Треугольное число в квадрате

Квадрат, длина стороны которого равна треугольному числу, можно разделить на квадраты и полуквадраты, площади которых складываются с кубиками. Из Галлея (2010) .

В теории чисел , сумма первых $п$ кубов есть квадрат из $п$ - го треугольного числа . То есть,

1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(1+2+3+\cdots +n\right)^{2}.

То же уравнение можно записать более компактно, используя математические обозначения для суммирования :

\sum _{k=1}^{n}k^{3}={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.

Это тождество иногда называют теоремой Никомаха в честь Никомаха из Герасы (ок. 60 - ок. 120 н. Э.).

История [ править ]

Никомах в конце главы 20 своего Введения в арифметику указал, что если написать список нечетных чисел, первое будет кубом 1, сумма следующих двух будет кубом 2, суммой следующие три - это куб из 3 и так далее. Он не идет дальше этого, но из этого следует, что сумма первых $n$ кубиков равна сумме первых нечетных чисел, то есть нечетных чисел от 1 до . Среднее значение этих чисел очевидно , и их есть , поэтому их сумма равна $n(n+1)/2$ $n(n+1)-1$ $n(n+1)/2$ $n(n+1)/2$ $[n(n+1)/2]^{2}.$

Многие ранние математики изучили и предоставили доказательства теоремы Никомаха. Струкер (1995) утверждает, что «каждый, кто изучает теорию чисел, несомненно, восхищался этим чудесным фактом». Пенгелли (2002) находит упоминания об идентичности не только в работах Никомаха на территории современной Иордании в первом веке нашей эры, но также в работах Арьябхаты в Индии в пятом веке и в трудах Аль-Караджи около 1000 г. Персия . Брессуд (2004) упоминает несколько дополнительных ранних математических работ по этой формуле Аль-Кабиси (Аравия 10 века), Герсонида.(около 1300 г., Франция) и Нилаканта Сомаяджи (около 1500 г., Индия); он воспроизводит визуальное доказательство Нилакантхи.

Числовые значения; геометрическая и вероятностная интерпретация [ править ]

Последовательность квадратов треугольных чисел

0, 1, 9, 36, 100, 225,

441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281,

... (последовательность A000537 в OEIS ).

Эти числа можно рассматривать как фигурные числа , четырехмерное гиперпирамидальное обобщение треугольных чисел и квадратных пирамидальных чисел .

Как отмечает Стейн (1971) , эти числа также подсчитывают количество прямоугольников с горизонтальными и вертикальными сторонами, сформированных в сетке $n \times n$ . Например, точки сетки $4 \times 4$ (или квадрата, состоящего из трех меньших квадратов на стороне) могут образовывать 36 различных прямоугольников. Количество квадратов в квадратной сетке аналогично подсчитывается квадратными пирамидальными числами.

Тождество также допускает естественную вероятностную интерпретацию следующим образом. Пусть $X, Y, Z, W$ - четыре целых числа независимо и равномерно выбранных случайным образом от $1$ до $n$ . Тогда вероятность того, что $W$ является самым большим из четырех чисел равна вероятности того, что $Y$ является по меньшей мере больше, $X$ и $W$ , по крайней мере , как большой , как $Z$ . То есть . Для любого конкретного значения $W$ комбинации $X$ , $Y$ и $Z,$ которые делают $W$ $P[\max(X,Y,Z)\leq W]=P[X\leq Y\wedge Z\leq W]$ наибольшая форма куба $1 \leq X, Y, Z \leq n,$ поэтому (складывая размер этого куба по всем вариантам $W$ ) количество комбинаций $X, Y, Z, W,$ для которых $W$ является наибольшим, представляет собой сумму кубов, левая часть тождества Нихомаха. Множества пар $(X, Y)$ с $X \leq Y$ и пар $(Z, W)$ с $Z \leq W$ образуют равнобедренные прямоугольные треугольники, а множество, подсчитываемое в правой части уравнения вероятностей, является декартовым произведением этих двух треугольников, поэтому его размер равен квадрату треугольного числа в правой части тождества Нихомаха. Сами вероятности представляют собой соответственно левую и правую части тождества Нихомака, нормализованные для получения вероятностей путем деления обеих сторон на $n 4$ .

Доказательства [ править ]

Чарльз Уитстон ( 1854 ) дает особенно простой вывод, расширяя каждый куб в сумме до набора последовательных нечетных чисел. Он начинает с предоставления личности

n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ consecutive odd numbers}}}.

Это тождество связано с треугольными числами следующим образом: $T_{n}$

n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),

и, таким образом, формирование слагаемых начинается сразу после тех, которые формируют все предыдущие значения до . Применение этого свойства вместе с другим хорошо известным идентификатором: $n^{3}$ $1^{3}$ $(n-1)^{3}$

n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),

получаем следующий вывод:

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}

Роу (1893) получает другое доказательство, суммируя числа в квадратной таблице умножения двумя разными способами. Сумма- й строки умножается на треугольное число, из которого следует, что сумма всех строк равна квадрату треугольного числа. В качестве альтернативы, можно разложить таблицу на последовательность вложенных гномонов , каждый из которых состоит из продуктов, в которых большее из двух членов является некоторым фиксированным значением. Сумма внутри каждого gmonon - это куб, поэтому сумма всей таблицы - это сумма кубов. $i$ $i$

Наглядная демонстрация того, что квадрат треугольного числа равен сумме кубиков.

