 3 z 3$ .

Сумма первых n кубиков [ править ]

Сумма первых $n$ кубиков равна квадрату $n-$ го числа треугольника :

1^{3}+2^{3}+\dots +n^{3}=(1+2+\dots +n)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.

Наглядное доказательство того, что 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) ² .

Доказательства. Чарльз Уитстон ( 1854 г. ) дает особенно простой вывод, расширяя каждый куб в сумме до набора последовательных нечетных чисел. Он начинает с предоставления личности

n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ consecutive odd numbers}}}.

Это тождество связано с треугольными числами следующим образом: $T_{n}$

n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),

и, таким образом, формирование слагаемых начинается сразу после тех, которые формируют все предыдущие значения до . Применение этого свойства вместе с другим хорошо известным идентификатором: $n^{3}$ $1^{3}$ $(n-1)^{3}$

n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),

получаем следующий вывод:

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}

Наглядная демонстрация того, что квадрат треугольного числа равен сумме кубиков.

В более поздней математической литературе Stein (1971) использует интерпретацию этих чисел с помощью подсчета прямоугольников, чтобы сформировать геометрическое доказательство тождества (см. Также Benjamin, Quinn & Wurtz 2006 ); он отмечает, что это можно также легко (но малоинформативно) доказать с помощью индукции, и заявляет, что Теплиц (1963) дает «интересное старое арабское доказательство». Каним (2004) предоставляет чисто визуальное доказательство, Бенджамин и Оррисон (2002) предоставляют два дополнительных доказательства, а Нельсен (1993) дает семь геометрических доказательств.

Например, сумма первых 5 кубиков равна квадрату 5-го треугольного числа,

1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}

Аналогичный результат может быть получен для суммы первых $y$ нечетных кубов,

1^{3}+3^{3}+\dots +(2y-1)^{3}=(xy)^{2}

но $x$ , $y$ должны удовлетворять отрицательному уравнению Пелла $x 2 - 2 y 2 = -1$ . Например, для $y = 5$ и $29$ тогда,

1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2}

1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2}

и так далее. Кроме того, каждое четное совершенное число , кроме самого младшего, является суммой первых $двухp -1/2$ нечетные кубики ( p = 3, 5, 7, ...):

28=2^{2}(2^{3}-1)=1^{3}+3^{3}

496=2^{4}(2^{5}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}

8128=2^{6}(2^{7}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}

Сумма кубиков чисел в арифметической прогрессии [ править ]

Одна интерпретация числа Платона: 3³ + 4³ + 5³ = 6³

Вот примеры кубиков чисел в арифметической прогрессии , сумма которых является кубом:

3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}

11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}=20^{3}

31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}=66^{3}

с первым, которое иногда называют загадочным числом Платона . Формула $F$ для нахождения суммы $n$ кубиков чисел в арифметической прогрессии с общей разностью $d$ и исходным кубом $a 3$ ,

F(d,a,n)=a^{3}+(a+d)^{3}+(a+2d)^{3}+\cdots +(a+dn-d)^{3}

дан кем-то

F(d,a,n)=(n/4)(2a-d+dn)(2a^{2}-2ad+2adn-d^{2}n+d^{2}n^{2})

Параметрическое решение

F(d,a,n)=y^{3}

известен для частного случая $d = 1$ или последовательных кубов, но для целого $d > 1$ известны только спорадические решения , например $d$ = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 37, 39 и т. д. ^{[ 8]}

Кубы как суммы последовательных нечетных целых чисел [ править ]

В последовательности нечетных чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..., первый один представляет собой куб ( 1 = 1 ³ ); сумма следующих двух - следующий куб ( 3 + 5 = 2 ³ ); сумма следующих трех - следующий куб ( 7 + 9 + 11 = 3 ³ ); и так далее.

В рациональных числах [ править ]

Каждое положительное рациональное число является суммой трех положительных рациональных кубов ^[9], и есть рациональные числа, которые не являются суммой двух рациональных кубов. ^[10]

В вещественных числах, других полях и кольцах [ править ]

y = x 3

на декартовой плоскости

В вещественных числах функция куба сохраняет порядок: чем больше числа, тем больше кубики. Другими словами, кубики (строго) монотонно увеличиваются . Кроме того, его доменом является вся вещественная линия : функция $x \mapsto x 3 : R \to R$ является сюръекцией (принимает все возможные значения). Только три числа равны своим кубам: -1 , 0 и 1 . Если $-1 < x <0$ или $1 < x$ , то $x 3 > x$ . Если $x <-1$ или $0 < x <1$ , то $x 3 < x$ . Все вышеупомянутые свойства относятся также к любой более высокой нечетной степени ( $x 5$ , $x 7$ , ...) действительных чисел. Равенства и неравенства также верны в любом упорядоченном кольце .

Объемы подобных евклидовых тел связаны как кубы их линейных размеров.

В комплексных числах куб чисто мнимого числа тоже чисто мнимый. Например, $i 3 = - i$ .

Производная от $й 3$ равна $3 х 2$ .

