теорема Пифагора

Теорема Пифагора
Сумма площадей двух квадратов на катетах ( a и b ) равна площади квадрата на гипотенузе ( c ).

Геометрия
Проецирование в сферу на плоскости
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность ( перпендикулярность ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Область Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадратный Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Область
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четырех- / многомерный Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джишхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джишхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов
v т е

В математике , то теорема Пифагора или теорема Пифагора , является фундаментальным отношение в евклидовой геометрии среди трех сторон прямоугольного треугольника . В нем говорится, что площадь квадрата, сторона которого является гипотенузой (стороной, противоположной прямому углу ), равна сумме площадей квадратов на двух других сторонах . Эту теорему можно записать в виде уравнения, связывающего длины сторон a , b и c , часто называемого уравнением Пифагора : ^[1]

${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2},}$

где c представляет собой длину гипотенузы, а a и b - длины двух других сторон треугольника. Теорема, история которой является предметом многочисленных споров, названа в честь греческого мыслителя Пифагора , родившегося около 570 г. до н.э.

Теорема была доказана много раз множеством различных методов - возможно, самым большим для любой математической теоремы. Доказательства разнообразны, включая как геометрические, так и алгебраические доказательства, некоторые из которых датируются тысячелетиями.

Теорема может быть обобщена различными способами: на многомерные пространства, на пространства, не являющиеся евклидовыми, на объекты, которые не являются прямоугольными треугольниками, и на объекты, которые вообще не являются треугольниками, а являются n- мерными телами. Теорема Пифагора вызвала интерес за пределами математики как символ математической непонятности, загадочности или интеллектуальной силы; популярные ссылки в литературе, пьесах, мюзиклах, песнях, марках и мультфильмах имеются в большом количестве.

Доказательство перестановки

Каждый из двух больших квадратов, показанных на рисунке, содержит четыре идентичных треугольника, и единственное различие между двумя большими квадратами состоит в том, что треугольники расположены по-разному. Следовательно, белое пространство внутри каждого из двух больших квадратов должно иметь одинаковую площадь. Приравнивание площади белого пространства дает теорему Пифагора, QED ^[2]

Хит приводит это доказательство в своем комментарии к предложению I.47 в « Элементах » Евклида и упоминает предположения Бретшнейдера и Ганкеля о том, что Пифагор мог знать это доказательство. Сам Хит поддерживает другое предложение пифагорейского доказательства, но с самого начала своей дискуссии признает, что «греческая литература, которой мы располагаем, относящаяся к первым пяти столетиям после Пифагора, не содержит утверждений, уточняющих это или какое-либо другое конкретное великое геометрическое открытие для него. " ^[3] Недавние исследования поставили под сомнение какую-либо роль Пифагора как создателя математики, хотя споры по этому поводу продолжаются. ^[4]

Другие формы теоремы

Если c обозначает длину гипотенузы, а a и b обозначают длины двух других сторон, теорема Пифагора может быть выражена как уравнение Пифагора:

${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}.}$

Если длины как a, так и b известны, то c можно рассчитать как

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Если длина гипотенузы c и одной стороны ( a или b ) известна, то длину другой стороны можно рассчитать как

${\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}}$

или же

${\displaystyle b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}.}$

Уравнение Пифагора связывает стороны прямоугольного треугольника простым способом, так что, если известны длины любых двух сторон, можно найти длину третьей стороны. Другое следствие теоремы состоит в том, что в любом прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любой из других сторон, но меньше их суммы.

Обобщением этой теоремы является закон косинусов , который позволяет вычислить длину любой стороны любого треугольника, учитывая длины двух других сторон и угол между ними. Если угол между другими сторонами является прямым, закон косинусов сводится к уравнению Пифагора.

Другие доказательства теоремы

У этой теоремы может быть больше известных доказательств, чем у любой другой (закон квадратичной взаимности является еще одним претендентом на это различие); книга «Предложение Пифагора» содержит 370 доказательств. ^[5]

Доказательство с использованием подобных треугольников

Это доказательство основано на пропорциональности сторон двух одинаковых треугольников, то есть на том факте, что отношение любых двух соответствующих сторон одинаковых треугольников одинаково независимо от размера треугольников.

Пусть ABC представляет собой прямоугольный треугольник с прямым углом, расположенным в точке C , как показано на рисунке. Нарисуйте высоту от точки C и назовите H ее пересечение со стороной AB . Точка H делит длину гипотенузы c на части d и e . Новый треугольник ACH является подобен треугольнику ABC , потому что они оба имеют прямой угол (по определению высоты), и они делят угол на А , а это означает , что третий угол будет одинаковым в обоих треугольников , а также, помечается какθ на рисунке. По аналогичным соображениям треугольник CBH также похож на ABC . Доказательство подобия треугольников требует постулата треугольника : сумма углов в треугольнике равна двум прямым углам и эквивалентна постулату параллельности . Подобие треугольников приводит к равенству соотношений соответствующих сторон:

${\displaystyle {\frac {BC}{AB}}={\frac {BH}{BC}}{\text{ and }}{\frac {AC}{AB}}={\frac {AH}{AC}}.}$

Первый результат приравнивает косинусы углов θ , тогда как второй результат приравнивает их синусы .

Эти отношения можно записать как

${\displaystyle BC^{2}=AB\times BH{\text{ and }}AC^{2}=AB\times AH.}$

Суммируя эти два равенства, получаем

${\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB\times BH+AB\times AH=AB\times (AH+BH)=AB^{2},}$

которая после упрощения выражает теорему Пифагора:

${\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}\ .}$

Роль этого доказательства в истории является предметом множества спекуляций. Основной вопрос заключается в том, почему Евклид не использовал это доказательство, а изобрел другое. Одно из предположений состоит в том, что доказательство с помощью подобных треугольников включало в себя теорию пропорций, тему, не обсуждавшуюся до тех пор, пока в « Элементах» не обсуждались , и что теория пропорций в то время нуждалась в дальнейшем развитии. ^{[6] [7]}

Доказательство Евклида

В общих чертах, вот как проходит доказательство в « Элементах » Евклида . Большой квадрат разделен на левый и правый прямоугольники. Строится треугольник, который имеет половину площади левого прямоугольника. Затем строится еще один треугольник, который имеет половину площади квадрата с левой стороны. Показано, что эти два треугольника совпадают , что доказывает, что этот квадрат имеет такую ​​же площадь, что и левый прямоугольник. За этим аргументом следует аналогичная версия для правого прямоугольника и оставшегося квадрата. Если сложить два прямоугольника вместе, чтобы преобразовать квадрат на гипотенузе, его площадь будет равна сумме площадей двух других квадратов. Подробности приведены ниже.

