Цифровой корень

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Январь 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Цифровой корень (также повторяется цифровая сумма ) из натурального числа в заданном счислении является (одна цифра) значения , полученного путем итерационного процесса суммирования цифр , на каждую итерации с использованием результата от предыдущей итерации для вычисления цифр суммы. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнуто однозначное число.

Формальное определение [ править ]

Позвольте быть натуральным числом. Для базы мы определяем сумму цифр следующим образом:${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b> 1}$ ${\ displaystyle F_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}}$

где - количество цифр в числе в базе , а${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

- значение каждой цифры числа. Натуральное число является цифровым корнем, если оно является фиксированной точкой для , что происходит, если . ${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle F_{b}(n)=n}$

Все натуральные числа являются препериодическими точками для независимо от основания. Это потому , что если , то${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle n\geq b}$

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}}$

и поэтому

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}<\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}=n}$

потому что . Если , то тривиально ${\displaystyle b>1}$${\displaystyle n<b}$

${\displaystyle F_{b}(n)=n}$

Следовательно, единственными возможными цифровыми корнями являются натуральные числа , и нет никаких циклов, кроме фиксированных точек .${\displaystyle 0\leq n<b}$${\displaystyle 0\leq n<b}$

Пример [ править ]

В базе 12 , 8 - это аддитивный цифровой корень числа 3110 по основанию 10 , как и для${\displaystyle n=3110}$

${\displaystyle d_{0}={\frac {3110{\bmod {12^{0+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {3110{\bmod {12}}-3110{\bmod {1}}}{1}}={\frac {2-0}{1}}={\frac {2}{1}}=2}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {3110{\bmod {12^{1+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {3110{\bmod {144}}-3110{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {86-2}{12}}={\frac {84}{12}}=7}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {3110{\bmod {12^{2+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{2}}{12^{2}}}={\frac {3110{\bmod {1728}}-3110{\bmod {1}}44}{144}}={\frac {1382-86}{144}}={\frac {1296}{144}}=9}$

${\displaystyle d_{3}={\frac {3110{\bmod {12^{3+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{3}}{12^{3}}}={\frac {3110{\bmod {20736}}-3110{\bmod {1}}728}{1728}}={\frac {3110-1382}{1728}}={\frac {1728}{1728}}=1}$

${\displaystyle F_{12}(3110)=\sum _{i=0}^{4-1}d_{i}=2+7+9+1=19}$

Этот процесс показывает, что 3110 - это 1972 по основанию 12 . Теперь для${\displaystyle F_{12}(3110)=19}$

${\displaystyle d_{0}={\frac {19{\bmod {12^{0+1}}}-19{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {19{\bmod {12}}-19{\bmod {1}}}{1}}={\frac {7-0}{1}}={\frac {7}{1}}=7}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {19{\bmod {12^{1+1}}}-19{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {19{\bmod {144}}-19{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {19-7}{12}}={\frac {12}{12}}=1}$

${\displaystyle F_{12}(19)=\sum _{i=0}^{2-1}d_{i}=1+7=8}$

показывает, что 19 равно 17 по основанию 12 . А поскольку 8 - это однозначное число в базе 12 ,

${\displaystyle F_{12}(8)=8}$

Прямые формулы [ править ]

Мы можем определить корень цифры непосредственно для базы следующими способами:${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

Формула сравнения [ править ]

Формула в базе :${\displaystyle b}$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\b-1&{\mbox{if}}\ n\neq 0,\ n\ \equiv 0{\bmod {b-1}},\\n\ {\rm {mod}}\ (b-1)&{\mbox{if}}\ n\not \equiv 0{\bmod {b-1}}\end{cases}}}$

или же,

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\1\ +\ ((n-1)\ {\rm {mod}}\ (b-1))&{\mbox{if}}\ n\neq 0.\end{cases}}}$

В базе 10 соответствующая последовательность (последовательность A010888 в OEIS ).

Цифровой корень - это значение по модулю, потому что и, следовательно, независимо от положения, значение одно и то же - поэтому цифры могут быть осмысленно добавлены. Конкретно для трехзначного числа${\displaystyle b-1}$${\displaystyle b\equiv 1{\bmod {b-1}},}$${\displaystyle b^{k}\equiv 1^{k}\equiv 1{\bmod {b-1}},}$${\displaystyle n{\bmod {b}}-1}$${\displaystyle ab^{2}\equiv ab\equiv a{\bmod {b-1}}}$${\displaystyle n=a_{1}b^{2}+a_{2}b^{1}+a_{3}b^{0}}$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)\equiv a_{1}b^{2}+a_{2}b^{1}+a_{3}b^{0}\equiv a_{1}(1)+a_{2}(1)+a_{3}(1)\equiv (a_{1}+a_{2}+a_{3}){\bmod {b-1}}}$.

Чтобы получить модульное значение по отношению к другим числам , можно взять взвешенные суммы , где вес на -й цифре соответствует значению по модулю . В базе 10 это проще всего для 2, 5 и 10, где старшие цифры исчезают (так как 2 и 5 делят 10), что соответствует известному факту, что делимость десятичного числа относительно 2, 5 и 10 можно проверить по последней цифре (четные числа заканчиваются на 0, 2, 4, 6 или 8). ${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle b^{k}}$${\displaystyle n}$

Также следует отметить модуль : поскольку и, таким образом, взятие чередующейся суммы цифр дает значение по модулю .${\displaystyle n=b+1}$${\displaystyle b\equiv -1{\bmod {b+1}},}$${\displaystyle b^{2}\equiv (-1)^{2}\equiv 1{\pmod {b+1}},}$${\displaystyle b+1}$

Использование функции пола [ править ]