Иногда кубы обладают сюръективным свойством в других полях , например в $F p$ для такого простого $p,$ что $p \neq 1 (mod 3)$ , ^[11], но не обязательно: см. Контрпример с рациональными числами выше . Также в $F 7$ только три элемента 0, ± 1 являются совершенными кубами, всего семь. −1, 0 и 1 - это идеальные кубы где угодно, и единственные элементы поля равны собственным кубам: $x 3 - x = x ( x - 1) ( x + 1)$ .

История [ править ]

Определение кубиков больших чисел было очень распространено во многих древних цивилизациях . Математики Месопотамии создали клинописные таблички с таблицами для вычисления кубов и кубических корней к древневавилонскому периоду (20-16 вв. До н.э.). ^[12]^[13] Кубические уравнения были известны древнегреческому математику Диофанту . ^[14] Герой Александрии разработал метод вычисления кубических корней в I веке нашей эры. ^[15] Методы решения кубических уравнений и извлечения кубических корней появляются в «Девяти главах о математическом искусстве» , китайском математическом издании.текст, составленный примерно во II веке до нашей эры и прокомментированный Лю Хуэем в III веке нашей эры. ^[16]

См. Также [ править ]

Номер кабтакси
Кубическое уравнение
Удвоение куба
Гипотеза Эйлера о сумме степеней
Пятая степень (алгебра)
Четвертая власть
Законы движения планет Кеплера # Третий закон
Седло обезьяны
Идеальная мощность
Номер такси

Примечания [ править ]

^ Huisman, Sander Г. (27 апреля 2016). «Новые суммы трех кубиков». arXiv : 1604.07746 [ math.NT ].
^ «НОВОСТИ: Тайна 42 раскрыта - Numberphile» https://www.youtube.com/watch?v=zyG8Vlw5aAw
^ Последовательности A060465 , A060466 и A060467 в OEIS
^ Три куба
^ п = х ^ 3 + у ^ 3 + г ^ 3
^ Харди и Райт, Thm. 227
^ Харди и Райт, Thm. 232
^ "Коллекция алгебраических тождеств" .^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ Харди и Райт, Thm. 234
^ Харди и Райт, Thm. 233
^ Мультипликативная группа из $F$ $р$ является циклической порядка $р$ $- 1$ , и если оно не делится на 3, то кубы определяют группы автоморфизмов .
↑ Кук, Роджер (8 ноября 2012 г.). История математики . Джон Вили и сыновья. п. 63. ISBN 978-1-118-46029-0.
^ Немет-Nejat, Карен Рея (1998). Повседневная жизнь в Древней Месопотамии . Издательская группа «Гринвуд». п. 306 . ISBN 978-0-313-29497-6.
^ Ван дер Варден, Геометрия и алгебра древних цивилизаций, глава 4, Цюрих 1983 ISBN 0-387-12159-5
^ Smyly, Дж Gilbart (1920). «Формула Герона для кубического корня». Герматена . Тринити-колледж Дублина. 19 (42): 64–67. JSTOR 23037103 .
^ Кроссли, Джон; ТУАЛЕТ. Лун, Энтони (1999). Девять глав по математическому искусству: компаньоны и комментарии . Издательство Оксфордского университета. С. 176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0.

Ссылки [ править ]

Харди, GH ; Райт, EM (1980). Введение в теорию чисел (пятое изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-853171-5.
Уитстона, C. (1854), "О формировании полномочий от арифметических прогрессий", Труды Королевского общества в Лондоне , 7 : 145-151, DOI : 10.1098 / rspl.1854.0036.

[1] Huisman, Sander Г. (27 апреля 2016). «Новые суммы трех кубиков». arXiv : 1604.07746 [ math.NT ].

[2] «НОВОСТИ: Тайна 42 раскрыта - Numberphile» https://www.youtube.com/watch?v=zyG8Vlw5aAw

[3] Последовательности A060465 , A060466 и A060467 в OEIS

[4] Три куба

[5] п = х ^ 3 + у ^ 3 + г ^ 3

[6] Харди и Райт, Thm. 227

[7] Харди и Райт, Thm. 232

[8] "Коллекция алгебраических тождеств" .^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[9] Харди и Райт, Thm. 234

[10] Харди и Райт, Thm. 233

[11] Мультипликативная группа из $F$ $р$ является циклической порядка $р$ $- 1$ , и если оно не делится на 3, то кубы определяют группы автоморфизмов .

[12] Кук, Роджер (8 ноября 2012 г.). История математики . Джон Вили и сыновья. п. 63. ISBN 978-1-118-46029-0.

[nen-13] Немет-Nejat, Карен Рея (1998). Повседневная жизнь в Древней Месопотамии . Издательская группа «Гринвуд». п. 306 . ISBN 978-0-313-29497-6.

[14] Ван дер Варден, Геометрия и алгебра древних цивилизаций, глава 4, Цюрих 1983 ISBN 0-387-12159-5

[15] Smyly, Дж Gilbart (1920). «Формула Герона для кубического корня». Герматена . Тринити-колледж Дублина. 19 (42): 64–67. JSTOR 23037103 .

[oxf-16] Кроссли, Джон; ТУАЛЕТ. Лун, Энтони (1999). Девять глав по математическому искусству: компаньоны и комментарии . Издательство Оксфордского университета. С. 176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0.