Пусть , B , C быть вершины прямоугольного треугольника, с прямым углом A . Опустите перпендикуляр из A в сторону, противоположную гипотенузе в квадрате на гипотенузе. Эта линия делит квадрат гипотенузы на два прямоугольника, каждый из которых имеет такую ​​же площадь, что и один из двух квадратов на катетах.

Для формального доказательства нам потребуются четыре элементарных леммы :

1. Если у двух треугольников две стороны одного равны двум сторонам другого, каждый к каждому, и углы, составляемые этими сторонами, равны, то треугольники конгруэнтны ( сторона-угол-сторона ).
2. Площадь треугольника равна половине площади любого параллелограмма на том же основании и на той же высоте.
3. Площадь прямоугольника равна произведению двух смежных сторон.
4. Площадь квадрата равна произведению двух его сторон (следует из 3).

Затем каждый верхний квадрат связан с треугольником, совпадающим с другим треугольником, связанным, в свою очередь, с одним из двух прямоугольников, составляющих нижний квадрат. ^[8]

Доказательство таково:

1. Пусть ACB - прямоугольный треугольник с прямым углом CAB.
2. На каждой из сторон BC, AB и CA нарисованы квадраты CBDE, BAGF и ACIH в указанном порядке. Построение квадратов требует непосредственно предшествующих теорем Евклида и зависит от постулата параллельности. ^[9]
3. От A проведите линию, параллельную BD и CE. Он будет перпендикулярно пересекать BC и DE в точках K и L соответственно.
4. Соедините CF и AD, чтобы сформировать треугольники BCF и BDA.
5. Углы CAB и BAG - прямые; следовательно, C, A и G коллинеарны . Аналогично для B, A и H.
6. Углы CBD и FBA являются прямыми углами; следовательно, угол ABD равен углу FBC, поскольку оба являются суммой прямого угла и угла ABC.
7. Поскольку AB равно FB, а BD равно BC, треугольник ABD должен быть конгруэнтен треугольнику FBC.
8. Поскольку AKL - прямая линия, параллельная BD, то прямоугольник BDLK имеет удвоенную площадь треугольника ABD, потому что они имеют общую основу BD и имеют одинаковую высоту BK, т. Е. Прямую, перпендикулярную их общему основанию, соединяющую параллельные прямые BD и AL. (лемма 2)
9. Поскольку C коллинеарен с A и G, квадрат BAGF должен быть в два раза больше треугольника FBC.
10. Следовательно, прямоугольник BDLK должен иметь такую ​​же площадь, как квадрат BAGF = AB ² .
11. Точно так же можно показать, что прямоугольник CKLE должен иметь ту же площадь, что и квадрат ACIH = AC ² .
12. Сложив эти два результата, мы получим AB ² + AC ² = BD × BK + KL × KC.
13. Поскольку BD = KL, BD × BK + KL × KC = BD (BK + KC) = BD × BC
14. Следовательно, AB ² + AC ² = BC ² , поскольку CBDE - квадрат.

Это доказательство, которое появляется в « Элементах » Евклида как доказательство предложения 47 в книге 1 ^[10], демонстрирует, что площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей двух других квадратов. ^[11] Это сильно отличается от доказательства по подобию треугольников, которое, как предполагается, является доказательством, которое использовал Пифагор. ^{[7] [12]}

Доказательства рассечением и перестановкой

Мы уже обсуждали доказательство Пифагора, которое было доказательством путем перестановки. Ту же идею передает самая левая анимация ниже, которая состоит из большого квадрата со стороной a + b , содержащего четыре идентичных правых треугольника. Треугольники показаны в двух вариантах, при первом из которых два квадрата a ² и b ² остаются открытыми, а при втором - квадрат c ² . Площадь, охватываемая внешним квадратом, никогда не меняется, а площади четырех треугольников одинаковы в начале и в конце, поэтому площади черных квадратов должны быть равны, поэтому a ² + b ² = c² .

Второе доказательство перестановки дается средней анимацией. Большой квадрат образован площадью c ² из четырех одинаковых прямоугольных треугольников со сторонами a , b и c , расположенных вокруг небольшого центрального квадрата. Затем путем перемещения треугольников формируются два прямоугольника со сторонами a и b . Объединение меньшего квадрата с этими прямоугольниками дает два квадрата с областями a ² и b ² , которые должны иметь ту же площадь, что и исходный большой квадрат. ^[13]

Третье, крайнее правое изображение также дает доказательство. Два верхних квадрата разделены, как показано синей и зеленой штриховкой, на части, которые при перестановке могут быть помещены в нижний квадрат гипотенузы - или, наоборот, большой квадрат можно разделить, как показано, на части, заполняющие два других. . Такой способ разрезания одной фигуры на части и их перестановки для получения другой фигуры называется рассечением . Это показывает, что площадь большого квадрата равна площади двух меньших. ^[14]

Доказательство Эйнштейна путем препарирования без перестановок

Альберт Эйнштейн дал доказательство путем препарирования, в котором части не нужно двигать. ^[15] Вместо квадрата на гипотенузе и двух квадратов на катетах можно использовать любую другую форму, включающую гипотенузу, и две похожие фигуры, каждая из которых включает одну из двух катетов вместо гипотенузы (см. Похожие рисунки на три стороны). В доказательстве Эйнштейна фигура, включающая гипотенузу, - это сам прямоугольный треугольник. Рассечение состоит в опускании перпендикуляра из вершины прямого угла треугольника к гипотенузе, тем самым разбивая весь треугольник на две части. Эти две части имеют ту же форму, что и исходный прямоугольный треугольник, а катеты исходного треугольника являются их гипотенусами, а сумма их площадей равна площади исходного треугольника. Поскольку отношение площади прямоугольного треугольника к квадрату его гипотенузы одинаково для подобных треугольников, соотношение между площадями трех треугольников сохраняется и для квадратов сторон большого треугольника.