Это помогает увидеть цифровой корень положительного целого числа как позицию, которую он занимает по отношению к наибольшему кратному меньшему, чем само число. Например, в базе 6 цифровой корень 11 равен 2, что означает, что 11 является вторым числом после . Точно так же в базе 10 цифровой корень 2035 равен 1, что означает это . Если число дает точный цифровой корень , то это число кратно .${\displaystyle b-1}$${\displaystyle 6-1=5}$${\displaystyle 2035-1=2034|9}$${\displaystyle b-1}$${\displaystyle b-1}$

Имея это в виду, цифровой корень положительного целого числа может быть определен с помощью функции пола , как${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)=n-(b-1)\left\lfloor {\frac {n-1}{b-1}}\right\rfloor .}$

Свойства [ править ]

• Цифровой корень в базе - это цифровой корень суммы цифрового корня и цифрового корня . Это свойство можно использовать как своего рода контрольную сумму для проверки правильности вычисления суммы.${\displaystyle a_{1}+a_{2}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}+a_{2})=\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(a_{1})+\operatorname {dr} _{b}(a_{2})).}$

• Цифровой корень в базе соответствует разнице между цифровым корнем и цифровым корнем по модулю .${\displaystyle a_{1}-a_{2}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle b-1}$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}-a_{2})\equiv (\operatorname {dr} _{b}(a_{1})-\operatorname {dr} _{b}(a_{2})){\bmod {b-1}}.}$

• Цифровой корень в базе выглядит следующим образом:${\displaystyle -n}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(-n)\equiv -\operatorname {dr} _{b}(n){\bmod {b-1}}.}$

• Цифровой корень произведения ненулевых однозначных чисел с основанием дается Ведическим квадратом с основанием .${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$
• Цифровой корень в базе - это цифровой корень продукта цифрового корня и цифрового корня .${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}a_{2})=\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(a_{1})\cdot \operatorname {dr} _{b}(a_{2})).}$

Аддитивная стойкость [ править ]

В добавок , упорство рассчитывает , сколько раз мы должны подвести свои цифры , чтобы прибыть на его цифровой корень.

Например, аддитивная стойкость 2718 в базе 10 равна 2: сначала мы находим, что 2 + 7 + 1 + 8 = 18, затем 1 + 8 = 9.

Нет никаких ограничений на аддитивное постоянство числа в числовой базе . Доказательство: для данного числа постоянство числа, состоящего из повторений цифры 1, на 1 больше, чем у . Наименьшие числа аддитивной стойкости 0, 1, ... в базе 10:${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

0, 10, 19, 199, 19,999,999,999,999,999,999,999, ... (последовательность A006050 в OEIS )

Следующее число в последовательности (наименьшее число аддитивной стойкости 5) равно 2 × 10 ^{2 × (10 22  - 1) / 9}  - 1 (то есть 1, за которой следуют 2,222 222 222 2222 222 222 229 9). Для любого фиксированного основания сумма цифр числа пропорциональна его логарифму ; следовательно, аддитивная стойкость пропорциональна повторному логарифму . ^[1]

Пример программирования [ править ]

В приведенном ниже примере реализуется сумма цифр, описанная в приведенном выше определении, для поиска цифровых корней и аддитивных постоянств в Python .

def  digit_sum ( x :  int ,  b :  int )  ->  int :  total  =  0,  а  x  >  0 :  total  =  total  +  ( x  %  b )  x  =  x  //  b  вернуть  итогЗащиту  digital_root ( х :  INT ,  б :  INT )  ->  INT :  видно  =  множество () ,  а  х  не  в  видел :  видел . add ( x )  x  =  digit_sum ( x ,  b )  return  xЗащиту  additive_persistence ( х :  INT ,  б :  INT )  ->  INT :  видно  =  множество () ,  а  х  не  в  видел :  видел . add ( x )  x  =  digit_sum ( x ,  b )  return  len ( видно )  -  1

В популярной культуре [ править ]

Цифровые корни используются в западной нумерологии , но некоторые числа, имеющие оккультное значение (например, 11 и 22), не всегда полностью сводятся к одной цифре.

Цифровые корни образуют важную механику в приключенческой игре-новелле Nine Hours, Nine Persons, Nine Doors .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

• Авербах, Бонни ; Чейн, Орин (27 мая 1999 г.), Решение проблем с помощью развлекательной математики , Dover Books on Mathematics (переиздание), Mineola, NY: Courier Dover Publications, стр.  125–127 , ISBN 0-486-40917-1( онлайн-копия , стр. 125, в Google Книгах )
• Ганнам, Талал (4 января 2011 г.), Тайна чисел: раскрытие их цифрового корня , CreateSpace Publications, стр. 68–73, ISBN 978-1-4776-7841-1, заархивировано из оригинала 29 марта 2016 г. , извлечено 11 февраля 2016 г.( онлайн-копия , стр. 68, в Google Книгах )
• Холл, FM (1980), Введение в абстрактную алгебру , 1 (2-е изд.), Кембридж, Великобритания: Архив CUP, стр. 101, ISBN 978-0-521-29861-2( Интернет-копия , стр. 101, в Google Книгах )
• O'Beirne, TH (13 марта 1961 г.), «Загадки и парадоксы», New Scientist , Reed Business Information, 10 (230): 53–54, ISSN  0262-4079( онлайн-копия , стр. 53, в Google Книгах )
• Роуз Болл, WW ; Кокстер, HSM (6 мая 2010 г.), « Математические развлечения и эссе» , «Развлекательная математика в Дувре» (13-е изд.), Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-25357-2( онлайн-копия в Google Книгах )

Внешние ссылки [ править ]

• Выкройки цифровых корней в MS Excel
• Вайсштейн, Эрик В. «Цифровой корень» . MathWorld .