Квадратная решетка

Квадратные решетки
Прямоугольный Простой	диагональный квадрат по центру

Прямоугольная черепица . Вершины всех квадратов вместе со своими центрами образуют прямую квадратную решетку. Для каждого цвета центры квадратов этого цвета образуют диагональную квадратную решетку, которая в линейном масштабе √2 раз больше, чем прямая квадратная решетка.

В математике , то квадратная решетка представляет собой тип решетки в двумерном евклидовом пространстве . Это двумерная версия целочисленной решетки , обозначенная как Z ² . ^[1] Это один из пяти типов двумерных решеток, классифицированных по их группам симметрии ; ^[2] его группа симметрии в обозначении IUC как p4m , ^[3] обозначение Кокстера как [4,4], ^[4] и обозначение орбифолда как * 442. ^[5]

Наиболее распространены две ориентации изображения решетки. Их удобно называть вертикальной квадратной решеткой и диагональной квадратной решеткой; последнюю также называют центрированной квадратной решеткой . ^[6] Они различаются на угол 45 °. Это связано с тем, что квадратная решетка может быть разбита на две квадратные подрешетки, как видно из раскраски шахматной доски .

Симметрия [ править ]

Категория симметрии квадратной решетки - группа обоев p4m. Узор с этой решеткой трансляционной симметрии не может иметь больше, но может иметь меньшую симметрию, чем сама решетка. Вертикальную квадратную решетку можно рассматривать как диагональную квадратную решетку с размером ячейки, который в √2 раза больше, с добавленными центрами квадратов. Соответственно, после добавления центров квадратов вертикальной квадратной решетки мы получаем диагональную квадратную решетку с размером ячеек, который в √2 раз меньше, чем у исходной решетки. Узор с 4-кратной вращательной симметрией имеет квадратную решетку из 4-кратных ротоцентров, которая в √2 раз тоньше и диагонально ориентирована относительно решетки трансляционной симметрии..

Что касается осей отражения, есть три возможности:

Никто. Это обои группы p4.
По четырем направлениям. Это обои группы p4m.
В двух перпендикулярных направлениях. Это группа обоев p4g. Точки пересечения осей отражения образуют квадратную сетку, которая имеет такую же тонкость и ориентирована так же, как квадратная решетка из 4-кратных ротоцентров, причем эти ротоцентры находятся в центрах квадратов, образованных осями отражения.

р4, [4,4] ⁺ , (442)	p4g, [4,4 ⁺ ], (4 * 2)	p4m, [4,4], (* 442)

Группа обоев p4 с расположением в примитивной ячейке 2- и 4-кратных ротоцентров (также применимо для p4g и p4m). Фундаментальный домен обозначен желтым.	Группа обоев p4g. Оси отражения проходят в двух направлениях, а не через 4-кратные ротоцентры.	Группа обоев p4m. Оси отражения проходят в четырех направлениях через 4-кратные ротоцентры. В двух направлениях оси отражения ориентированы так же, как и для p4g, и с такой же плотностью, но смещены. В двух других направлениях они линейно в √2 раз плотнее.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Конвей, Джон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Springer, стр. 106, ISBN 9780387985855.
^ Голубицкий, Мартин ; Стюарт, Ян (2003), Перспектива симметрии: от равновесия к хаосу в фазовом и физическом пространстве , Progress in Mathematics, 200 , Springer, p. 129, ISBN 9783764321710.
^ Филд, Майкл; Голубицкий, Мартин (2009), Симметрия в хаосе: поиск закономерностей в математике, искусстве и природе (2-е изд.), SIAM, стр. 47, ISBN 9780898717709.
^ Джонсон, Норман В .; Weiss, Азия Ivić (1999), "Квадратичные целые и Кокстеровские группы", Canadian Journal математики , 51 (6): 1307-1336, DOI : 10,4153 / CJM-1999-060-6. См., В частности, начало стр. 1320.
^ Schattschneider, Дорис ; Сенешаль, Марджори (2004), «Тилингс», в Goodman, Jacob E .; О'Рурк, Джозеф (ред.), Справочник по дискретной и вычислительной геометрии , дискретной математике и ее приложениям (2-е изд.), CRC Press, стр. 53–72, ISBN 9781420035315. См., В частности, таблицу на стр. 62, связывающий нотацию IUC с нотацией орбифолда.
^ Джонстон, Бернард Л .; Ричман, Фред (1997), Числа и симметрия: Введение в алгебру , CRC Press, стр. 159, ISBN 9780849303012.

Викискладе есть медиафайлы по теме квадратной решетки .

[1] Конвей, Джон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Springer, стр. 106, ISBN 9780387985855.

[2] Голубицкий, Мартин ; Стюарт, Ян (2003), Перспектива симметрии: от равновесия к хаосу в фазовом и физическом пространстве , Progress in Mathematics, 200 , Springer, p. 129, ISBN 9783764321710.

[3] Филд, Майкл; Голубицкий, Мартин (2009), Симметрия в хаосе: поиск закономерностей в математике, искусстве и природе (2-е изд.), SIAM, стр. 47, ISBN 9780898717709.

[4] Джонсон, Норман В .; Weiss, Азия Ivić (1999), "Квадратичные целые и Кокстеровские группы", Canadian Journal математики , 51 (6): 1307-1336, DOI : 10,4153 / CJM-1999-060-6. См., В частности, начало стр. 1320.

[5] Schattschneider, Дорис ; Сенешаль, Марджори (2004), «Тилингс», в Goodman, Jacob E .; О'Рурк, Джозеф (ред.), Справочник по дискретной и вычислительной геометрии , дискретной математике и ее приложениям (2-е изд.), CRC Press, стр. 53–72, ISBN 9781420035315. См., В частности, таблицу на стр. 62, связывающий нотацию IUC с нотацией орбифолда.

[6] Джонстон, Бернард Л .; Ричман, Фред (1997), Числа и симметрия: Введение в алгебру , CRC Press, стр. 159, ISBN 9780849303012.

[1]