Алгебраические доказательства

Теорема может быть доказана алгебраически, используя четыре копии прямоугольного треугольника со сторонами a , b и c , расположенных внутри квадрата со стороной c, как в верхней половине диаграммы. ^[16] Треугольники похожи по площади , в то время как маленький квадрат имеет сторону b - a и площадь ( b - a ) ² . Следовательно, площадь большого квадрата равна${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab}$

${\displaystyle (b-a)^{2}+4{\frac {ab}{2}}=(b-a)^{2}+2ab=b^{2}-2ab+a^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}.}$

Но это квадрат со стороной c и площадью c ² , поэтому

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}.}$

В аналогичном доказательстве используются четыре копии одного и того же треугольника, расположенные симметрично вокруг квадрата со стороной c , как показано в нижней части диаграммы. ^[17] В результате получается квадрат большего размера со стороной a + b и площадью ( a + b ) ² . Четыре треугольника и сторона квадрата c должны иметь такую ​​же площадь, как и больший квадрат,

${\displaystyle (b+a)^{2}=c^{2}+4{\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab,}$

давая

${\displaystyle c^{2}=(b+a)^{2}-2ab=b^{2}+2ab+a^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}.}$

Связанное с этим доказательство было опубликовано будущим президентом США Джеймсом А. Гарфилдом (в то время американским представителем ) (см. Диаграмму). ^{[18] [19] [20]} Вместо квадрата используется трапеция , которую можно построить из квадрата во втором из приведенных выше доказательств путем деления пополам по диагонали внутреннего квадрата, чтобы получить трапецию, как показано на диаграмма. Площадь трапеции можно вычислить как половину площади квадрата, то есть

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(b+a)^{2}.}$

Внутренний квадрат так же делится пополам, и есть только два треугольника, поэтому доказательство продолжается, как указано выше, за исключением множителя , который удаляется путем умножения на два для получения результата.${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

Доказательство с использованием дифференциалов

К теореме Пифагора можно прийти, изучив, как изменение стороны вызывает изменение гипотенузы, и используя исчисление . ^{[21] [22] [23]}

Треугольник ABC - это прямоугольный треугольник, как показано в верхней части диаграммы, с гипотенузой BC . В то же время длины треугольников измеряются, как показано, с гипотенузой длины y , стороной AC длиной x и стороной AB длиной a , как показано в нижней части диаграммы.

Если x увеличивается на небольшую величину dx путем небольшого удлинения стороны AC до D , тогда y также увеличивается на dy . Они образуют две стороны треугольника CDE , который (если E выбрано так, что CE перпендикулярен гипотенузе) является прямоугольным треугольником, примерно похожим на ABC . Следовательно, соотношение их сторон должно быть одинаковым, то есть:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{y}}.}$

Его можно переписать как , которое представляет собой дифференциальное уравнение, которое можно решить прямым интегрированием:${\displaystyle y\,dy=x\,dx}$

${\displaystyle \int y\,dy=\int x\,dx\,,}$

давая

${\displaystyle y^{2}=x^{2}+C.}$

Константу можно вывести из x = 0, y = a, чтобы получить уравнение

${\displaystyle y^{2}=x^{2}+a^{2}.}$

Это скорее интуитивное доказательство, чем формальное: его можно сделать более строгим, если использовать правильные ограничения вместо dx и dy .

Конверс

Обратная теорема также верен: ^[24]

Для любых трех положительных чисел a , b и c, таких что a ² + b ² = c ² , существует треугольник со сторонами a , b и c , и каждый такой треугольник имеет прямой угол между сторонами длиной a и b. .

Альтернативное утверждение:

Для любого треугольника со сторонами a , b , c , если a ² + b ² = c ² , то угол между a и b составляет 90 °.

Это обращение также появляется в « Элементах » Евклида (книга I, предложение 48): ^[25]

«Если в треугольнике квадрат на одной из сторон равен сумме квадратов на оставшихся двух сторонах треугольника, тогда угол, содержащийся между оставшимися двумя сторонами треугольника, будет прямым».

Это можно доказать с помощью закона косинусов или следующим образом:

Пусть ABC - треугольник со сторонами a , b и c , причем a ² + b ² = c ² . Постройте второй треугольник со сторонами длиной a и b, содержащими прямой угол. По теореме Пифагора следует, что гипотенуза этого треугольника имеет длину c = √ a ² + b ² , такую ​​же, как гипотенуза первого треугольника. Поскольку стороны обоих треугольников имеют одинаковую длину a , b и c, Треугольники конгруэнтны и должны иметь одинаковые углы. Следовательно, угол между сторонами отрезков a и b в исходном треугольнике является прямым.

Приведенное выше доказательство обратного использует саму теорему Пифагора. Обратное также может быть доказано без использования теоремы Пифагора. ^{[26] [27]}

Следствие из обратного теорема Пифагора является простым средством определения , является ли треугольник является правильным, тупым, или острым, как показано ниже. Пусть c выбрана как самая длинная из трех сторон и a + b > c (иначе треугольник не будет в соответствии с неравенством треугольника ). Применяются следующие утверждения: ^[28]

• Если a ² + b ² = c ² , то треугольник правильный .
• Если a ² + b ² > c ² , то треугольник острый .
• Если a ² + b ² < c ² , то треугольник тупой .

Эдсгер В. Дейкстра сформулировал это утверждение об острых, правильных и тупых треугольниках на этом языке:

sign ( α + β - γ ) = sign ( a ² + b ² - c ² ),

где α - угол, противоположный стороне a , β - угол, противоположный стороне b , γ - угол, противоположный стороне c , и sign - функция знака . ^[29]

Последствия и использование теоремы

Пифагорейские тройки

Пифагорова тройка имеет три натуральных числа a , b и c , такие что a ² + b ² = c ² . Другими словами, тройка Пифагора представляет длины сторон прямоугольного треугольника, все три стороны которого имеют целые длины. ^[1] Такая тройка обычно записывается ( a , b , c ). Некоторые хорошо известные примеры: (3, 4, 5) и (5, 12, 13).

Примитивный Пифагор тройка, в которой , Ь и с являются взаимно простыми ( наибольшим общим делителем из в , б и с равно 1).

