Весовая функция

Весовая функция представляет собой математическое устройство , используемое при выполнении суммы, интеграла, или среднее , чтобы дать некоторые элементы больше «вес» или влияние на результат , чем другие элементы , в том же наборе. Результатом такого применения весовой функции является взвешенная сумма или средневзвешенное значение . Весовые функции часто встречаются в статистике и анализе и тесно связаны с концепцией меры . Весовые функции могут использоваться как в дискретных, так и в непрерывных настройках. Их можно использовать для построения систем исчисления, называемых «взвешенное исчисление» ^[1] и «метаисчисление». ^[2]

Дискретные веса [ править ]

Общее определение [ править ]

В дискретной настройке весовая функция - это положительная функция, определенная на дискретном множестве , которое обычно является конечным или счетным . Весовая функция соответствует невзвешенной ситуации, когда все элементы имеют равный вес. Затем можно применить этот вес к различным концепциям.${\ displaystyle w \ двоеточие A \ to \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle ш (а): = 1}$

Если функция является реальной значной функцией , то невзвешенная сумма из на определяются как${\ displaystyle f \ двоеточие A \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ сумма _ {а \ в А} е (а);}$

но учитывая весовую функцию , то взвешенная сумма или коническая комбинация определяется как${\ displaystyle w \ двоеточие A \ to \ mathbb {R} ^ {+}}$

${\ displaystyle \ sum _ {a \ in A} f (a) w (a).}$

Одно из распространенных применений взвешенных сумм - численное интегрирование .

Если B - конечное подмножество A , можно заменить невзвешенную мощность | B | из B по взвешенной мощности

${\ displaystyle \ sum _ {a \ in B} w (a).}$

Если A - конечное непустое множество, можно заменить невзвешенное среднее или среднее

${\ displaystyle {\ frac {1} {| A |}} \ sum _ {a \ in A} f (a)}$

по средневзвешенному или средневзвешенному

${\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {a \ in A} f (a) w (a)} {\ sum _ {a \ in A} w (a)}}.}$

В этом случае важны только относительные веса.

Статистика [ править ]

Взвешенные средние обычно используются в статистике для компенсации наличия систематической ошибки . Для величины, измеренной несколько независимых раз с отклонением , наилучшая оценка сигнала получается путем усреднения всех измерений с весом , и результирующая дисперсия меньше, чем каждое из независимых измерений . Метод максимального правдоподобия взвешивает разницу между соответствием и данными с использованием одинаковых весов .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {я} ^ {2}}$${\ textstyle w_ {я} = {\ гидроразрыва {1} {\ sigma _ {я} ^ {2}}}}$${\ textstyle \ sigma ^ {2} = 1 / \ сумма w_ {я}}$${\ displaystyle w_ {i}}$

Ожидаемое значение случайной переменной представляет собой взвешенное среднее из возможных значений может взять на себя , причем весовые коэффициенты быть соответствующие вероятности . В более общем смысле, ожидаемое значение функции случайной величины - это взвешенное по вероятности среднее значение, которое функция принимает для каждого возможного значения случайной величины.

В регрессиях, в которых предполагается, что на зависимую переменную влияют как текущие, так и запаздывающие (прошлые) значения независимой переменной , оценивается распределенная функция запаздывания , которая представляет собой средневзвешенное значение текущего и различных значений независимой переменной с запаздыванием. Аналогичным образом, модель скользящего среднего определяет развивающуюся переменную как средневзвешенное значение текущих и различных запаздывающих значений случайной величины.

Механика [ править ]

Терминологическая функция веса происходит из механики : если на рычаге есть набор объектов с весами (где вес теперь интерпретируется в физическом смысле) и положениями , то рычаг будет уравновешен, если точка опоры рычага находится в центр масс${\ displaystyle n}$${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1},\dotsc ,{\boldsymbol {x}}_{n}}$

${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},}$

что также является средневзвешенным значением позиций .${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{i}}$

Непрерывные веса [ править ]

В непрерывном обстановке, вес является положительным показателем , таким как на некотором домене , который обычно представляет собой подмножество из евклидова пространства , например , может быть интервалом . Здесь есть мера Лебега и является неотрицательной измеримой функцией . В этом контексте весовую функцию иногда называют плотностью .${\displaystyle w(x)\,dx}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle w\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle w(x)}$

Общее определение [ править ]

Если это реальная значная функция , то невзвешенная интеграл${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\ dx}$

можно обобщить на взвешенный интеграл

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)w(x)\,dx}$

Обратите внимание , что один , возможно , придется требовать , чтобы быть абсолютно интегрируема по отношению к весу , чтобы для этого интеграла конечной.${\displaystyle f}$${\displaystyle w(x)\,dx}$

Взвешенный объем [ править ]

Если E является подмножеством , то объем vol ( E ) E может быть обобщен на взвешенный объем${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int _{E}w(x)\ dx,}$

Средневзвешенное значение [ править ]

Если имеет конечный ненулевой взвешенный объем, то мы можем заменить невзвешенное среднее${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {vol} (\Omega )}}\int _{\Omega }f(x)\ dx}$

по средневзвешенному

${\displaystyle {\frac {\int _{\Omega }f(x)\,w(x)\,dx}{\int _{\Omega }w(x)\,dx}}}$

Билинейная форма [ править ]

Если и - две функции, можно обобщить невзвешенную билинейную форму${\displaystyle f\colon \Omega \to {\mathbb {R} }}$${\displaystyle g\colon \Omega \to {\mathbb {R} }}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ dx}$

к взвешенной билинейной форме

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ w(x)\ dx.}$

См. Статью об ортогональных многочленах, где приведены примеры взвешенных ортогональных функций .

См. Также [ править ]

• Центр массы
• Численное интегрирование
• Ортогональность
• Средневзвешенное значение
• Линейная комбинация
• Ядро (статистика)
• Мера (математика)
• Интеграл Римана – Стилтьеса.

Ссылки [ править ]