Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Доказательство без слов теоремы Никомаха ( Gulley (2010) ) [ требуется полная ссылка ]

В математике , доказательство без слов является доказательством тождества или математического утверждения , которое можно продемонстрировать , как само собой разумеющееся диаграммой без сопровождающего пояснительного текста. Такие доказательства можно считать более элегантными, чем формальные или математически строгими из-за их очевидной природы. [1] Когда диаграмма демонстрирует частный случай общего утверждения, чтобы быть доказательством, оно должно быть обобщаемым. [2]

Примеры [ править ]

Сумма нечетных чисел [ править ]

Без слов доказательство теоремы о сумме нечетных чисел.

Утверждение, что сумма всех положительных нечетных чисел до 2 n  - 1 является полным квадратом, а точнее, полным квадратом n 2, можно продемонстрировать без слов, как показано справа. [3] Первый квадрат состоит из 1 блока; 1 - это первый квадрат. Следующая полоса, состоящая из белых квадратов, показывает, как добавление еще трех блоков дает еще один квадрат: четыре. Следующая полоса, состоящая из черных квадратов, показывает, как добавление еще 5 блоков образует следующий квадрат. Этот процесс можно продолжать бесконечно.

Теорема Пифагора [ править ]

Без слов доказательство теоремы Пифагора, полученное в Zhoubi Suanjing .

Теорема Пифагора может быть доказана без слов, как показано на второй диаграмме слева. Два разных метода определения площади большого квадрата дают соотношение

между сторонами. Это доказательство более тонкое, чем приведенное выше, но его все же можно считать доказательством без слов. [4]

Неравенство Дженсена [ править ]

Графическое доказательство неравенства Дженсена.

Неравенство Дженсена также можно доказать графически, как показано на третьей диаграмме. Пунктирная кривая по оси X - это гипотетическое распределение X , а пунктирная кривая по оси Y - соответствующее распределение значений Y. Обратите внимание , что выпуклое отображение У ( Х ) все более «отрезки» распределение для увеличения значения X . [5]

Использование [ править ]

Наглядное доказательство теоремы Де Брёйна о том, что ящик 6 × 6 × 6 не может быть полностью заполнен кубоидами 1 × 2 × 4: каждый кубоид занимает ровно 4 белых и 4 черных куба, но белых кубиков больше, чем черных.

В журнале Mathematics Magazine и College Mathematics Journal регулярно публикуются статьи под названием «Доказательства без слов», содержащие, как следует из названия, доказательства без слов. [3] Веб- сайты«Искусство решения проблем» и USAMTS запускают Java-апплеты, иллюстрирующие доказательства без слов. [6] [7]

См. Также [ править ]

  • Теорема о пицце
  • Визуальное исчисление
  • Философия математики

Заметки [ править ]

  1. Перейти ↑ Dunham 1994 , p. 120
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Доказательство без слов» . MathWorld . Проверено 20 июня 2008 г.
  3. ↑ a b Dunham 1994 , p. 121
  4. ^ Nelsen 1997 , стр. 3
  5. ^ «Неравенство Дженсена», Бюллетень Американского математического общества , Американское математическое общество, 43 (8), стр. 527, 1937, DOI : 10.1090 / S0002-9904-1937-06588-8
  6. ^ Галерея доказательств , Искусство решения проблем , получено 28 мая 2015 г.
  7. ^ Галерея доказательств , USA Mathematical Talent Search , получено 28 мая 2015 г.

Ссылки [ править ]

  • Данэм, Уильям (1994), Математическая вселенная , Джон Уайли и сыновья, ISBN 0-471-53656-3
  • Нельсен, Роджер Б. (1997), Доказательства без слов: упражнения на визуальное мышление , Математическая ассоциация Америки, стр. 160, ISBN 978-0-88385-700-7
  • Нельсен, Роджер Б. (2000), Доказательства без слов II: Дополнительные упражнения в визуальном мышлении , Математическая ассоциация Америки, стр.  142 , ISBN 0-88385-721-9