Ниже приводится список примитивных пифагоровых троек со значениями меньше 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12 , 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77 , 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Взаимная теорема Пифагора

Дан прямоугольный треугольник со сторонами и высотой (прямая, идущая под прямым углом и перпендикулярная гипотенузе ). Теорема Пифагора гласит:${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

в то время как обратная теорема Пифагора ^[30] или перевернутая теорема Пифагора ^[31] связывает две ноги с высотой , ^[32]${\displaystyle a,b}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{d^{2}}}}$

Уравнение можно преобразовать к

${\displaystyle {\frac {1}{(xz)^{2}}}+{\frac {1}{(yz)^{2}}}={\frac {1}{(xy)^{2}}}}$

где для любого ненулевого действительного . Если должны быть целыми числами , тогда наименьшее решение будет ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$ ${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle a,b,d}$${\displaystyle a>b>d}$

${\displaystyle {\frac {1}{20^{2}}}+{\frac {1}{15^{2}}}={\frac {1}{12^{2}}}}$

используя наименьшую тройку Пифагора . Обратная теорема Пифагора является частным случаем оптического уравнения${\displaystyle 3,4,5}$

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}}$

где знаменатели - квадраты, а также для семиугольного треугольника , стороны которого - квадратные числа.${\displaystyle p,q,r}$

Несоизмеримая длина

Одним из следствий теоремы Пифагора является то, что отрезки прямой, длина которых несоизмерима (поэтому отношение не является рациональным числом ), могут быть построены с помощью линейки и циркуля . Теорема Пифагора позволяет построить несоизмеримые длины, потому что гипотенуза треугольника связана со сторонами операцией извлечения квадратного корня .

На рисунке справа показано, как построить линейные сегменты, длина которых пропорциональна квадратному корню из любого положительного целого числа. ^[33] У каждого треугольника есть сторона (обозначенная цифрой "1"), которая является выбранной единицей измерения. В каждом прямоугольном треугольнике теорема Пифагора устанавливает длину гипотенузы в единицах измерения. Если гипотенуза связана с единицей квадратным корнем из положительного целого числа, которое не является полным квадратом, это реализация длины, несоизмеримой с единицей, такой как √ 2 , √ 3 , √ 5  . Подробнее см. Квадратичный иррациональный .

Несоизмеримые длины противоречили концепции пифагорейской школы чисел как только целых чисел. В пифагорейской школе пропорции рассматривались путем сравнения целых кратных общей субъединицы. ^[34] Согласно одной легенде, Гиппас из Метапонта ( ок. 470 г. до н.э.) был утоплен в море за то, что он объявил о существовании иррационального или несоизмеримого. ^{[35] [36]}

Комплексные числа

Для любого комплексного числа

${\displaystyle z=x+iy,}$

абсолютное значение или модуль упругости задается

${\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Итак, три величины r , x и y связаны уравнением Пифагора:

${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

Обратите внимание, что r определяется как положительное число или ноль, но x и y могут быть как отрицательными, так и положительными. Геометрически r - это расстояние z от нуля или начала координат O на комплексной плоскости .

Это можно обобщить, чтобы найти расстояние между двумя точками, например, z ₁ и z ₂ . Требуемое расстояние определяется выражением

${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}},}$

так что снова они связаны версией уравнения Пифагора,

${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}.}$

Евклидово расстояние

Формула расстояния в декартовых координатах получена из теоремы Пифагора. ^[37] Если ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ) являются точками на плоскости, то расстояние между ними, также называемое евклидовым расстоянием , определяется как

${\displaystyle {\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.}$

В более общем смысле, в евклидовом n- пространстве евклидово расстояние между двумя точками и определяется путем обобщения теоремы Пифагора как:${\displaystyle A\,=\,(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$${\displaystyle B\,=\,(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$

${\displaystyle {\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$

Если вместо евклидова расстояния используется квадрат этого значения ( квадрат евклидова расстояния или SED), полученное уравнение избегает квадратных корней и представляет собой просто сумму SED координат:

${\displaystyle (a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}.}$

Квадратная форма является гладкой выпуклой функцией обеих точек и широко используется в теории оптимизации и статистике , образуя основу наименьших квадратов .

Евклидово расстояние в других системах координат

Если декартовы координаты не используются, например, если полярные координаты используются в двух измерениях или, в более общем плане, если используются криволинейные координаты , формулы, выражающие евклидово расстояние, более сложны, чем теорема Пифагора, но могут быть получены из Это. Типичный пример, когда расстояние по прямой между двумя точками преобразуется в криволинейные координаты, можно найти в приложениях полиномов Лежандра в физике . Формулы могут быть обнаружены с помощью теоремы Пифагора с уравнениями, связывающими криволинейные координаты с декартовыми координатами. Например, полярные координаты ( r , θ ) могут быть представлены как:

${\displaystyle x=r\cos \theta ,\ y=r\sin \theta .}$

Тогда две точки с положениями ( r ₁ , θ ₁ ) и ( r ₂ , θ ₂ ) разделены расстоянием s :

${\displaystyle s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.}$

Выполняя квадраты и комбинируя члены, формула Пифагора для расстояния в декартовых координатах производит разделение в полярных координатах как:

${\displaystyle {\begin{aligned}s^{2}&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\left(\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \Delta \theta ,\end{aligned}}}$

используя тригонометрические формулы произведения на сумму . Эта формула представляет собой закон косинусов , иногда называемый обобщенной теоремой Пифагора. ^[38] Из этого результата, для случая, когда радиусы к двум точкам расположены под прямым углом, заключенный угол Δ θ = π / 2, и форма, соответствующая теореме Пифагора, восстанавливается: Теорема Пифагора, действительная для прямоугольных треугольников , поэтому является частным случаем более общего закона косинусов, действующего для произвольных треугольников.${\displaystyle s^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}.}$

Пифагорейская тригонометрическая идентичность

В правом треугольнике со сторонами через , Ь и гипотенузу с , тригонометрия определяют синус и косинус угла & thetas между боковым а и гипотенузами , как:

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {b}{c}},\quad \cos \theta ={\frac {a}{c}}.}$

Из этого следует:

${\displaystyle {\cos }^{2}\theta +{\sin }^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1,}$

где последний шаг применяет теорему Пифагора. Это соотношение между синусом и косинусом иногда называют фундаментальным тригонометрическим тождеством Пифагора. ^[39] В подобных треугольниках соотношение сторон одинаково независимо от размера треугольников и зависит от углов. Следовательно, на рисунке треугольник с гипотенузой единичного размера имеет противоположную сторону размера sin  θ и смежную сторону размера cos  θ в единицах гипотенузы.

