Теорема де Брейна

В статье 1969 года голландский математик Николаас Говерт де Брейн доказал несколько результатов об упаковке конгруэнтных прямоугольных кирпичей (любого размера) в большие прямоугольные коробки таким образом, чтобы не оставалось места. Один из этих результатов теперь известен как теорема де Брейна . Согласно этой теореме, «гармонический кирпич» (в котором длина каждой стороны кратна длине следующей меньшей стороны) можно упаковать только в коробку, размеры которой кратны размерам кирпича. ^[1]

Де Брюйну пришлось доказать этот результат после того, как его тогдашний семилетний сын Ф.В. де Брюйн не смог собрать кубики определенного размера в куб. ^{[2] [3]} Куб имеет объем, равный объему кирпичей, но в него можно положить только кирпичи. Один из способов увидеть это — разбить куб на более мелкие кубы, окрашенные в черный и белый цвета попеременно. В этой раскраске больше элементарных ячеек одного цвета, чем другого, но при этой раскраске любое размещение кирпича должно иметь одинаковое количество ячеек каждого цвета. Следовательно, любая мозаика кирпичами также будет иметь одинаковое количество ячеек каждого цвета, что невозможно. ^[4]${\ Displaystyle 1 \ CDOT 2 \ CDOT 4}$${\ Displaystyle 6 \ CDOT 6 \ CDOT 6}$${\displaystyle 27}$${\displaystyle 26}$${\displaystyle 27}$${\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2}$${\displaystyle 1\cdot 2\cdot 4}$Теорема де Брейна доказывает, что идеальная упаковка с этими размерами невозможна, в более общем смысле, который применим ко многим другим размерам кирпичей и коробок.

Предположим, что -мерный прямоугольный ящик (математически кубоид ) имеет целые длины сторон, а кирпич имеет длину . Если стороны кирпича можно умножить на другой набор целых чисел так, чтобы они были перестановкой , коробка называется кратной кирпичу. Затем коробку можно заполнить такими кирпичами тривиальным способом, ориентируя все кирпичи одинаково. ^[1]${\displaystyle d}$${\displaystyle A_{1}\cdot A_{2}\cdot \dotso \cdot A_{d}}$${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}\cdot \dotso \cdot a_{d}}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots a_{d}b_{d}}$${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{d}}$

Раскраска единичных кубиков в коробке, которую можно использовать для доказательства невозможности укладки кубиков, поскольку каждый кирпич покрывает 4 белых и 4 черных куба, но в коробке белых кубиков на 8 больше, чем черных.${\displaystyle 6\cdot 6\cdot 6}$${\displaystyle 1\cdot 2\cdot 4}$

Ящик , облицованный кирпичом, для футляра и${\displaystyle (a_{1}+a_{2})\cdot (a_{1}a_{2})}$${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}}$${\displaystyle a_{1}=2}$${\displaystyle a_{2}=5}$