Арифметическая геометрия

Геометрия
Проецирование в сферу на плоскости
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность ( перпендикулярность ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Площадь Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Площадь
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четырех- / многомерный Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джишхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джишхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов
v т е

Гиперэллиптические кривой определяются лишь конечное число рациональных точек (например, точек и ) по теореме Фалтингса в .${\displaystyle y^{2}=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2)}$${\displaystyle (-2,0)}$${\displaystyle (-1,0)}$

В математике арифметическая геометрия - это примерно применение методов алгебраической геометрии к проблемам теории чисел . ^[1] Арифметика геометрия вокруг диофантовой геометрии , изучения рациональных точек на алгебраические многообразия . ^{[2] [3]}

В более абстрактных терминах, арифметическая геометрия может быть определена как изучение схем из конечного типа над спектром в кольце целых чисел . ^[4]

Обзор [ править ]

Классические объекты , представляющие интерес в арифметической геометрии рациональных точек: множества решений одного системы полиномиальных уравнений над числовыми полями , конечными полями , р-адических полей или функциональных полей , т.е. полей , которые не алгебраически замкнутыми за исключением действительных чисел . Рациональные точки можно напрямую охарактеризовать функциями высоты, которые измеряют их арифметическую сложность. ^[5]

Структура алгебраических многообразий, определенных над неалгебраически замкнутыми полями, стала центральной областью интереса, возникшей с современным абстрактным развитием алгебраической геометрии. Над конечными полями этальные когомологии предоставляют топологические инварианты, ассоциированные с алгебраическими многообразиями. ^[6] p-адическая теория Ходжа дает инструменты для изучения того, когда когомологические свойства многообразий над комплексными числами распространяются на свойства многообразий над p-адическими полями. ^[7]

История [ править ]

19 век: ранняя арифметическая геометрия [ править ]

В начале 19 века Карл Фридрих Гаусс заметил, что ненулевые целочисленные решения однородных полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами существуют, если существуют ненулевые рациональные решения. ^[8]

В 1850-х годах Леопольд Кронекер сформулировал теорему Кронекера – Вебера , ввел теорию дивизоров и установил множество других связей между теорией чисел и алгеброй . Затем он выдвинул гипотезу о своем " liebster Jugendtraum " ("самая заветная мечта юности") - обобщении, которое позже было выдвинуто Гильбертом в модифицированной форме в качестве его двенадцатой проблемы , в которой ставится цель, чтобы теория чисел работала только с кольцами, которые являются факторами. из колец многочленов над целыми числами. ^[9]

С начала до середины 20 века: алгебраические разработки и гипотезы Вейля [ править ]

В конце 1920-х годов Андре Вейль продемонстрировал глубокую связь между алгебраической геометрией и теорией чисел с его докторской работой, приведшей к теореме Морделла – Вейля, которая демонстрирует, что множество рациональных точек абелевого многообразия является конечно порожденной абелевой группой . ^[10]

Были разработаны современные основы алгебраической геометрии на основе современной коммутативной алгебры , включая теории оценки и теорию идеалов по Зарисскому и другим в 1930 - х и 1940 - х годах. ^[11]

В 1949 году Андре Вейль высказал знаменательные гипотезы Вейля о локальных дзета-функциях алгебраических многообразий над конечными полями. ^[12] Эти предположения предложили основу между алгебраической геометрией и теорией чисел, которая подтолкнула Александра Гротендика к пересмотру основ с использованием теории пучков (вместе с Жан-Пьером Серром ), а затем теории схем в 1950-х и 1960-х годах. ^[13] Бернард Дворк доказал одну из четырех гипотез Вейля (рациональность локальной дзета-функции) в 1960 году. ^[14]Гротендик разработал теорию этальных когомологий, чтобы доказать две гипотезы Вейля (вместе с Майклом Артином и Жаном-Луи Вердье ) к 1965 году. ^{[6] [15]} Последняя из гипотез Вейля (аналог гипотезы Римана ) будет окончательно доказана. в 1974 году Пьером Делинем . ^[16]

Середина и конец 20 века: развитие модульности, p-адических методов и не только [ править ]

Между 1956 и 1957 годами , Танияма и Горо Симура поставил гипотезу Танияма-Шимуры (теперь известный как теорема модульность) , касающиеся эллиптических кривых для модулярных форм . ^{[17] [18]} Эта связь в конечном счете приведет к первому доказательству из Ферма Последней теоремы в теории чисел с помощью алгебраических методов геометрической модульности подъема , разработанного Эндрю Уайлса в 1995 году ^[19]

В 1960-х Горо Шимура представил многообразия Шимура как обобщение модулярных кривых . ^[20] С 1979 года разновидности Симура играли решающую роль в программе Ленглендса как естественное царство примеров для проверки гипотез. ^[21]

В статьях 1977 и 1978 годов Барри Мазур доказал гипотезу о кручении, дав полный список возможных подгрупп кручения эллиптических кривых над рациональными числами. Первое доказательство этой теоремы Мазуром зависело от полного анализа рациональных точек некоторых модулярных кривых . ^{[22] [23]} В 1996 году доказательство гипотезы о кручении было распространено на все числовые поля Лоиком Мерелом . ^[24]

В 1983 году Герд Фалтингс доказал гипотезу Морделла , продемонстрировав, что кривая рода больше 1 имеет только конечное число рациональных точек (где теорема Морделла – Вейля демонстрирует только конечное порождение множества рациональных точек в противоположность конечности). ^{[25] [26]}

В 2001 году доказательство локальных гипотез Ленглендса для GL n было основано на геометрии некоторых многообразий Шимуры. ^[27]

В 2010-х Питер Шольце разработал перфектоидные пространства и новые теории когомологий в арифметической геометрии над p-адическими полями с применением к представлениям Галуа и некоторым случаям гипотезы весовой монодромии . ^{[28] [29]}

См. Также [ править ]

• Арифметическая динамика
• Арифметика абелевых многообразий
• Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера
• Модули алгебраических кривых
• Модульное разнообразие Siegel
• Теорема Зигеля о целых точках

Ссылки [ править ]