Отношение к перекрестному произведению

Теорема Пифагора связывает перекрестное произведение и скалярное произведение аналогичным образом: ^[40]

${\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}.}$

Это можно увидеть из определений перекрестного произведения и скалярного произведения, как

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=ab\mathbf {n} \sin {\theta }\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=ab\cos {\theta },\end{aligned}}}$

с n единичным вектором, нормальным как к a, так и к b . Связь следует из этих определений и тригонометрического тождества Пифагора.

Это также можно использовать для определения перекрестного произведения. Путем преобразования следующего уравнения получается

${\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.}$

Это можно рассматривать как условие для перекрестного произведения и, следовательно, как часть его определения, например, в семи измерениях . ^{[41] [42]}

Обобщения

Подобные фигуры с трех сторон

Обобщение теоремы Пифагора, выходящее за пределы площадей квадратов на трех сторонах до аналогичных фигур, было известно Гиппократу Хиосскому в V веке до нашей эры ^[43] и было включено Евклидом в его « Элементы» : ^[44]

Если построить аналогичные фигуры (см. Евклидову геометрию ) с соответствующими сторонами на сторонах прямоугольного треугольника, то сумма площадей единиц на двух меньших сторонах равна площади одного на большей стороне.

Это расширение предполагает, что стороны исходного треугольника являются соответствующими сторонами трех конгруэнтных фигур (таким образом, общие отношения сторон между подобными фигурами равны a: b: c ). ^[45] В то время как доказательство Евклида применимо только к выпуклым многоугольникам, теорема также применима к вогнутым многоугольникам и даже к аналогичным фигурам, которые имеют искривленные границы (но все же часть границы фигуры является стороной исходного треугольника). ^[45]

Основная идея, лежащая в основе этого обобщения, заключается в том, что площадь плоской фигуры пропорциональна квадрату любого линейного измерения и, в частности, пропорциональна квадрату длины любой стороны. Таким образом, если подобные фигуры с площадями A , B и C возводить на сторонах с соответствующими длинами a , b и c, то:

${\displaystyle {\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\,,}$

${\displaystyle \Rightarrow A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}C\,.}$

Но, по теореме Пифагора, ² + Ь ² = C ² , так что A + B = C .

И наоборот, если мы сможем доказать, что A + B = C для трех одинаковых фигур, не используя теорему Пифагора, то мы можем работать в обратном направлении, чтобы построить доказательство теоремы. Например, начальный центральный треугольник может быть воспроизведен и использован как треугольник C на его гипотенузе, а два подобных прямоугольных треугольника ( A и B ) построены на двух других сторонах, образованных путем деления центрального треугольника на его высоту . Таким образом, сумма площадей двух меньших треугольников равна площади третьего, таким образом, A + B = C, и обратная логика приводит к теореме Пифагора a ²+ Ь ² = с ² . ( См. Также доказательство Эйнштейна путем препарирования без перестановки )

Закон косинусов

Теорема Пифагора является частным случаем более общей теоремы, связывающей длины сторон любого треугольника, закона косинусов: ^[46]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2},}$

где - угол между сторонами и .${\displaystyle \theta }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Когда это радианы или 90 °, тогда формула сводится к обычной теореме Пифагора.${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle \cos {\theta }=0}$

Произвольный треугольник

Под любым выбранным углом общего треугольника со сторонами a, b, c впишите равнобедренный треугольник так, чтобы равные углы при его основании θ были такими же, как и выбранный угол. Предположим, что выбранный угол θ находится напротив стороны с меткой c . Равнобедренный треугольник образует треугольник CAD с углом θ, противоположным стороне b, и стороной r вдоль c . Второй треугольник образован с углом θ, противоположным стороне a, и стороной длиной s вдоль c , как показано на рисунке. Табит ибн Курра заявил, что стороны трех треугольников соотносятся следующим образом: ^{[48] [49]}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c(r+s)\ .}$

Когда угол θ приближается к π / 2, основание равнобедренного треугольника сужается, и длины r и s перекрываются все меньше и меньше. Когда θ = π / 2, ADB становится прямоугольным треугольником, r + s = c , и восстанавливается исходная теорема Пифагора.

Одно доказательство показывает, что треугольник ABC имеет те же углы, что и треугольник CAD , но в противоположном порядке. (Два треугольника имеют общий угол в вершине B, оба содержат угол θ, а значит, также имеют одинаковый третий угол согласно постулату треугольника .) Следовательно, ABC подобен отражению CAD , треугольника DAC на нижней панели. Принимая соотношение сторон, противоположных и прилегающих к θ,

${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {b}{r}}\ .}$

Аналогично, для отражения другого треугольника

${\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {a}{s}}\ .}$

Очистка дробей и добавление этих двух отношений:

${\displaystyle cs+cr=a^{2}+b^{2}\ ,}$

требуемый результат.

Теорема остается в силе, если угол тупой, поэтому длины r и s не перекрываются.${\displaystyle \theta }$

Общие треугольники с использованием параллелограммов

Теорема Паппа о площадях - это дальнейшее обобщение, которое применяется к треугольникам, которые не являются прямоугольными, с использованием параллелограммов на трех сторонах вместо квадратов (квадраты - это, конечно, особый случай). Верхний рисунок показывает, что для разностороннего треугольника площадь параллелограмма на самой длинной стороне равна сумме площадей параллелограммов на двух других сторонах, при условии, что параллелограмм на длинной стороне построен, как указано (размеры, отмеченные значком стрелки такие же, и определяют стороны нижнего параллелограмма). Эта замена квадратов параллелограммами имеет явное сходство с исходной теоремой Пифагора и считалась обобщением Паппом Александрийским в 4 г. н.э. ^{[50] [51]}

На нижнем рисунке показаны элементы доказательства. Сосредоточьтесь на левой части фигуры. Левый зеленый параллелограмм имеет ту же площадь, что и левая синяя часть нижнего параллелограмма, потому что оба имеют одинаковое основание b и высоту h . Однако левый зеленый параллелограмм также имеет ту же площадь, что и левый зеленый параллелограмм верхней фигуры, потому что они имеют такое же основание (верхняя левая сторона треугольника) и одинаковую высоту, перпендикулярную этой стороне треугольника. Повторяя рассуждения для правой части рисунка, нижний параллелограмм имеет такую ​​же площадь, как сумма двух зеленых параллелограммов.