В более поздней математической литературе Эдмондс (1957) приводит доказательство с использованием суммирования по частям . Стейн (1971) использует интерпретацию этих чисел как прямоугольник, чтобы сформировать геометрическое доказательство тождества (см. Также Benjamin, Quinn & Wurtz 2006 ); он отмечает, что это можно легко (но малоинформативно) доказать с помощью индукции, и заявляет, что Теплиц (1963) дает «интересное старое арабское доказательство». Каним (2004) предоставляет чисто визуальное доказательство, Бенджамин и Оррисон (2002) предоставляют два дополнительных доказательства, а Нельсен (1993) дает семь геометрических доказательств.

Обобщения [ править ]

Аналогичный результат теоремы Никомаха верен для всех степенных сумм , а именно, что нечетные степенные суммы (суммы нечетных степеней) являются многочленами от треугольных чисел. Их называют полиномами Фаульхабера , из которых сумма кубов является самым простым и элегантным примером. Однако ни в каком другом случае одна степень не складывается из квадрата другой ( Edmonds 1957 ).

Струкер (1995) изучает более общие условия, при которых сумма последовательной последовательности кубов образует квадрат. Гаррет и Хаммел (2004) и Варнаар (2004) изучают полиномиальные аналоги формулы квадратно-треугольного числа, в которой ряд многочленов складывается с квадратом другого многочлена.

Ссылки [ править ]

Бенджамин, Артур Т .; Orrison, ME (2002), "Два быстрых комбинаторные доказательства " ∑ k 3 = ( n + 1 2 ) 2 {\displaystyle \textstyle \sum k^{3}={n+1 \choose 2}^{2}} (PDF) , Колледж Математика Journal , 33 (5): 406-408, DOI : 10,2307 / 1559017 , JSTOR 1559017.
Бенджамин, Артур Т .; Куинн, Дженнифер Дж .; Вюрца, Calyssa (2006), "Суммирование кубов путем подсчета прямоугольников" (PDF) , Колледж Математика Journal , 37 (5): 387-389, DOI : 10,2307 / 27646391 , JSTOR 27646391.
Брессуд, Дэвид (2004), Исчисление до Ньютона и Лейбница, Часть III (PDF) , AP Central.
Эдмондс, Шейла М. (1957), "Суммы степеней натуральных чисел", Математическая газета , 41 : 187-188, DOI : 10,2307 / 3609189 , JSTOR 3609189 , МР 0096615
Гаррет, Кристина С .; Hummel, Кристно (2004), "Комбинаторное доказательство суммы д -куб" , Электронный журнал комбинаторика , 11 (1), научно - исследовательская работа 9, DOI : 10,37236 / 1762 , MR 2034423.
Галли, Нед (4 марта 2010 г.), Шур, Лорен (ред.), Теорема Никомаха , Matlab Central.
Kanim, Кэтрин (2004), "Доказательства без слов: Сумма кубов-расширение суммы Архимеда квадратов", Математика Magazine , 77 (4): 298-299, DOI : 10,2307 / 3219288 , JSTOR 3219288.
Нельсен, Роджер Б. (1993), Доказательства без слов , Cambridge University Press, ISBN 978-0-88385-700-7.
Пенгелли, Дэвид (2002), «Мост между непрерывным и дискретным через оригинальные источники», Study the Masters: The Abel-Fauvel Conference (PDF) , Национальный центр математического образования, Univ. Гётеборг, Швеция.
Роу, Т. Сундара (1893), Геометрические упражнения при складывании бумаги , Мадрас: Аддисон, стр. 47–48..
Stein, Роберт Г. (1971), "Комбинаторное доказательство того, что " Математика Magazine , 44 (3): 161-162, DOI : 10,2307 / 2688231 , JSTOR 2688231 $\textstyle \sum k^{3}=(\sum k)^{2}$ .
Stroeker, RJ (1995), «О сумме последовательных кубов, составляющих полный квадрат» , Compositio Mathematica , 97 (1-2): 295-307, MR 1355130.
Теплиц, Отто (1963), Исчисление, генетический подход , University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-80667-9.
Warnaar, С. Оле (2004), "О д -аналог суммы кубов" , Электронный журнал Комбинаторика , 11 (1), примечание 13, DOI : 10,37236 / 1 854 , МР 2114194.
Уитстона, C. (1854), "О формировании полномочий от арифметической прогрессии" (PDF) , Труды Королевского общества в Лондоне , 7 : 145-151, DOI : 10.1098 / rspl.1854.0036.

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Никомаха» . MathWorld .
Наглядное доказательство теоремы Никомаха