Твердая геометрия

В терминах твердой геометрии теорему Пифагора можно применить к трём измерениям следующим образом. Рассмотрим твердое тело прямоугольной формы, как показано на рисунке. Длина диагонали BD находится из теоремы Пифагора как:

${\displaystyle {\overline {BD}}^{\,2}={\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}\ ,}$

где эти три стороны образуют прямоугольный треугольник. Используя горизонтальную диагональ BD и вертикальное ребро AB , длина диагонали AD определяется вторым применением теоремы Пифагора как:

${\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BD}}^{\,2}\ ,}$

или, сделав все за один шаг:

${\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}\ .}$

Этот результат представляет собой трехмерное выражение для величины вектора v (диагонали AD) через его ортогональные компоненты { v _k } (три взаимно перпендикулярные стороны):

${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}=\sum _{k=1}^{3}\|\mathbf {v} _{k}\|^{2}.}$

Эту одношаговую формулировку можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора на более высокие измерения. Однако этот результат на самом деле является просто повторным применением исходной теоремы Пифагора к последовательности прямоугольных треугольников в последовательности ортогональных плоскостей.

Существенным обобщением теоремы Пифагора на три измерения является теорема де Гуа , названная в честь Жана Поля де Гуа де Мальва : если тетраэдр имеет прямой угол (как угол куба ), то квадрат площади грани напротив правого угла - сумма квадратов площадей трех других граней. Этот результат можно обобщить, как в « n- мерной теореме Пифагора»: ^[52]

Позвольте быть ортогональными векторами в ℝ ⁿ . Рассмотрим n -мерный симплекс S с вершинами . (Подумайте о ( n  - 1) -мерном симплексе с вершинами, не включая начало координат, как о «гипотенузе» S, а оставшиеся ( n  - 1) -мерные грани S как о «катетах».) Тогда квадрат матрицы Объем гипотенузы S - это сумма квадратов объемов n катетов.${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle 0,x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

Это утверждение проиллюстрировано в трех измерениях тетраэдром на рисунке. «Гипотенуза» - это основание тетраэдра в задней части фигуры, а «ноги» - это три стороны, исходящие из вершины на переднем плане. По мере того, как глубина основания от вершины увеличивается, площадь «ног» увеличивается, а площадь основания фиксируется. Теорема предполагает, что когда эта глубина равна значению, создающему правую вершину, применимо обобщение теоремы Пифагора. В другой формулировке: ^[53]

Для n -прямоугольного n -мерного симплекса квадрат ( n  - 1) -содержания грани, противоположной правой вершине, будет равен сумме квадратов ( n  - 1) -содержащих остальных граней.

Внутренние пространства продукта

Теорема Пифагора может быть обобщена на пространствах скалярное произведение , ^[54] , которые являются обобщением известных 2-мерных и 3-мерных евклидовых пространств . Например, функция может рассматриваться как вектор с бесконечным количеством компонентов во внутреннем пространстве продукта, как в функциональном анализе . ^[55]

Во внутреннем пространстве продукта концепция перпендикулярности заменяется концепцией ортогональности : два вектора v и w ортогональны, если их внутренний продукт равен нулю. Скалярное произведение является обобщением скалярного произведения векторов. Скалярное произведение называется стандартным внутренним произведением или евклидовым внутренним произведением. Однако возможны и другие внутренние продукты. ^[56]${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle }$

Понятие длины заменяется понятием нормы || v || вектора v , определяемого как: ^[57]

${\displaystyle \lVert \mathbf {v} \rVert \equiv {\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\,.}$

В пространстве внутреннего продукта теорема Пифагора утверждает, что для любых двух ортогональных векторов v и w мы имеем

${\displaystyle \left\|\mathbf {v} +\mathbf {w} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {w} \right\|^{2}.}$

Здесь векторы v и w сродни сторонам прямоугольного треугольника с гипотенузой, заданной векторной суммой v  +  w . Эта форма теоремы Пифагора является следствием свойств внутреннего продукта :

${\displaystyle \left\|\mathbf {v} +\mathbf {w} \right\|^{2}=\langle \mathbf {v+w} ,\ \mathbf {v+w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\ \mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {w} ,\ \mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v,\ w} \rangle +\langle \mathbf {w,\ v} \rangle \ =\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {w} \right\|^{2},}$

где скалярные произведения перекрестных членов равны нулю из-за ортогональности.

Дальнейшим обобщением теоремы Пифагора о внутреннем пространстве произведения на неортогональные векторы является закон параллелограмма  : ^[57]

${\displaystyle 2\|\mathbf {v} \|^{2}+2\|\mathbf {w} \|^{2}=\|\mathbf {v+w} \|^{2}+\|\mathbf {v-w} \|^{2}\ ,}$

который говорит, что удвоенная сумма квадратов длин сторон параллелограмма равна сумме квадратов длин диагоналей. Любая норма, удовлетворяющая этому равенству, ipso facto является нормой, соответствующей внутреннему продукту. ^[57]

Тождество Пифагора может быть расширено до сумм более двух ортогональных векторов. Если v ₁ , v ₂ , ..., v _n являются попарно ортогональными векторами в пространстве внутреннего продукта, то применение теоремы Пифагора к последовательным парам этих векторов (как описано для 3-х измерений в разделе о твердой геометрии ) приводит к уравнению ^[58]

${\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}\right\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}\|\mathbf {v} _{k}\|^{2}}$

Множества m -мерных объектов в n -мерном пространстве

Другое обобщение теоремы Пифагора применимо к измеримым по Лебегу множествам объектов в любом количестве измерений. В частности, квадрат меры m -мерного множества объектов в одной или нескольких параллельных m -мерных квартирах в n- мерном евклидовом пространстве равен сумме квадратов мер ортогональных проекций объекта (s ) на все m -мерные координатные подпространства. ^[59]

С математической точки зрения:

${\displaystyle \mu _{ms}^{2}=\sum _{i=1}^{x}\mathbf {\mu ^{2}} _{mp_{i}}}$

где:

• ${\displaystyle \mu _{m}}$- это мера в m -размерности (длина в одном измерении, площадь в двух измерениях, объем в трех измерениях и т. д.).
• ${\displaystyle s}$представляет собой набор из одного или нескольких неперекрывающихся m -мерных объектов в одной или нескольких параллельных m -мерных плоскостях в n- мерном евклидовом пространстве.
• ${\displaystyle \mu _{ms}}$- полная мера (сумма) множества m -мерных объектов.
• ${\displaystyle p}$представляет собой m -мерную проекцию исходного множества на ортогональное координатное подпространство.
• ${\displaystyle \mu _{mp_{i}}}$- мера проекции m -мерного множества на m -мерное координатное подпространство . Поскольку проекции объектов могут перекрываться в координатном подпространстве, мера каждой проекции объекта в наборе должна вычисляться индивидуально, а затем меры всех проекций складываются вместе, чтобы обеспечить общую меру для набора проекций в данном координатном подпространстве.${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$- количество ортогональных m -мерных координатных подпространств в n- мерном пространстве ( R ⁿ ), на которое проецируются m -мерные объекты ( m ≤ n ):

${\displaystyle x={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}}$

Неевклидова геометрия

Теорема Пифагора выведена из аксиом евклидовой геометрии , и на самом деле, если бы теорема Пифагора не действовала для некоторого прямоугольного треугольника, то плоскость, в которой этот треугольник содержится, не может быть евклидовой. Точнее, из теоремы Пифагора следует и подразумевается постулат параллели Евклида (пятый) . ^{[60] [61]} Таким образом, прямоугольные треугольники в неевклидовой геометрии ^[62] не удовлетворяют теореме Пифагора. Например, в сферической геометрии все три стороны прямоугольного треугольника (скажем, a , b и c ), ограничивающие октант единичной сферы, имеют длину, равную π/ 2, и все его углы прямые, что нарушает теорему Пифагора, потому что .${\displaystyle a^{2}+b^{2}=2c^{2}>c^{2}}$

Здесь рассматриваются два случая неевклидовой геометрии - сферическая геометрия и геометрия гиперболической плоскости ; в каждом случае, как и в евклидовом случае для неправильных треугольников, результат, заменяющий теорему Пифагора, следует из соответствующего закона косинусов.

Однако, теорема Пифагора остается верным в гиперболической и эллиптической геометрии , если условие , что треугольник сразу заменяется условием , что два из углов сумму на треть, скажем , A + B = C . Затем стороны соотносятся следующим образом: сумма площадей кругов диаметров a и b равна площади круга диаметром c . ^[63]

Сферическая геометрия

Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиуса R (например, если γ на рисунке - прямой угол) со сторонами a , b , c , отношение между сторонами принимает вид: ^[64]

${\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cos \left({\frac {b}{R}}\right).}$

Это уравнение может быть получено как частный случай сферического закона косинусов, который применяется ко всем сферическим треугольникам:

${\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cos \left({\frac {b}{R}}\right)+\sin \left({\frac {a}{R}}\right)\sin \left({\frac {b}{R}}\right)\cos \gamma \ .}$

Выражая ряд Маклорена для функции косинуса в качестве асимптотического разложения с остаточным членом в большом обозначениях O ,

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+O(x^{4}){\text{ as }}x\to 0\ ,}$

можно показать, что по мере приближения радиуса R к бесконечности и стремления аргументов a / R , b / R и c / R к нулю сферическое отношение между сторонами прямоугольного треугольника приближается к евклидовой форме теоремы Пифагора. Подставляя асимптотическое разложение для каждого из косинусов в сферическое соотношение для прямоугольного треугольника, получаем

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {c}{R}}\right)^{2}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\right)=\left[1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{R}}\right)^{2}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\right)\right]\left[1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {b}{R}}\right)^{2}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\right)\right]{\text{ as }}R\to \infty \ .}$

Константы ⁴ , б ⁴ , и с ⁴ были поглощены в большой выводе остаточных членов , так как они не зависят от радиуса R . Это асимптотическое соотношение можно еще больше упростить, умножив величины в скобках, отбросив единицы, умножив на −2 и собрав все ошибки вместе:

${\displaystyle \left({\frac {c}{R}}\right)^{2}=\left({\frac {a}{R}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{R}}\right)^{2}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\right){\text{ as }}R\to \infty \ .}$

После умножения на R ² евклидово пифагорово соотношение c ² = a ² + b ² восстанавливается в пределе, когда радиус R приближается к бесконечности (поскольку остаточный член стремится к нулю):

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+O\left({\frac {1}{R^{2}}}\right){\text{ as }}R\to \infty \ .}$

Для маленьких прямоугольных треугольников ( a , b << R ) косинусы можно исключить, чтобы избежать потери значимости , давая

${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}-2\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}\,.}$

Гиперболическая геометрия

В гиперболическом пространстве с равномерной кривизной −1 / R ² для прямоугольного треугольника с катетами a , b и гипотенузой c связь между сторонами принимает вид: ^[65]

${\displaystyle \cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\,\cosh {\frac {b}{R}}}$

где ch - гиперболический косинус . Эта формула является особой формой гиперболического закона косинусов, который применяется ко всем гиперболическим треугольникам: ^[66]

${\displaystyle \cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\ \cosh {\frac {b}{R}}-\sinh {\frac {a}{R}}\ \sinh {\frac {b}{R}}\ \cos \gamma \ ,}$

с γ угол при вершине, противоположной стороне c .

Используя ряд Маклорена для гиперболического косинуса, сп х ≈ 1 + х ² /2 , можно показать , что , как гиперболический треугольник становится очень малым (то есть, как в , б , и с все стремятся к нулю), гиперболический соотношение для прямоугольного треугольника приближается к форме теоремы Пифагора.

Для маленьких прямоугольных треугольников ( a , b << R ) гиперболические косинусы могут быть исключены, чтобы избежать потери значимости , давая

${\displaystyle \sinh ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}+2\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}\,.}$

Очень маленькие треугольники

Для любой равномерной кривизны K (положительной, нулевой или отрицательной) в очень малых прямоугольных треугольниках (| K | a ² , | K | b ² << 1) с гипотенузой c можно показать, что

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-{\frac {K}{3}}a^{2}b^{2}-{\frac {K^{2}}{45}}a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})-{\frac {2K^{3}}{945}}a^{2}b^{2}(a^{2}-b^{2})^{2}+O(K^{4}c^{10})\,.}$

Дифференциальная геометрия

На бесконечно малом уровне в трехмерном пространстве теорема Пифагора описывает расстояние между двумя бесконечно малыми точками как:

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},}$

с ds - элементом расстояния и ( dx , dy , dz ) - компонентами вектора, разделяющего две точки. Такое пространство называется евклидовым пространством . Однако в римановой геометрии обобщение этого выражения, полезное для общих координат (не только декартовых) и общих пространств (не только евклидовых), принимает форму: ^[67]

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j}^{n}g_{ij}\,dx_{i}\,dx_{j}}$

который называется метрическим тензором . (Иногда, злоупотребляя языком, тот же термин применяется к набору коэффициентов g _ij .) Это может быть функция положения и часто описывает искривленное пространство . Простым примером является евклидово (плоское) пространство, выраженное в криволинейных координатах . Например, в полярных координатах :

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}\ .}$

История

Ведутся споры о том, была ли теорема Пифагора открыта один раз или много раз во многих местах, и дата первого открытия не определена, как и дата первого доказательства. Историки месопотамской математики пришли к выводу, что правило Пифагора широко использовалось в древневавилонский период (20–16 вв. До н.э.), за тысячу лет до рождения Пифагора. ^{[69] [70] [71] [72]} Историю теоремы можно разделить на четыре части: знание троек Пифагора , знание отношений между сторонами прямоугольного треугольника , знание отношений между смежными углами и доказательства теоремы в рамках некоторой дедуктивной системы.

Написанный между 2000 и 1786 годами до нашей эры, Египетский берлинский папирус Среднего царства 6619 включает задачу, решением которой является тройка Пифагора 6: 8: 10, но проблема не упоминает треугольник. Месопотамская таблетки Плимптон 322 , написанная между 1790 и 1750 до н.э. во время правления Хаммурапи Великого, содержит много записей , тесно связанных с пифагорейскими тройками.

В Индии , то Baudhayana Шульбинское Сутра , даты которых приведены по- разному , как между 8 - м и 5 - м веке до н.э., ^[73] содержит список пифагорейских троек и утверждение теоремы Пифагора, как в особом случае равнобедренного право треугольник и в общем случае, как это делает Апастамба Шульба Сутра (ок. 600 г. до н.э.). Ван дер Варден считал, что этот материал «определенно основан на более ранних традициях». Карл Бойер заявляет, что на теорему Пифагора в Чулба-сутрам, возможно, повлияла древняя месопотамская математика, но нет убедительных доказательств в пользу или против такой возможности.^[74]

Прокл , писавший в пятом веке нашей эры, утверждает два арифметических правила, «одно из них приписывается Платону, другое - Пифагору» ^[75] для создания особых пифагорейских троек. Правило, приписываемое Пифагору ( ок.  570  - ок.  495 г. до н.э. ), начинается с нечетного числа и дает тройку с катетом и гипотенузой, отличающимися на одну единицу; правило, приписываемое Платону (428/427 или 424/423 - 348/347 до н.э.), начинается с четного числа и дает тройку с катетом и гипотенузой, отличающимися на две единицы. По словам Томаса Л. Хита(1861–1940), в сохранившейся греческой литературе за пять веков после жизни Пифагора не существует конкретного приписывания этой теоремы Пифагору. ^[76] Однако, когда такие авторы, как Плутарх и Цицерон, приписали эту теорему Пифагору, они сделали это таким образом, чтобы предположить, что эта атрибуция была широко известна и несомненна. ^{[77] [78]} Классицист Курт фон Фриц писал: «Правильно ли эта формула приписывается лично Пифагору, но можно с уверенностью предположить, что она принадлежит к самому древнему периоду пифагорейской математики». ^[36] Около 300 г. до н.э., в « Элементах » Евклида , старейшем из сохранившихся аксиоматических доказательств.теоремы. ^[79]

С содержанием, известным намного раньше, но в сохранившихся текстах, датируемых примерно 1 веком до нашей эры, китайский текст Чжоуби Суаньцзин (周 髀 算 经) ( Классическая арифметика Гномона и Круговых Небесных путей ) дает аргументы в пользу пифагорейцев. теорема для треугольника (3, 4, 5) - в Китае ее называют « теоремой Гоугу » (勾股定理). ^{[80] [81]} Во время династии Хань (202 г. до н.э. до 220 г. н.э.), Пифагора троек появляются в Математика в девяти книгах , ^[82] вместе с упоминанием правильных треугольников. ^[83] Некоторые считают, что теорема впервые возникла в Китае , ^[84]где она также известна как « теорема Шан Гао » (的 高 定理), ^[85] названная в честь астронома и математика герцога Чжоу, чьи рассуждения составили большую часть того, что было в Чжуби Суаньцзин . ^[86]

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

Внешние ссылки

• Теорема Пифагора в ProofWiki

Викискладе есть медиафайлы, связанные с теоремой Пифагора .

• Евклид (1997) [ок. 300 г. до н.э.]. Дэвид Э. Джойс (ред.). Элементы . Проверено 30 августа 2006 . В HTML с интерактивными рисунками на основе Java.
• «Теорема Пифагора» . Энциклопедия математики . EMS Press . 2001 [1994].
• Историческая тема: Теорема Пифагора в вавилонской математике
• Интерактивные ссылки:
  • Интерактивное доказательство теоремы Пифагора на языке Java
  • Еще одно интерактивное доказательство теоремы Пифагора на языке Java
  • Теорема Пифагора с интерактивной анимацией
  • Анимированная, неалгебраическая и настраиваемая пользователем теорема Пифагора
• Демо-версия теоремы Пифагора о воде на YouTube
• Теорема Пифагора (более 70 доказательств от разрубленного узла )
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Пифагора» . MathWorld .